1、1辽宁省辽阳县集美学校 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题一、单选题1某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、24020高三 人中，抽取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取n90 36的人数为（ ）A B C D20432【答案】B【解析】根据题意抽取比例为 故总人数为 所以高三被抽6=240209=63取的人数为 3-20（ ）2设 D 为 ABC 所在平面内一点， ，若 ，则 -=（ ）=3 =+A B C D53 43【答案】A【解析】【分析】本题可知 B、C、D 三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出 、 的值【详解】解
2、：由 ，可知，B、C、D 三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：=+=+13()2=13+43-= 故选：A【点睛】本题主要考查向量共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属基础题3从 1，2，3，4，5 中任意选取 3 个不同的数，则取出的 3 个数能够作为三角形的三边边长的概率是（ ）A B C D310【答案】A【解析】【分析】首先列举出所有可能的基本事件，再找到满足取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件，最后利用古典概型概率公式计算即可.【详解】从 中任取 3 个不同的数的基本事件有 ，1,2,3,4,5 (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4)
3、共 10 个,(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)取出的 3 个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得滿足条件的基本事件有 共 3 个，(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)故取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率 ，故选 A.P=310【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基3本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定
4、要按顺序逐个写出：先 ， . (A1,B1) (A1,B2)，再 ， 依次 . 这样才能避免多(A1,Bn) (A2,B1) (A2,B2) (A2,Bn) (A3,B1) (A3,B2) (A3,Bn)写、漏写现象的发生.4把黑、白、红、蓝 4 张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是 （ ）A不可能事件 B对立事件 C互斥但不对立事件 D以上都不对【答案】C【解析】 根据题意，把黑、白、红、蓝 4 张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁 个人，每4人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得蓝牌
5、”与事件“乙分得蓝牌”之外，还有“丙分得蓝牌”和“丁分得蓝牌” ，所以两者不是对立的，所以事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是互斥而不对立的事件，故选 C.5若 ，且 ，则角 是 即 a0,0,|0) =是奇函数； .若 在 上没有最小值，则实数的取值范围=(3) (0)(6) ()0,)是（ ）A B C D(0,512 (0,56 (512,1112 (56,1112【答案】D【解析】【分析】先由 ，求得 ，由 是奇函数，求得 ，再利用= =2=(3) 3=,求得 ，然后再 在 上没有最小值，利用函数图像(0)(6) =43 ()0,)求得结果即可 .23(43,32【详解】由 ，可得
6、 =2=2因为 是奇函数=(3)所以 是奇函数，即 (2+3) 3=,又因为 ，即 (0)(6) (+23)(+)所以 是奇数，取 k=1，此时=43所以函数 ()=(2+53)=(23)10因为 在 上没有最小值，此时 ()0,)233,23)所以此时 23(43,32解得 .(56,1112故选 D.【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题.二、填空题13在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干个组， a， b）是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为 0.3，该组上的频率分布直方图的高度为 0.06，则| ab|=_【答案】5【解析】【分
7、析】由频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，即|ab|等于 ，故答0.30.06=5案为 5【点睛】11本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图中小矩形的高等于每一组的频率组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14已知 f（ x）2sin（2 x ） m 在 x0，上有两个
8、不同的零点，则 m 的取值6范围为_【答案】1，2)【解析】【分析】令 t2 x ，由 x0，可得 t ， ，由题意可得 y2sin t 和 y m 在6 6 56 ， 上有两个不同的交点，从而求得 m 的取值范围6 56【详解】令 t2 x ，由 x0，可得 2x ，故 t ， 6 6 656 6 56由题意可得 g（ t）2sin t m 在 t ， 上有两个不同的零点，6 56故 y2sin t 和 y m 在 t ， 上有两个不同的交点，如图所示：6 56故 1 m2，故答案为：1，2） 【点睛】12本题考查正弦函数的图象，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形
9、是解题的关键15已知点 O 为ABC 内一点， +2 +3 = ，则 =_。OAOBOC0SABCSAOC【答案】3【解析】【分析】可作出图形，取 BC 的中点 D，AC 的中点 E，并连接 OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到 ，从而得出 DE 为ABC 的中位线，这样即可得到 AB3OE，从而便有OE=-2ODSABCSAOC=3【详解】解：如图，取 BC 中点 D，AC 中点 E，连接 OA，OB，OC，OD，OE；OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC)=2OE+4OD=0 ；OE=-2ODD，O，E 三点共线，即 DE 为ABC 的中位线；13DE OE，AB
10、 2DE；=32AB3OE； SABCSAOC=3故答案为：3【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式16已知样本： 、 、 、 、 ，该样本的平均数为 7，样本的方差为 4，且x1 x2 x3 x4 x5N样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是_.【答案】10【解析】【分析】：利用图像先推算出最大数为 11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为 11，再推算最大数为 10 时，存在这样的 5 个数，最后得出答案。【详解】：由题意， 、 、 、 、 ，该样本的平均数为 7，则 。x1 x
11、2 x3 x4 x5N15(x1+x2+x3+x4+x5)=7样本的方差为 4，则.如图，表示15(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=201,2,3,4,5 个点分别位于 7 的上下两侧，那么 ，所以 ，(xi-7)220,i=1,2,3,4,5 xi11设 ，那么 ，必然存在样本数据相等，不x3=11 (x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=414满足题意。设 ，那么 ，不妨设 ，x3=10 (x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+(x
12、5-7)2=11 x1=4， ， ，且满足 。所以在最大值为 10 时存在 5x2=6 x4=7 x5=815(x1+x2+x3+x4+x5)=7个数都为整数满足题意。【点睛】：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论。 三、解答题17 （1）化简： ； 21sin0co6（2）已知 ，求 的值.tan2sisin3coco【答案】 （1）-1（2）-3【解析】试题分析：（1）根号下是 ，开方后注意 ，2sin20cossin20cos而 ，从而所求值为 . （2）利用诱导
13、公式2sin60i,1si1原式可以化简为 ，再分子分母同时除以 ，就可以得到一个关于ncoics15的分式，代入其值就可以得到所求值为 . tan3解析：（1） . 21sin0co600cos2in1i（2） .sisisincotan133coco18已知函数 f（x）=Asin（x+ ） ，xR，且 f（ ）= .（1）求 A 的值；（2）若 f（）+f（）= ，（0， ） ，求 f（ ）.【答案】 （1） （2）34【解析】试题分析：（1）将 f（ ）= 代入函数式可得到 A 角大小；（2）将 f（）+f（）= ，代入可得到 cos= ，将 f（ ）.代入函数式可求得其值试题解析：（
14、1）函数 f（x）=Asin（x+ ） ，xR，且 f（ ）= .Asin（ + ）=Asin =A = ，A= .（2）由（1）可得 f（x）= sin（x+ ） ，f（）+f（）= sin（+ ）+ sin（+ ）=2 sin cos= cos= ，cos= ，再由 （0， ） ，可得 sin= .16f（ ）= sin（ + ）= sin（）= sin= .考点：三角函数求值19某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了 50 名教职工，根据这 50 名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， .40,50)50,60) 80,90
15、)90,100（1）估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数（结果保留到小数点后一位） ；（2）从评分在 的受访教职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人中至少有 1 人对后勤40,60)处评分在 内的概率.50,60)【答案】 （1）该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为 ； （2） .76.4910【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，知 ,求出 a,设中(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1位数为 （2）受访教职x0， (0.004+0.006+0.022)10+0.028(x0-70)=0.5， 求出 x0；工评分在 内的人数为 （人） ，受访教职工评分在 内的
16、人40,50) 0.0041050=2 50,60)数为 （人）.0.0061050=3设受访教职工评分在 内的两人分别为 ，在 内的三人为 ，利用40,50) a1,a2 50,60) b1,b2,b3列举法能求出从评分在40，60）的受访职工中，随机抽取 2 人，至少有一人评分在50，60）的概率17【详解】（1）由频率分布直方图，可知 ，(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1解得 .a=0.006设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为 ，有：x0，解得： （分）(0.004+0.006+0.022)10+0.028(x0-70)=0.5 x076.4故该学校的教
17、职工对后勤处评分的中位数约为 76.4（2）由频率分布直方图可知，受访教职工评分在 内的人数为40,50)（人） ，受访教职工评分在 内的人数为 （人）0.0041050=2 50,60) 0.0061050=3.设受访教职工评分在 内的两人分别为 ，在 内的三人为 ，则从40,50) a1,a2 50,60) b1,b2,b3评分在 的受访教职工中随机抽取 人，40,60) 2其基本事件有 ，(a1,a2)， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种，(a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) (b1,b2) (b1,b3) (b2,b3
18、)其中 2 人评分至少有一人在 内的基本事件有 9 种，故 2 人评分至少有 1 人在50,60)内的概率为 .50,60)910【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用20弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t（s）内离开平衡位置（静止时的位置）的距离 h（cm）由下面的函数关系式表示： h=3sin(2t+4)（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；18（3）经过多长时间小球往返振动一次？ （4）每秒内小球能往返振动多少次？【答案】答案见解析.【解析】 （1）令 t=0，得 ，所以开始振
19、动的位置为（0， ） h=3sin4=322 322（2）由题意知，当 h=3 时， ， ，2t+4=2+2k,kZ t=8+k,kZ当 时， ，小球第一次上升到最高点，即最高点为 ；k=0t=8 (8,3)当 h=3 时， ， ，2t+4=32+2k,kZ t=58+k,kZ当 时， t= ，即最低点为 k=058 (58,-3)（3） 3.14，即每经过大约 3.14 s 小球往返振动一次 T=22=（4） ，即每秒内小球往返振动约 0.318 次f=1T0.31821某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售 1 件该商品可获利 50 元.若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损 1
20、0 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 30 元.（）若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y（单位:元）关于当天需求量n（单位:件,nN）的函数解析式；（）商店记录了 50 天该商品的日需求量（单位:件）,整理得下表:日需求量 n 8 9 10 11 12频数 10 10 15 10 519假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品,求这 50 天的日利润（单位:元）的平均数；若该店一天购进 10 件该商品,记“当天的利润在区间 ”为事件 A，求40,5P（A）的估计值.【答案】 （1） ；（2） 0.7302,10,6nnNy【解析】试题分析：（）根据题意分
21、段求解得出当 时， ，当 时，10ny利 润 10n， （）50 天内有 9 天获得的利润 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有y利 润15 天获得利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560，求其平均数即可当天的利润在区间400，500有 11+15+10 天，即可求解概率试题解析: 解：（）当日需求量 时,利润为10n；501()302ynn当需求量 时，利润5(10)601yn所以利润 y与日需求量 n的函数关系式为： 32,Ny（）50 天内有 10 天获得的利润 380 元，有 10 天获得的利润为 440 元，有 15 天
22、获得利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元 47650*013*140*38 . 事件 A 发生当且仅当日需求量 n 为 9 或 10 或 11 时.由所给数据知，n=9 或 10 或11 的频率为 10751f，故 P（A）的估计值为 0.7考点：古典概型及其概率计算公式2022将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将sinyx12所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象.6fx（）写出函数 的解析式；fx（）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取,612210fxmfm值范围；（）求实数 和正整数 ，使得
23、 在 上恰有 个零点.anFxfa0,n2017【答案】 （1） （2） （3）见解析si3fxm【解析】试题分析：（1）根据图像变换得函数 的解析式；（2）先求 在fxfx值域，再转化研究对应二次不等式 在 恒x,612 210gtmt,成立，结合二次函数图像可得 ，解不等式可得实数 的取值范围；(3)转01g化研究对应函数图像在一个周期上的交点，再根据周期性确定实数 和正整数 ，an试题解析：解：（） ；sin23fx（）设 则 ，sin2,3tx,6120,t可化为 ，210fxmf2tm设 ， ，则 的图象是开口向上的抛物线一段，2gtt,tgt当且仅当 ，即 ，0t0 1g10 m所
24、以 的取值范围是 . 注：该小题也可采用分离参数求解.m21（）问题可转化为研究直线 与曲线 的交点情况.yayfx在 上的草图为：sin23fx0,当 或 时，直线 与曲线 没有交点；1ayayfx当 或 时，直线 与曲线 上有 1 个交点，由函数f0,的周期性可知，此时 ；yfx2017n当 时，直线 与曲线 上有 2 个交点，331,2ayayfx0,由函数 的周期性可知，直线直线 与曲线 上总有偶yfx f,n数个交点；当 时，直线 与曲线 上有 3 个交点，由函数32ayayfx0,的周期性及图象可知，此时 .yfx108n综上所述，当 ， 或 ， ，或 时， 1a27a273,1082an在 上恰有 个零点.Fxf0,n0122
