1、- 1 -江苏省扬州中学 2018-2019 学年高二 4 月检测数学试题(文科) 1、填空题（每题 5 分，共 70 分）1.已知集合 ， ，则 .1xA2,0BBA2.已知复数 满足 (其中 i 为虚数单位),则 .ziz3.用反证法证明命题“若 , 能被 2 整除，则 中至少有一个能被 2 整除” ，那Nba, ba，么反设的内容是4.若“ ”是“ ”的充分不必要条件,则实数 m 的最大值为.mx0291x5.已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是_fa,a6.已知函数 ，则 的值.21xf )41()31()21(1 ifififififif 7.已知 ， ， ，332736
2、46，则 _.33019nm218.若对于任意的 都有 则实数 a 的取值范围） ，（），（ 5-x ,0)2(2xax是9.已知函数 ,则满足不等式 的 的取值范围为.2lgf31ff10.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为.1,)(xf 2)(xf11.设 为实数，若函数 存在零点，则实数 的取值范围是a af3)( a12.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式()fxR0x2()5fx的解集为.(1)fx13.定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ，()fx(4)(ffx24，则函数 的零点的个数为23()4fx， ， ， 5logy| -
3、 2 -14若存在 ，使得 （ 且 ）成立，则实数 的取值范围是xRxxa2430a1a2、解答题15 （本题 14 分）函数 的定义域为 , 定132)(xf A)1(2)1lg()axax义域为 .B（1）求 ； A（2）若 , 求实数 的取值范围.a16.（本题 14 分）定义在实数集上的函数 是奇函数， 是偶函数，且)(xf)(xg.axgxf2)(（1）求 、 的解析式；f（2）命题 命题 ，若 为真 ，求 的范,1)(,2:xfp ,1)(,2:xgxqqpa围17. （ 本题 14 分）已知关于 的方程： 有实数根 x )(09)6(2 Raixib（1）求实数 的值ba,（2）
4、若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值，并求出 的值zzi2zz- 3 -18. （本题 16 分）已知偶函数 的定义域为 ，值域为 2)(1)(xbfEF（1）求实数 的值；b（2）若 ，求实数 的值；43,0,2FaEa（3）若 ,求 的值nmn2,119. (本题 16 分)某仓库为了保持库内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形 ABC，其中 AB=2 米，上部是半圆，点 E 为 AB 的中点 EMN 是通风窗，（其余部分不通风） MN 是可以沿设施的边框上下滑动且保持与 AB 平行的伸缩杆（ MN 和 AB不重合） （1）设 MN 与 C 之间的距离为 x
5、米，试将 EMN 的面积 S 表示成 的函数 ；x()Sfx（2）当 MN 与 C 之间的距离为多少时， EMN 面积最大？并求出最大值A BEM NC A BEM NC第 19 题图（图 1） （图 2）- 4 -20. (本题 16 分) 已知函数 ()lnfx.（1）求函数 (fx的图象在 1处的切线方程；（2）若函数 )ky在 2,)e上有两个不 同的零点，求实数 k的取值范围；（3）是否存在实数 ，使得对任意的 (,)x，都有函数 ()yfx的图象在()xeg的图象的下方？若存在，请求出最大整数 k的值；若不存在，请说理由.（参考数据： ln20.6931， 2.6487e）.参考答
6、案：1. 2.13.a、 b 都不能被 2 整除 4. 5. 6. 7.2019 8. 9.0019,2751，（ ），（ 2-10. 11. 12(2，3)13.514 .21-， -， ),19，（），（15解：（1） ；. .7),1),A（2） .14a或16.解：(1)由 f（x）+g（x）=x 2+ax+a，得 f（x）+g（x）=x 2ax+a因为 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，所以 f（x）=f（x） ，g（x）=g（x） ，所以f（x）+g（x）=x 2ax+a，联立得 f（x）=ax，g（x）=x 2+a. .7(2)若 p 真，则 fmin（x）1，得 a1，若 q
7、 真，则 gmin（x）1，得 a1，因为 pq 为真，所以 a1 或 a1 .1417.- 5 -解：（1）b 是方程 x2（6+i）x+9+ai=0（aR）的实根，（b 26b+9）+（ab）i=0， 解之得 a=b=3. 6（2）设 z=x+yi（x，yR） ，由| 33i|=2|z|，得（x3） 2+（y+3） 2=4（x 2+y2） ，即（x+1） 2+（y1） 2=8，z 点的轨迹是以 O1（1，1）为圆心，2 为半径的圆，如图所示，如图，当 z 点在 OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，|OO 1|= ， 半径 r=2 ，当 z=1i 时 |z|有最小值且|z| min=
8、. .1418. 解：（1） .41b(2)令 f（a）=0，即 ，a=1，取 a=1；令 f（a）= ，即 ，a=2，取 a=2，故 a=1 或2. .8（3） 是偶函数，且 f（x）= 0，则函数 f（x）在（，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数x0，由题意可知： 或 0 若 ，则有 ，即 ，整理得 ，此时方程组无负解；. 1201274n若 0 ，则有 ，即 ，m，n 为方程 x23x+1=0，的两个根0 ，m n0，m= ，n= . .16解：（1）令 f（a）=0，即 ，a=1，取 a=1；令 f（a）= ，即 ，a=2，取 a=2，故 a=1 或2. 6（2） 是偶函数，且 f
9、（x）= 0，则函数 f（x）在（，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数x0，由题意可知： 或 0 若 ，则有 ，即 ，整理得 m2+3m+10=0，此时方程组无解；若 0 ，则有 ，即 ，m，n 为方程 x23x+1=0，的两个根0 ，m n0，m= ，n= . 1619解（1）当 MN 在三角形区域内滑动时即 是等腰三角形，(0,3)x/,MNABC06MNC连接 EC 交 MN 于 P 点，则 PC=x，PN= ，3x23x- 6 -的面积ABC1()|(3)2SfxMNx.42当 MN 在半圆形区域滑动即 时(3,1)x.221(3)MNx.6所以 .22(0,3)()3)1()1x
10、xSf8（2） 时， 的对称轴为(0,3)x2()3Sfxx3(0,)2x所以 .max 324f11时，(3,1)2()1()fxx22(3)(13)1xx当且仅当 取等号，23,x15又 所以三角形 EMN 的面积最大值为 .12412.1620.解：（1）因为 1()fx，所以 ()1f，则所求切线的斜率为 1， 2 分又 ()ln0f，故所求切线的方程为 yx. 4 分（2）因为 lkfx，则由题意知方程 ln0k在 2,e上有两个不同的根.，由 l，得 lnx， 6 分令 ()lng，则 ()1g，由 ()0gx，解得 1xe.- 7 -当 21,xe时， ()0gx， ()单调递减
11、；当 1,xe时， ()0gx， ()单调递增，所以当 时， 取得最小值为 1e. 8 分又 21()ge， (1)0g（图象如右图所示） ，所以 2ke，解得 2ke. 10 分（3）假设存在实数 满足题意，则不等式 lnxke对 1(,)2恒成立.即 lnxk对 1(,)2恒成立.令 ()he，则 l1xhe， 12 分令 lxr，则 ()r，因为 ()在 1,)2上单调递增，120e， (1)0re，且 ()rx图象在,上不间断，所以存在 0(,)x，使得 ()rx，即 0x，则 00ln，所以当 01(,)2x时， )r单调递减；当 0,时， ()r单调递增，则 )r取到最小值 0 01(lnxex0120x，14 分所以 hx，即 )h在区间 (,)2内单调递增.所以112()lnl.952kee，- 8 -所以存在实数 k满足题意，且最大整数 k的值为 1. 16 分
