1、1八年级数学下学期期中热身预测卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx23一个凸多边形的内角和等于 540，则这个多边形的边数是（ ）A5 B6 C7 D84象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐
2、标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（ ）A（2，1） B（2，2） C（2，2） D（2，2）5正方形具有而矩形没有的性质是（ ）A对角线互相平分 B对边相等C对角线相等 D每条对角线平分一组对角6下列曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）2A B C D7顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（ ）A平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形8若ABCD 的顶点 O、A、C 的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点 B的坐标是（ ）A（3，7） B（5，3） C（7，3） D（8，2）9用一根长为 30cm 的绳子围成一根长方形，则长方形的面积
3、 Scm2与 xcm 的函数关系式为 S=x 2+15x，其中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax0 B0x15 C0x30 D15x3010李阿姨每天早晨从家慢跑道小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家表示李阿姨离开家的距离 y （单位：米）与时间 t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用 P 点表示李阿姨家的位置）（ ）A B C D二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）311在平面直角坐标系中，P（2，3）关于 x 轴的对称点是（ ， ）12如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出AC
4、 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN=20m，那么 A，B 两点间的距离是 13请你举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） 14菱形的两条对角线分别是 6cm，8cm，则菱形的边长为 cm，面积为 cm 215平行四边形 ABCD 中，ABC 的角平分线 BE 将边 AD 分成长度为 5cm 和 6cm 的两部分，则平行四边形 ABCD 的周长为 cm16在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图 1，线段 AB、CB，求作：平行四边形 ABCD小明的作法如下：如图 2：（1）以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧；（2）以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；（3）两弧在 BC 上方交于点
5、 D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确”请回答：四边形 ABCD 是平行四边形的依据是 三、解答题（本大题共 52 分）17小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了 米；一共用了 分钟418如图，在ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，求证：AF=CE19
6、请按要求画出函数 y= x2的图象：（1）列表；x 3 2 1 0 1 2 3 y （2）描点；（3）连线；（4）请你判断点（4，8）、（ ， ）是否在函数图象上，答： 20如图，ABC 中，A、B、C 三点的坐标分别为 A（2，3），B（3，1），C（1，2）（1）将ABC 向右平移 4 个单位长度，画出平移后的A 1B1C1；（2）画出ABC 关于 x 轴对称的A 2B2C2；（3）将ABC 绕点 O 旋转 180，画出旋转后的A 3B3C3521已知，如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 AB 的中点，DE、DF 分别是BDC、ADC 的角平分线求证：四边形 DECF 是矩形22如图
7、，在ABC 中，AB=AC，D 是 AB 延长线上一点，BD=AB，E 是 AB 的中点，求证：CE= CD23已知，已知矩形纸片 ABCD 的边长分别为 acm 和 bcm，把顶点 A 和 C 叠合在一起，得折痕 EF（如图）（1）猜想四边形 AECF 是菱形吗？为什么？（2）请写出求折痕 EF 的长的解题思路24在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的中点，在边 CD 上取一点 F，使得 AE 平分BAF（1）依题意补充图形；6（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段 AF 等于线段 BC 与线段 CF的和小玲把这个猜想与同学们进行交流通过讨论，形成了证明该猜想的几种想
8、法：想法 1：考虑到 AE 平分BAF，且B=90若过点 E 作 EMAF，则易证AM=AB=BC这样，只需证明 FM=FC 即可因EMF=C=90，证 FM=FC 即证 EF 平分MEC，所以连接 EF想法 2：考虑到 E 是 BC 中点，若延长 AE，交 DC 的延长线于点 G，则易证 CG=AB，则CF+BC=CF+CG=FG要证 AF=BC+CF，只需证 FA=FG 即可想法 3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形 ABCD 所以有BC=AB，因此 BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E 是 BC 中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题请你参考
9、上面的想法，帮助小玲证明 AF=BC+CF（一种方法即可）25问题提出：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或23 的矩形（ab 的矩形指边长分别为 a，b 的矩形）？问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题探究一：如图，当 n=5 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形如图，当 n=6 时，可将正方形分割为六个 23 的矩形如图，当 n=7 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形和四个 23 的矩形如图，当 n=8 时，可将正方形分割为八个 15 的矩形和四个 23 的矩形如图，当 n=9 时，可将正方形分割为九个 15 的矩形和
10、六个 23 的矩形探究二：当 n=10，11，12，13，14 时，分别将正方形按下列方式分割：7所以，当 n=10，11，12，13，14 时，均可将正方形分割为一个 55 的正方形、一个（n5 ）（ n5 ）的正方形和两个 5（n5）的矩形显然，55 的正方形和 5（n5）的矩形均可分割为 15 的矩形，而（n5）（n5）的正方形是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15 或 23的矩形探究三：当 n=15，16，17，18，19 时，分别将正方形按下列方式分割：请按照上面的方法，分别画出边长为 18，19 的正方形分割示意图所以，当 n=15，16，17
11、，18，19 时，均可将正方形分割为一个 1010 的正方形、一个（n10 ）（n10）的正方形和两个 10（n10）的矩形显然，1010 的正方形和 10（n10）的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而（n10）（n10）的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些15 或 23 的矩形问题解决：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或 23的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明实际应用：如何将边长为 61 的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）8参考答案与试题解析一、选
12、择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解【解答】解：第一个图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；第二个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；综上所述，既是轴对称图形，又是中心对
13、称图形的有 2 个故选 B2函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【考点】E4：函数自变量的取值范围【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2x40，可求x 的范围【解答】解：依题意有：2x40，解得 x2故选：B3一个凸多边形的内角和等于 540，则这个多边形的边数是（ ）9A5 B6 C7 D8【考点】L3：多边形内角与外角【分析】n 边形的内角和公式为（n2）180，由此列方程求边数 n【解答】解：设这个多边形的边数为 n，则（n2）180=540，解得 n=5，故选 A4象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种由于
14、用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（ ）A（2，1） B（2，2） C（2，2） D（2，2）【考点】D3：坐标确定位置【分析】根据“帅”的坐标得出原点的位置，进而得出答案【解答】解：如图所示：“马”的坐标是：（2，2）故选：C5正方形具有而矩形没有的性质是（ ）A对角线互相平分 B对边相等C对角线相等 D每条对角线平分一组对角【考点】LE：正方形的性质；LB：矩形的性质10【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直【解答】解：A、正
15、方形和矩形对角线都互相平分，故 A 不符合题意；B、正方形和矩形的对边都相等，故 B 不符合题意；C、正方形和矩形对角线都相等，故 C 不符合题意；D、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故 D 符合题意故选 D6下列曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）A B C D【考点】E2：函数的概念【分析】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数【解答】解：A，B，D 的图都是 y 有不唯一的值，故 A，B，D 不是函数，C、满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故 C 符合题意；故选：C7顺次联结对
16、角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是（ ）A平行四边形 B矩形 C正方形 D菱形【考点】LN：中点四边形【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H 分别是线段 AB、BC、CD、AD 的中点，则 EH、FG 分别是ABD、BCD 的中位线，EF、HG 分别是ACD、ABC 的中位线，11根据三角形的中位线的性质知，EH=FG= BD，EF=HG= AC，AC=BD，EH=FG=FG=EF，四边形 EFGH 是菱形故选 D8若ABCD 的顶点 O、A、C 的坐标分别是（0，0）、（5
17、，0）、（2，3），则顶点 B的坐标是（ ）A（3，7） B（5，3） C（7，3） D（8，2）【考点】L5：平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质【分析】平行四边形的对边相等，C 点的横坐标加上 A 点的横坐标，等于 B 点的横坐标，B 点和 C 点的纵坐标相等，从而确定 B 点的坐标【解答】解：点 O、A、C 的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），C 点的横坐标是 2，纵坐标为 5+2=7，B 点的坐标为（7，3）故选 C9用一根长为 30cm 的绳子围成一根长方形，则长方形的面积 Scm2与 xcm 的函数关系式为 S=x 2+15x，其中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax
18、0 B0x15 C0x30 D15x30【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式【分析】直接根据题意表示出长方形的长与宽，进而结合长与宽都大于零，进而得出答案12【解答】解：用一根长为 30cm 的绳子围成一根长方形，长方形的面积 Scm2与 xcm的函数关系式为 S=x 2+15x，设长为 x，则宽为：15x，15x0，解得：x15，故自变量 x 的取值范围是：0x15故选：B10李阿姨每天早晨从家慢跑道小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家表示李阿姨离开家的距离 y （单位：米）与时间 t （单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用 P 点表示李阿姨家的位置）（
19、）A B C D【考点】E6：函数的图象【分析】根据观察函数图象，可发现路程变远，路程不变，路程变近，可得答案【解答】解：由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故 A 符合题意；故选：A二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11在平面直角坐标系中，P（2，3）关于 x 轴的对称点是（ 2 ， 3 ）【考点】P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标【解答】解：点 P（2，3）关于 x 轴的对称
20、点的坐标是（2，3），故答案为：2，31312如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出AC 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN=20m，那么 A，B 两点间的距离是 40m 【考点】KX：三角形中位线定理【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的 2 倍【解答】解：M，N 分别是 AC，BC 的中点，MN 是ABC 的中位线，MN= AB，AB=2MN=220=40（m）故答案为：40m13请你举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） y= （x0） 【考点】E4：函数自变量的取值范围；E2：函数的概念【分析】根据分
21、母不能为零，可得答案【解答】解：举出一个函数实例（指出自变量的取值范围） y= （x0），故答案为：y= （x0）14菱形的两条对角线分别是 6cm，8cm，则菱形的边长为 5 cm，面积为 24 cm2【考点】L8：菱形的性质【分析】根据菱形的性质利用勾股定理可求得菱形的边长，根据面积公式可求得菱形的面积【解答】解：菱形的两条对角线分别是 6cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是 6=3cm 和 8=4cm，那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为 68 =24cm2故答案为 5，241415平行四边形 ABCD 中，ABC 的角平分线 BE 将边 AD 分成长度为
22、5cm 和 6cm 的两部分，则平行四边形 ABCD 的周长为 32 或 34 cm【考点】L5：平行四边形的性质；K2：三角形的角平分线、中线和高；KI：等腰三角形的判定【分析】由平行四边形 ABCD 推出AEB=CBE，由已知得到ABE=CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当 AE=5 时，求出 AB 的长；（2）当 AE=6 时，求出 AB 的长，进一步求出平行四边形的周长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，AB=CD，ADBC，AEB=CBE，BE 平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AB=AE，（1）当 AE=5 时，AB=5，平行四边形 ABCD 的
23、周长是 2（5+5+6）=32；（2）当 AE=6 时，AB=6，平行四边形 ABCD 的周长是 2（5+6+6）=34；故答案为：32 或 3416在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图 1，线段 AB、CB，求作：平行四边形 ABCD小明的作法如下：如图 2：（1）以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧；（2）以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；（3）两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确”15请回答：四边形 ABCD 是平行四边形的依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【考点】N3：作图复杂作图；L6：平行四
24、边形的判定【分析】根据作图的作法，由平行四边形的判定即可求解【解答】解：由作法可知，四边形 ABCD 是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形三、解答题（本大题共 52 分）17小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小红家到舅舅家的路程是 1500 米，小红在商店停留了 4 分钟；（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了 2700 米；一共用了
25、14 分钟【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）观察函数图象，可知小红家到舅舅家的路程是 1500 米，小红在商店停留的时间为 4 分钟，此题得解；（2）将各路程段路程相加，即可求出本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程，再根据函数图象可找出小红一共用的时间【解答】解：（1）路程的最大值为 1500 米，16小红家到舅舅家的路程是 1500 米小红在商店停留的时间为 128=4（分钟）故答案为：1500；4（2）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶的路程为 1200+=2700（米）时间的最大值为 14，本次去舅舅家的行程中，小红一共用时 14 分钟故答案为：2700；1418如图，在AB
26、CD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，求证：AF=CE【考点】L7：平行四边形的判定与性质【分析】根据“平行四边形 ABCD 的对边平行且相等的性质”证得四边形 AECF 为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，ADBC点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，AE=CF四边形 AECF 是平行四边形AF=CE19请按要求画出函数 y= x2的图象：（1）列表；x 3 2 1 0 1 2 3 y 2 0 2 （2）描点；（3）连线；17（4）请你判断点（4，8）、（ ， ）是否在函数图象上，答： 点（4，
27、8）在函数图象上，点（ ， ）不在函数图象上 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H2：二次函数的图象【分析】找出当 x=3、2、1、0、1、2、3 时的 y 值，列出表格，描点、连线即可画出二次函数 y= x2的图象；然后将点（4，8）、（ ， ）代入函数的解析式，根据是否相等作出判断【解答】解：（1）列表； x 3 2 1 0 1 2 3 y 2 0 2（2）描点；（3）连线；画出函数图象，如图所示（4）当 x=4 时，y=8；当 x= 时，y= 答：点（4，8）在函数图象上，点（ ， ）不在函数图象上1820如图，ABC 中，A、B、C 三点的坐标分别为 A（2，3），B（3，1）
28、，C（1，2）（1）将ABC 向右平移 4 个单位长度，画出平移后的A 1B1C1；（2）画出ABC 关于 x 轴对称的A 2B2C2；（3）将ABC 绕点 O 旋转 180，画出旋转后的A 3B3C3【考点】R8：作图旋转变换；P7：作图轴对称变换；Q4：作图平移变换【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的A 1B1C1即可；（2）分别作出各点关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可；（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的A 3B3C3即可【解答】解：（1）如图，A 1B1C1即为所求；（2）如图，A 2B2C2即为所求；（3）如图，A 3B3C3即为所求21已知，如图，在ABC 中，ACB=
29、90，D 是 AB 的中点，DE、DF 分别是BDC、ADC 的角平分线求证：四边形 DECF 是矩形19【考点】LC：矩形的判定【分析】利用等腰ADC“三合一”的性质证得 DFAC，由平行线的判定知 DFEC；同理，DEFC，所以四边形 DECF 是平行四边形又有该四边形的内角是直角，易证平行四边形 DECF 是矩形【解答】证明：AD=CD，DF 是ADC 的角平分线，DFAC又BCAC，DFCE同理，DEFC，四边形 FDEC 是平行四边形ACB=90，平行四边形 DECF 是矩形22如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 AB 延长线上一点，BD=AB，E 是 AB 的中点，求证：CE=
30、 CD【考点】KD：全等三角形的判定与性质【分析】取 AC 中点 F，连接 EF，FB首先证明EBCFCB，推出 BF=CE，再证明BF= CD 即可解决问题【解答】证明：取 AC 中点 F，连接 EF，FB20FC= AC，E 是 AB 中点BE= AB，AB=ACFC=BEAB=ACABC=ACB在EBC 和FCB 中，EBCFCBBF=CEBD=AB，F 是 AC 中点BF= CD，CE= CD23已知，已知矩形纸片 ABCD 的边长分别为 acm 和 bcm，把顶点 A 和 C 叠合在一起，得折痕 EF（如图）（1）猜想四边形 AECF 是菱形吗？为什么？（2）请写出求折痕 EF 的长
31、的解题思路【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LA：菱形的判定与性质21【分析】（1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半【解答】解：（1）菱形，理由如下：四边形 ABCD 为矩形，ABCD，AFE=CEF矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 A 和 C 重合，CEF=AEF，AE=CEAFE=AEF，AE=AFAF=CE，又AFCE，AECF 为平行四边形，AE=EC，即四边形 AECF 的四边相等四边形 AECF 为菱形（2）根据 A
32、B=acm，BC=bcm，由勾股定理得到 AC2=（a 2+b2）cm，AF=CF，在 RtBCF 中，设 BF=xcm，则 CF=（ax）cm，由勾股定理可得（ax） 2=x2+b2，求得 x，根据三角形的面积公式求得结论24在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的中点，在边 CD 上取一点 F，使得 AE 平分BAF（1）依题意补充图形；22（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段 AF 等于线段 BC 与线段 CF的和小玲把这个猜想与同学们进行交流通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：考虑到 AE 平分BAF，且B=90若过点 E 作 EMAF，则易证AM=
33、AB=BC这样，只需证明 FM=FC 即可因EMF=C=90，证 FM=FC 即证 EF 平分MEC，所以连接 EF想法 2：考虑到 E 是 BC 中点，若延长 AE，交 DC 的延长线于点 G，则易证 CG=AB，则CF+BC=CF+CG=FG要证 AF=BC+CF，只需证 FA=FG 即可想法 3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形 ABCD 所以有BC=AB，因此 BC+CF=AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E 是 BC 中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题请你参考上面的想法，帮助小玲证明 AF=BC+CF（一种方法即可）【考点】LE：正方形的性质；K
34、D：全等三角形的判定与性质；LL：梯形中位线定理；N3：作图复杂作图【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）想法 1：作 EMAF 于 M，连接 EF，根据已知和正方形的性质分别证明 RtABERtAMERt，RtEMFRtECF，得出 EM=BE，FM=FC，从而得出结论；想法 2：如图 3，延长 AE、DC 交于点 G，根据全等三角形的性质得到AB=CG，1=G，由角平分线的性质得到1=2，等量代换得到2=G 于是得到结论；想法 3：过中点 E 作 EMAB，交 AF 于 M通过中位线的性质证明 EM= （AB+CF），从而得出结论【解答】解：（1）补充图形，如图 1 所示；想法 1：如
35、图 2，作 EMAF 于 MB=90，B=AME=90，231=2，BE=EM，在 RtABE 与 RtAME 中， ，RtABERtAMEAM=AB=BC，EM=BE连接 EF，E 是 BC 中点，EC=BE=EM在 RtAEMF 与 RtECF 中 ，RtEMFRtECF，FM=FC、综合、得 AF=AM+MF=BC+CF想法 2：如图 3，延长 AE、DC 交于点 G，E 是 BC 中点，BE=CE，B=GCE，AEB=GEC，在AEB 与GEC 中， ，AEBGEC，AB=CG，1=G，AE 平分BAF，1=2，2=GAF=FG=FC+CG，AF=BC+CF；想法 3：如图 4，过中点
36、 E 作 EMAB，交 AF 于 M则 AM=MF，且1=2=3EM=AM= AFEM= （AB+CF），AF=AB+CF=BC+CF2425问题提出：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或23 的矩形（ab 的矩形指边长分别为 a，b 的矩形）？问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题探究一：如图，当 n=5 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形如图，当 n=6 时，可将正方形分割为六个 23 的矩形如图，当 n=7 时，可将正方形分割为五个 15 的矩形和四个 23 的矩形如图，当 n=8 时，可将正方形分割为八个 15 的矩
37、形和四个 23 的矩形如图，当 n=9 时，可将正方形分割为九个 15 的矩形和六个 23 的矩形25探究二：当 n=10，11，12，13，14 时，分别将正方形按下列方式分割：所以，当 n=10，11，12，13，14 时，均可将正方形分割为一个 55 的正方形、一个（n5 ）（ n5 ）的正方形和两个 5（n5）的矩形显然，55 的正方形和 5（n5）的矩形均可分割为 15 的矩形，而（n5）（n5）的正方形是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15 或 23的矩形探究三：当 n=15，16，17，18，19 时，分别将正方形按下列方式分割：请按照上面的
38、方法，分别画出边长为 18，19 的正方形分割示意图所以，当 n=15，16，17，18，19 时，均可将正方形分割为一个 1010 的正方形、一个（n10 ）（n10）的正方形和两个 10（n10）的矩形显然，1010 的正方形和 10（n10）的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而（n10）（n10）的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15或 23 的矩形问题解决：如何将边长为 n（n5，且 n 为整数）的正方形分割为一些 15 或 23的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明实际应用：如何将边长为 61 的正方形分割为一些 15 或
39、23 的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）【考点】LO：四边形综合题26【分析】先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，由此把要解决问题转化为已经解决的问题，即可解决问题【解答】解：探究三：边长为 18，19 的正方形分割示意图，如图所示，问题解决：若 5n10 时，如探究一若 n10，设 n=5a+b，其中 a、b 为正整数，5b10，则图形如图所示，均可将正方形分割为一个 5a5a 的正方形、一个 bb 的正方形和两个 5ab 的矩形显然，5a5a 的正方形和 5ab 的矩形均可分割为 1x5 的矩形，而 bb 的正方形又是边长分别为 5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些 15 或23 的矩形即可问题解决：边长为 61 的正方形分割为一些 15 或 23 的矩形，如图所示，
