1、1专题十八 不等式选讲卷 卷 卷2018含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题2017含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法含绝对值不等式的解法、函数最值的求解2016含绝对值不等式的解法、分段函数的图象及应用含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式及应用含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质纵向把握趋势考题主要涉及绝对值不等式的解法及绝对值不等式的恒成立问题、由不等式的解集求参问题预计2019 年仍以考查绝对值不等式的解法为主，同时兼顾最值或恒成立问题
2、的考查考题涉及绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题以及不等式的证明，难度适中预计 2019 年会考查含绝对值不等式的解法、不等式的证明问题考题涉及绝对值不等式的解法、绝对值不等式的恒成立问题、函数最值的求解，难度适中预计 2019年仍会考查绝对值不等式的解法，同时要关注不等式的证明问题横向把握重点1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.含绝对值不等式的解法由题知法(2018福州模拟)设函数 f
3、 (x)| x1|， xR.典 例 2(1)求不等式 f (x)3 f (x1)的解集；(2)已知关于 x 的不等式 f (x) f (x1)| x a|的解集为 M，若 M，求实数(1，32)a 的取值范围解 (1)因为 f (x)3 f (x1)，所以| x1|3| x2| x1| x2|3Error! 或 Error!或Error!解得 0 xa(a0)f (x)a 或 f (x)0) a0)，| x a| x b| c(或 c)(c0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤：()令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；()
4、将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；()由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；()取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于| x a| x b|与| x a| x b|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如| x a| x b| c(c0)或| x a| x b| c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观应用通关31(2018全国卷)已知 f (x)| x1| ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f (x)1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式
5、f (x)x 成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f (x)| x1| x1|，即 f (x)Error!故不等式 f (x)1 的解集为 .x x12(2)当 x(0,1)时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0,1)时| ax1|0，则| ax1|(|2x1|2 x1|) min即可由于|2 x1|2 x1|12 x|2 x1|12 x(2 x1)|2，当且仅当(12 x)(2x1)0，即 x 时等号成立，故 m2.12， 12所以 m 的取值范围是(2，)不等式的证明由题知法1含有绝对值的不等式的性质4|a| b| ab| a| b|.2算术几何平均不等式定理 1：
6、设 a， bR，则 a2 b22 ab.当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b 为正数，则 ，当且仅当 a b 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a， b， c 为正数，则 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an(2018沈阳质监)已知 a0， b0，函数 f (x)| x a| x b|.典 例 (1)当 a1， b1 时，解关于 x 的不等式 f (x)1；(2)若函数 f (x)的最大
7、值为 2，求证： 2.1a 1b解 (1)当 a1， b1 时，f (x)| x1| x1|Error!当 x1 时， f (x)21，不等式恒成立，此时不等式的解集为 x|x1；当1 x1，所以 x ，12此时不等式的解集为 ；x121，不等式不成立，此时无解综上所述，不等式 f (x)1 的解集为 .xx12(2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得|x a| x b| a b|， a0， b0， a b2， (a b) 2，当且仅当 a b1 时，等号成立1a 1b 12 (1a 1b) 12(2 ba ab)法二： a0， b0， a1.|1 abcab c|解：(1)由已知，令 f (
8、x)| x1| x1|Error!由| f (x)|1，只需证|1 abc|ab c|，|1 abcab c|即证 1 a2b2c2a2b2 c2，即证 1 a2b2c2(1 a2b2)，即证(1 a2b2)(1 c2)0，由 a， b， c A，得10 恒成立综上， 1.|1 abcab c|2(2018陕西质检)已知函数 f (x)|2 x1| x1|.(1)解不等式 f (x)3；(2)记函数 g(x) f (x)| x1|的值域为 M，若 t M，求证： t21 3 t.3t解：(1)依题意，得 f (x)Error! f (x)3Error!或Error!或Error!解得 1 x1
9、，即不等式 f (x)3 的解集为 x|1 x1(2)证明： g(x) f (x)| x1|2 x1|2 x2|2 x12 x2|3，当且仅当(2x1)(2 x2)0 时取等号， M3，)原不等式等价于 t23 t1 ，3t6 t3，)， t23 t0， t23 t11，又 1， t23 t1 ， t21 3 t.3t 3t 3t含绝对值不等式的恒成立问题由题知法(2018郑州第一次质量预测)设函数 f (x)| x3|， g(x)|2 x1|.典 例 (1)解不等式 f (x)ax4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)由已知，可得| x3|0，解得 x4.23故所求不等式
10、的解集为 (4，)( ， 23)(2)由已知，设 h(x)2 f (x) g(x)2| x3|2 x1|Error!当 x3 时，只需4 x5 ax4 恒成立，即 ax 4 恒成立， 4x 9x 9x a max， a1；( 49x)当3ax4 恒成立，12即 ax3 ax4 恒成立，12即 ax0， a4，且 x时，4 4， a4.1x 1x综上， a 的取值范围是(1,47类题通法 绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a f (x)或 a f (x)形式(2)转化最值： f (x)a 恒成立 f (x)mina；f (x)a 有解 f (x)maxa；
11、f (x)a 无解 f (x)max a；f (x) .34 32 32所以不等式的解集为 .x x34(2)若对任意的 tR， sR，都有 g(s) f (t)，可得 g(x)min f (x)max.函数 f (x)|2 x1|2 x3|2 x1(2 x3)|4， f (x)max4. g(x)| x1| x a| x1( x a)| a1|，故 g(x)min| a1|.| a1|4， a14 或 a14，解得 a3 或 a5.故 a 的取值范围为(，53，)2(2019 届高三洛阳第一次联考)已知函数 f (x)| x12 a| x a2|， aR， g(x) x22 x4 .4 x
12、1 2(1)若 f (2a21)4| a1|，求实数 a 的取值范围；8(2)若存在实数 x， y，使 f (x) g(y)0，求实数 a 的取值范围解：(1) f (2a21)4| a1|，|2 a22 a| a21|4| a1|，| a1|(2| a| a1|4)0，|2 a| a1|4 且 a1.若 a1，则2 a a14， a4， a4， a1.综上所述， a 的取值范围为 (1，)( ， 53)(2) g(x)( x1) 2 54 x 1 22 51， x 1 2 4 x 1 2显然可取等号， g(x)min1.于是，若存在实数 x， y，使 f (x) g(y)0，只需 f (x)
13、min1.又 f (x)| x12 a| x a2|( x12 a)( x a2)|( a1) 2，( a1) 21，1 a11，0 a2，故实数 a 的取值范围为0,2专题跟踪检测(对应配套卷 P209)1(2018全国卷)设函数 f (x)5| x a| x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f (x)0 的解集；(2)若 f (x)1，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f (x)Error!当 x2 时，由2 x60，解得 2 .所以 3 时，原不等式可化为 x3 x2 ，解得 m2，m210又 mf (a) f ( b)解：(1)当 x1 时，原不等式可化为 x11.12综上
14、， M x|x1(2)证明：因为 f (a) f ( b)| a1| b1| a1( b1)| a b|，所以要证 f (ab)f (a) f ( b)，只需证| ab1| a b|，即证| ab1| 2|a b|2，即证 a2b22 ab1 a22 ab b2，即证 a2b2 a2 b210，即证( a21)( b21)0.11因为 a， b M，所以 a21， b21，所以( a21)( b21)0 成立，所以原不等式成立6(2018广东五市联考)已知函数 f (x)| x a| (a0)12a(1)若不等式 f (x) f (x m)1 恒成立，求实数 m 的最大值；(2)当 a 时，
15、f (x)单调递增， f (x)的最小值在12 5a上取得12， 5a12在 上，当 0 a2 时， f (x)单调递增，12， 5a当 2 a5 时， f (x)单调递减，Error! 或Error!解得 a2.8(2018成都模拟)已知函数 f (x)| x2| k|x1|， kR.(1)当 k1 时，若不等式 f (x)2 时，原不等式可化为 2x5，2 x ；52当1 x2 时，原不等式可化为 34，1 x2.当 x1 时，原不等式可化为2 x3， x1；32综上，原不等式的解集为 ，x32x52即 x1 ， x2 . x1 x21.32 52(2)由题意，得| x2| k|x1| k.当 x2 时，即不等式 3k k 成立， k0.当 x2 或 x0 时，| x1|1，不等式| x2| k|x1| k 恒成立当2 x1 时，原不等式可化为 2 x kx k k，可得 k 1 ， k3.2 xx 2 4x 2当1 x0 时，原不等式可化为 2 x kx k k，可得 k1 ，2x k3.综上，可得 0 k3，即 k 的最大值为 3.13
