1、11.3.2 极大值与极小值学习目标 重点难点1记住函数的极大值、极小值的概念2结合图象知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件3会用导数求不超过三次的多项式函数的极大、极小值.重点：利用导数求函数的极值难点：函数极值的判断和与极值有关的参数问题.1极值(1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调_变为单调_)，这时在点 P 附近，点 P 的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称 f(x1)为函数 f(x)的一个_(2)类似地，上图中 f(x2)为函数的一个_(3)函数的极大值、极小值统称为函数的_预习交流 1做一做：函
2、数 y| x|有极_值_2极值点与导数的关系观察上面的函数的图象，发现：(1)极大值与导数之间的关系如下表：x x1左侧 x1 x1右侧f( x) f( x)_ f( x)_ f( x)_f(x) 增 A极大值 f(x1) A减(2)极小值与导数之间的关系如下表：x x2左侧 x2 x2右侧f( x) f( x)_ f( x)_ f( x)_f(x) 减 极小值 f(x2) 增预习交流 2做一做：函数 f(x)3 x x3的极大值为_，极小值为_预习交流 3议一议：(1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于 0 吗？(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极
3、值吗？(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点2答案：预习导引1(1)递增 递减 极大值 (2)极小值 (3)极值预习交流 1：提示：大 02(1)0 0 0 (2)0 0 0预习交流 2：提示： f( x)33 x2，令 f( x)0 得 x1，由极值的定义可得函数的极大值为 f(1)2，极小值为 f(1)2.预习交流 3：提示：(1)不一定，例如对于函数 f(x) x3，虽有 f(0)0，但 x0并不是 f(x) x3的极值点，要使导数为 0 的
4、点成为极值点，还必须满足其他条件(2)不一定，例如函数 f(x)| x1|，它在 x1 处取得极小值，但它在 x1 处不可导，就更谈不上导数等于 0 了(3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小一、求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x) x312 x；(2) f(x) 2.2xx2 1思路分析：首先从方程 f( x)0 入手，求出在函数 f(x)的定义
5、域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点1函数 y13 x x3有极大值_，极小值_2求函数 f(x) x33 x29 x5 的极值利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数 f( x)；(2)求方程 f( x)0 的所有实数根；(3)考察在每个根 x0附近，从左到右导函数 f( x)的符号如何变化：如果 f( x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f( x)0 的根 x x0的左右侧 f( x)的符号不变，则不是极值点二、已知函数的极值求参数范围已知函数 f(x) ax3 bx2 在 x1 处取得极值，且极值为 0.(
6、1)求 a， b 的值；(2)求 f(x)的另一个极值思路分析：由极值的定义可知 f(1)0，再结合 f(1)0，建立关于 a， b 的方程即可求得 a， b 的值，从而得出另一个极值31已知函数 y x36 x2 m 有极大值 13，则 m 的值为_2若函数 f(x) x3 ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_1已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为 0 和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2对
7、于可导函数 f(x)，若它有极值点 x0，则必有 f( x0)0，因此函数 f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程 f( x)0 有根的问题加以解决三、利用函数的极值画函数图象求函数 y2 x 的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象8x思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及 x时的 f(x)的变化趋势，据此可画出函数的大致图象已知函数 f(x) x34 x4，求函数的极值，并画出函数的大致图象131列表时应将定义域内的间断点(如 x0)考虑进去2极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的3借助函数的性质(如
8、奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段1(2012 陕西高考改编)设函数 f(x) xex，则下列说法正确的是_(填序号) x1 为 f(x)的极大值点 x1 为 f(x)的极小值点 x1 为 f(x)的极大值点 x1 为 f(x)的极小值点2若函数 f(x)2 x3 ax236 x1 在 x2 处有极值，则 a 的值为_3函数 f(x)ln x x 在区间(0，e)上的极大值为_4关于函数 f(x) x33 x2有下列命题，其中正确命题的序号是_ f(x)是增函数； f(x)是减函数，无极值； f(x)的增区间是(，0)和(2，)，减区间为(0,2)； f(0)0 是极大值，
9、f(2)4 是极小值5已知函数 f(x)=ax3 bx2 cx，其导函数 y f( x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是_.(填序号)当 x 时函数取得极小值； f(x)有两个极值点；当 x2 时函数取得极小值；32当 x1 时函数取得极大值6设 aR，若函数 ye x ax， xR，有大于零的极值点，则 a 的取值范围是_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记4知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)函数 f(x)的定义域为 R.f( x)3 x2123( x2)( x2)令 f( x)0，得
10、x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，2 ) 2 (2,2) 2 (2， )f( x) 0 0 f(x) A极大值f(2)16 A极小值f(2)16 A从上表可以看出：当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)16；当 x2 时，函数有极小值，且 f(2)16.(2)函数的定义域为 R.f( x) .2(x2 1) 4x2(x2 1)2 2(x 1)(x 1)(x2 1)2令 f( x)0，得 x1 或 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，1 ) 1 (1,1) 1 (1， )f( x) 0 0 f(x) A极小值f
11、(1)3 A极大值f(1)1 A由上表可以看出：当 x1 时，函数有极小值，且 f(1)3；当 x1 时，函数有极大值，且 f(1)1.迁移与应用：13 1 解析： f( x)33 x2，令 f( x)0 得 x1，当 x(，1)时， f( x)0，当 x(1,1)时， f( x)0，当 x(1，)时， f( x)0， f(x)在 x1 处取极小值1，在 x1 处取极大值 3.2解： f( x)3 x26 x9.令 3x26 x90，解得 x11， x23.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f( x) 0 0 f(x) A极大值
12、 A极小值 A因此，当 x1 时， f(x)有极大值，且极大值为 f(1)10；当 x3 时， f(x)有极小值，且极小值为 f(3)22.活动与探究 2：解：(1) f(x) ax3 bx2，5 f( x)3 ax2 b.依题意可得 f(1)0 且 f(1)0，即Error! 解得Error!(2)由(1)知 f(x) x33 x2， f( x)3 x23，令 f( x)0 得 3x230，所以 x1.故函数 f(x)在 x1 处取得另一个极值，且极值为 f(1)1324.迁移与应用：119 解析： y3 x212 x3 x(x4)令 y0 得 x0 或 x4，当x0 或 x4 时， y0，
13、函数递减；当 0 x4 时，函数递增，故 f(x)在 x4 处取得极大值，且 f(4)6496m13，故 m19.2 a0 解析： f( x)3 x2 a，由于 f(x)在 R 上有两个极值点，所以方程 f( x)0 在 R 上有两个不同的实数根，即 012 a0，解得 a0.活动与探究 3：解：函数的定义域为 xR 且 x0.y2 ，令 y0，得 x2.8x2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表：x (，2) 2 (2,0) 0 (0,2) 2 (2，)y 0 0 y A8 AA8 A因此当 x=2 时， y 取得极大值8；当 x=2 时， y 取得极小值 8.由表易知 y=2x+
14、的草图如图所示迁移与应用：解：(1) f( x)=x24.解方程 x24=0，得 x1=2， x2=2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (， 2) 2 (2,2) 2 (2，+)f( x) + 0 0 +f(x) A83A43A从上表看出，当 x2 时，函数有极大值，且极大值为 f(2) ；2836而当 x=2 时，函数有极小值，且极小值为 f(2)= 43.函数 f(x)=13x34 x+4 的图象如图所示当堂检测1 解析：由 f( x) xe x(e x) xe xe xxe x(x1)0，得 x1.当x1 时， f( x)0， f(x)在(，1)上是减少的；
15、当 x1 时， f( x)0， f(x)在(1，)上是增加的所以 x1 为 f(x)的极小值点215 解析： f( x)6 x22 ax36，依题意 f(2)0，所以 244 a360，解得 a15.31 解析：定义域为(0，)， f( x) 1.令 f( x)0 得 x1，且当1x0 x1 时， f( x)0， x(1，e)时 f( x)0，故 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)ln 11011.4 解析： f( x)3 x26 x，令 f( x)0，则 x0 或 x2.利用极值的求法可求得 x0 是极大值点， x2 是极小值点5 解析：从图象上可以看到：当 x(，1)时， f( x)0；当 x(1,2)时，f( x)0；当 x(2，)时， f( x)0，所以 f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x2时函数取得极小值，当 x1 时函数取得极大值只有不正确6 a1 解析： ye x a，依题意方程 ex a0 有大于 0 的实数根，而ae x，所以 ex1，e x1，即 a1.
