1、1湖北省沙市中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：2019 年 4 月 23 日 一、单选题（共 12 小题，每小题 5 分） 。i命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）A任意一个有理数,它的平方是有理数 B任意一个无理数,它的平方不是有理数 C存在一个有理数,它的平方是有理数 D存在一个无理数,它的平方不是有理数 ii设 ，则“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）abR0aabiA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件iii已知函数 ， 为 的导函数，则 f （1）的值为（ ）()lnxfe()fxfA B C D
2、01eeiv将某选手的 6 个得分去掉 1 个最高分，去掉一个最低分，4 个剩余分数 的平均分为 91现场作的 6 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示：则 4 个剩余分数的方差为（ ）xA B C D 61324v已知函数 ，则当 取得极大值时， x 的值应为（ ） 42()fx()fxA B C D12 012vi直线 分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆 上，0xy ()xy则 BP 面积的取值范围是（ ）A B C D2,2,41,21,3vii椭圆 的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F 2，21(0)xyab若|AF 1|、|
3、F 1F2|、|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 451252viii 已知过双曲线 的右焦点且倾斜角为 的直线仅与双2:(0,)xyCab452曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）eA B C D2,)(2,)2,1(),1(ix已知 ，若 ，使得 成立，axgxef 2)1(),)( Rx21, )(12xgf则实数 的取值范围是（ ）aA B C D,)e(,e,)e(,ex如右图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为 2，俯视图是边长为 2 的正方形，则该多面体的体积是（ ）A B C D343832
4、xi已知函数 ，当 时，则有（ ） ()xfaeea1A B C Dx()f()fx()fxxii已知函数 ， ，若直线 与两函32(),fxmR245g2yxa数的图象均相切，则 （ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或231377373二、填空题xiii复数 满足： ；则 z()25izxiv已知 2 ， 3 ， 4 ， ，若 6 ，( a， t 为互质的2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 at at正整数)，由以上等式，可推测 a， t 的值，则 a t_.xv设曲线 在点（1，1）处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，令1,*nyxNxnx，lgnna则 的值为_1
5、29a3xvi已知 是椭圆 的两个焦点, 分别是该椭圆的右顶点和上顶点，21,F142yxBA,点 在线段 上，则 的最小值为 PABPF三、解答题xvii已知 ,命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题 ：Rmp1,0xmx3122q曲线 在任意一点处的切线斜率均大于 xye(）若 为真命题，求 的取值范围；(）若命题 是真命题，求实数 的取值范围pqmxviii为了调查喜欢数学是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢数学”这个问题，在某学校分别随机调研了50名女生和50名男生，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（）完成下列 列联表：2喜欢数学 不喜欢数学 合计女生男生合计(）能否有超过 的把握
6、认为“喜欢数学与性别有关”.9%附： 20()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8284(参考公式： ，其中 )22()()(nadbcKnabcdxix现将一根长为 180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为 ，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2:1xx在四棱锥 中， 平面 ， ，PABCDPAD/BC，且 ，4CD为线段 上一点M（）求证：平面 平面 ；M(）若 且 ，求证： 平面 ，14PC12APD
7、B/PAD并求四棱锥 的体积B5xxi已知双曲线 ： 的离心率为 ，若抛物线1T21(0,)xyab2的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 已知点 为抛物2:(0)yp1T4(2,0)E线 内一定点，过 作两条直线交抛物线 于2E2，且 分别是线段 的中点DCBA,NM, CDAB,（）求抛物线 的方程；2T（）若 ，证明：直线 过定点ABCDkMNxxii已知函数 ，且 时 有极大值 .322()7(,)fxabxabR1x()f10（） 求 的解析式；（） 若 为 的导函数，不等式 （ 为正整数）()fxf 1()ln)523fxkxk对任意正实数 恒成立，求 的最大值.（注：k）ln20.6
8、9,l31.0,ln5667高二年级期中考试文数答案iBiiB【解析】当 时，如果 同时等于零，此时 是实数，不是纯虚数，0a0b0bia因此不是充分条件；而如果 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得i到 ，因此是必要条件，故选 B。iiiD 解：由函数的解析式可得： 11elnelnxxxf ，则 1elnef 即 1的值为 ivC v CviDviiB viiiA 解： 12beaixC 解： ，使得 成立，则 ，Rx1, )(12xgfminax()()fxg， ，min()(1)fxfema()()gaexB 解： 如图，此三视图还原为一个三棱锥 。PABD8xiA 解：当
9、时， ，则1ae01ae(1)x xaexiiD 解：直线 与 相切，由 解得 ；2yx2()45g04直线 与 相切，可得切点 或a3,fxmR(1,2)(3,10)xiii 解：i 5()252()iziziziixiv41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为 n ，所以当n nn2 1 nn2 1n6 时 ， ， .a35t41atxv 解：曲线 在点（1 ，1）处的切线方程为 ，21,*nyxN1()1yx，1nx ，lgl(1)n129aa lg102xvi 解： ，考虑 的几何意义即可得5 23PFxyxy，点 在线段 上，则 ，212|3PFOABmin4|5Ominmin
10、1| 5xvii （1）若 p 为真，则 ；3,2（2 ） 若 q 为真，则 ；由题意知， 是真命题， pq35,2mxviii(1) 由等高条形图知喜欢数学的女生有 人，50.73喜欢数学的男生有 人 -2-2 分列联表：2喜欢旅游 不喜欢旅游 合计女生 35 15 50男生 25 25 50合计 60 40 100-6分(2) 的观测值 -102K254.167.35k9分不能在犯错误的前提不超过 0.010，即有 99%的把握认为“喜欢数学与性别有关” 。-12 分xix解：设长方体的宽为 x（ m） ，则长为 2x(m)，高为.1802453(c)015xh-2 分故长方体的体积为 ，
11、而 -2()(43)Vxx()18(0).Vx-4 分令 ，解得 x=0（舍去）或 ，因此 x=1. -()0Vx10-6 分当 0x10 时， ；当 时， ， -()05x()0V-8 分故在 x=10 处 V（x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。 -10 分从而最大体积 （cm 3） ，此时长方体的长为 20cm，高为 15cm. ()10答：当长方体的长为 20cm 时，宽为 10cm，高为 15cm 时，体积最大，最大体积为3000cm3。-12 分xx10xxi解： （ ） 抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为 ， -(,0)2pxaby-2 分不妨取 ，即 ，焦点到
12、渐近线的距离为 ，-xaby0y 24pbda-4 分 ， -2cba214pd-6 分（）设 所在直线的方程为 ，代入 中，得 ，AB1xtym2yx210ytm设 ，则有 ，从而12(,)(,)xy21t121(tt则 -81(,)Mmt分设 所在直线的方程为 ，同理可得 CD2xtym2(,)Ntm， 所在直线的方程为 ，1212()()MNtktMN2112()()ytxtmt即 -1012()ytx分又 ，即 ，代入上式，得 ，12ABCDkt122t1212()tytxm即 ， 是此方程的一组解，12()tyxm(,)所以直线 恒过定点 -12MN(2,)分xxii解： （） 由
13、，因为在 时 有极大值 ，2()3fxaxb1x()f10所以 ，从而得 或 ，-3 分， 230171ab26a11当 时， ，此时 ，当 时， ，当2a1b2()341fx(,1)3x()0fx时， ，在 时 有极小值，不合题意，舍去；-4(1,)x()0fx()f分当 时， ，此时 ，符合题意。6a9b2()34)fxx所求的 -6 分32()6fx（） 由（1）知 ，所以等价于 等价于(43)x1()ln1)523fxkx2ln1)xk，即 ln0kx， 记 ()，则 22()()1x，-8 分由 ()0x，得 1k，所以 ()x在 0,)k上单调递减，在 (1,)k上单调递增，所以 ()3ln()，-9 分0x对任意正实数 x恒成立，等价于 3ln(1)0k，即 3ln(1)0k，-10 分记 因为 在 (0,)上单调递减，又 7(4)l5m，3()1ln(1)mkk)mk8560， ，k=1,2,3,4， 故 k的最大值为 4. -12 分Z
