1、1专题十三 圆锥曲线的综合问题卷 卷 卷2018椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19直线与抛物线的位置关系、弦长问题、抛物线与圆的综合问题T19直线与椭圆的位置关系、不等式的证明与平面向量综合问题T202017椭圆的标准方程、直线过定点问题T20轨迹问题、直线过定点问题T20直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程T202016轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题T20直线与椭圆的位置关系、求三角形的面积、参数的取值范围问题T20直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题T20纵向把握趋势卷3 年 3 考，难度较大，涉及椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题、定值问
2、题、轨迹问题、取值范围问题及证明问题特别注意 2018年高考将此综合题前移到第 19题，难度降低这一变化，预计 2019 年仍会以椭圆为载体考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及定点或定值问题卷3 年 3 考，难度偏大，涉及轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、直线与椭圆的位置关系、轨迹问题、三角形面积、范围问题以及直线过定点问题特别注意 2018年高考将此综合题前移到第 19 题，难度降低这一变化，预计 2019 年会以椭圆为载体考查弦长问题及弦长取值范围问题卷3 年 3 考，涉及直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及证明问题预计2019 年会将抛物线与圆综合考查，考查直线与圆
3、或抛物线的位置关系及其应用问题2横向把握重点解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.考法一 定点、定值问题题型策略(一)Error!(2018南昌模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F(1,0)， O 为坐标例 1原点， A， B 是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA， OB 的斜率之积为 ，求证：直
4、线 AB 过 x 轴上一定点12破题思路第(1)问求什么想什么求抛物线 C 的方程，想到求 p 的值给什么用什么给出焦点 F 的坐标，利用焦点坐标与 p 的关系求 p第(2)问求什么想什么 求证：直线 AB 过 x 轴上一定点，想到直线 AB 的方程给什么用什么题目条件中给出“ A， B 是抛物线 C 上异于点 O 的两点”以及“直线 OA， OB的斜率之积为 ”，可设 A， B 两点的坐标，也可设直线 AB 的方程12差什么找什么要求直线 AB 的方程，还需要知道直线 AB 的斜率是否存在，可分类讨论解决规范解答(1)因为抛物线 y22 px(p0)的焦点坐标为 F(1,0)，所以 1，所以
5、 p2.p23所以抛物线 C 的方程为 y24 x.(2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 A ， B .(t24， t) (t24， t)因为直线 OA， OB 的斜率之积为 ，12所以 ，化简得 t232.tt24 tt24 12所以 A(8， t)， B(8， t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y kx b， A(xA， yA)， B(xB， yB)，联立Error!消去 x，化简得 ky24 y4 b0.所以 yAyB ，4bk因为直线 OA， OB 的斜率之积为 ，12所以 ，yAxA yBxB 12整理得 xAxB2 yAyB0.即
6、 2 yAyB0，y2A4 y2B4解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB 32，即 b8 k，4bk所以 y kx8 k，即 y k(x8)综上所述，直线 AB 过定点(8,0)题后悟通思路受阻分析不能正确应用条件“直线 OA， OB 的斜率之积为 ”是造成不能解决12本题的关键技法关键点拨定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动这类问题的求解一般可分为以下三步：4对点训练1(2018成都一诊)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点 F( ，0)，长半轴长与x2a2 y2b2 3短半轴长的比
7、值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，若点 B 在以线段 MN为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得， c ， 2， a2 b2 c2，3ab a2， b1，椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx m(m1)， M(x1， y1)，N(x2， y2)联立Error! 消去 y，可得(4 k21) x28 kmx4 m240. 16(4 k21 m2)0，x1 x2 ， x1x2 . 8km4k2 1 4m2 44k2
8、 1点 B 在以线段 MN 为直径的圆上， 0.BM BN 则 ( x1， kx1 m1)( x2， kx2 m1)( k21) x1x2 k(m1)( x1 x2)BM BN ( m1) 20，( k21) k(m1) ( m1) 20，4m2 44k2 1 8km4k2 1整理，得 5m22 m30，解得 m 或 m1(舍去)355直线 l 的方程为 y kx .35易知当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意故直线 l 过定点，且该定点的坐标为 .(0， 35)题型策略(二)Error!(2018沈阳质监)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 1 上，过 M 作例 2x29 y24x 轴的
9、垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F(1,0)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A， B 两点，过 F(1,0)作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C， D 两点，求证： 为定值1|AB| 1|CD|破题思路第(1)问求什么想什么求点 P 的轨迹 E 的方程，想到建立点 P 的横坐标 x 与纵坐标 y 的关系式给什么用什么题目条件中给出 ，利用此条件建立点 P 的横坐标与纵坐NP 2NM 标的关系式差什么找什么要求点 P 的轨迹方程，还缺少点 P， M， N 的坐标，可设点 P(x， y)，M(x0， y0)， N(x,
10、0)，然后用 x， y 表示 x0， y0第(2)问求什么想什么 要证明 为定值，想到利用合适的参数表示| AB|和| CD|1|AB| 1|CD|给什么用什么题目条件给出过 F(1,0)互相垂直的两条直线分别与轨迹 E 分别交于A， B 和 C， D 两点，用弦长公式可求| AB|和| CD|差什么找什么要求| AB|和| CD|，还缺少直线 l1和 l2的方程，可设出直线斜率，利用点斜式表示直线方程但要注意直线斜率不存在的情况规范解答(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x,0)6 ，(0， y) (x0 x， y0)，NP 2 NM 2 x0 x， y0 .y2又点 M
11、 在椭圆上， 1，x29 (y2)24即 1.x29 y28点 P 的轨迹 E 的方程为 1.x29 y28(2)证明：由(1)知 F 为椭圆 1 的右焦点，x29 y28当直线 l1与 x 轴重合时，|AB|6，| CD| ，2b2a 163 .1|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴垂直时，| AB| ，| CD|6，163 .1|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l1的方程为 y k(x1)( k0)，则直线 l2的方程为 y (x1)，1k设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 消去 y，得(89 k2)
12、x218 k2x9 k2720，则 (18 k2)24(89 k2)(9k272)2 304( k21)0，x1 x2 ， x1x2 ，18k28 9k2 9k2 728 9k2| AB| .1 k2 x1 x2 2 4x1x248 1 k28 9k2同理可得| CD| .48 1 k29 8k2 .1|AB| 1|CD| 8 9k248 k2 1 9 8k248 k2 1 1748综上可得 为定值1|AB| 1|CD|题后悟通7思路受阻分析在解决本题第(1)问时，不能正确应用 求得点 P 的轨NP 2 NM 迹 E 的方程，导致第(2)问也无法求解，是解决本题易发生的错误之一；在解决第(2)
13、问时，忽视直线斜率的不存在性或不能正确求解|AB|，| CD|都是常见解题失误的原因.技法关键点拨定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题其求解步骤一般为：对点训练2已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2，0)， B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图所示，点 D 为 x 轴上一点，过点 D 作 x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点 M， N，过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证： BDE与 BDN 的面积之比为定值，并求出该定值解：
14、(1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由题意得Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明：法一：设 D(x0,0)， M(x0， y0)， N(x0， y0)，23)的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于例 1x2t y23A， M 两点，点 N 在 E 上， MA NA.9(1)当 t4，| AM| AN|时，求 AMN 的面积；(2)当 2|AM| AN|时，求 k 的取值范围破题思路第(1)问求什么想什么 求 AMN 的面积，想到三角形的面积公式 S 底高或 S absin C12 12给什么用什么题目条件中给出“ MA N
15、A，| AM| AN|”，得 AMN 为等腰直角三角形，故可利用面积 S |AM|AN|求解12差什么找什么到此就缺少| AM|，| AN|的值，由于 A 点已知，故想法求 M， N 的坐标第(2)问求什么想什么求 k 的取值范围，想到建立关于 k 的不等式给什么用什么题目条件中给出 2|AM| AN|，可利用此条件建立 t 与 k 的关系式差什么找什么缺少关于 k 的不等式，想到 t3 即可建立 k 的不等式规范解答(1)由| AM| AN|，可得 M， N 关于 x 轴对称，由 MA NA，可得直线 AM 的斜率 k 为 1.因为 t4，所以 A(2,0)，所以直线 AM 的方程为 y x
16、2，代入椭圆方程 1，可得 7x216 x40，x24 y23解得 x2 或 x ，27所以 M ， N ，(27， 127) ( 27， 127)则 AMN 的面积为 .12 247 ( 27 2) 14449(2)由题意知 t3， k0， A( ，0)，t将直线 AM 的方程 y k(x )代入 1 得(3 tk2)tx2t y23x22 tk2x t2k23 t0 ，t10设 M(x1， y1)，则 x1( ) ，即 x1 ，tt2k2 3t3 tk2 t 3 tk23 tk2故| AM| x1 | .t 1 k26t 1 k23 tk2由题设知，直线 AN 的方程为 y (x )，1k
17、 t故同理可得| AN| .6kt 1 k23k2 t由 2|AM| AN|，得 ，23 tk2 k3k2 t即( k32) t3 k(2k1)当 k 时上式不成立，因此 t .323k 2k 1k3 2由 t3，得 3，3k 2k 1k3 2所以 3，不能建立关于 k的不等式，从而导致问题无法求解.技法关键点拨利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围转化为已知参数的范围问题.利 用 已 知 条 件 中 的 几 何 关 系 构 建 目 标 不 等 式设椭圆 1( a )的右焦点为 F，右顶点为 A.已知| OA| OF|1，例 2x2a
18、2 y23 3其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程及离心率 e 的值；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H.若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围11破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆的标准方程及离心率 e 的值，想到利用 a， b， c 的关系求参数 a及离心率 e 的值给什么用什么题目条件中给出| OA| OF|1，则 a c1差什么找什么还缺少一个关于 a 和 c 的关系式，可利用 a2 b2 c2第(2)问求什么想什么求直线 l 的斜率 k 的取值范
19、围，想到建立关于斜率 k 的不等式给什么用什么由题目条件垂直于直线 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，利用kkMH1，建立关于 k 的两条直线方程，由题目条件 MOA MAO，利用三角形的大角对大边，建立关于 xM的不等式，利用题目条件 BF HF，即 0 建立关系式BF HF 差什么找什么还缺少关于 k 的不等式，应找到 xM与 k 的关系构建关于 k 的不等式规范解答(1)由题意可知| OF| c ，a2 3又| OA| OF|1，所以 a 1，解得 a2，a2 3所以椭圆的方程为 1，x24 y23离心率 e .ca 12(2)设 M(xM， yM)，易知 A(2,0)
20、，在 MAO 中， MOA MAO|MA| MO|，即( xM2) 2 y x y ，化简得 xM1.2M 2M 2M设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y k(x2)设 B(xB， yB)，联立Error!消去 y，整理得(4 k23) x216 k2x16 k2120，12解得 x2 或 x .8k2 64k2 3由题意得 xB ，从而 yB .8k2 64k2 3 12k4k2 3由(1)知 F(1,0)，设 H(0， yH)，则 (1， yH)， .FH BF (9 4k24k2 3， 12k4k2 3)由 BF HF，得 0，BF FH 即 0，解得 yH ，4k
21、2 94k2 3 12kyH4k2 3 9 4k212k所以直线 MH 的方程为 y x .1k 9 4k212k由Error! 消去 y，得 xM .20k2 912 k2 1由 xM1，得 1，解得 k 或 k ，20k2 912 k2 1 64 64所以直线 l 的斜率的取值范围为 .( ， 64 64， )题后悟通思路受阻分析不能将条件中的几何信息 MOA MAO 准确地转化成代数不等式 xM1，并将其用直线 l 的斜率表示出来，得到目标不等式，是不能正确求解此题的常见原因.技法关键点拨利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思想，将几何关系转化为代数不等式，从
22、而构建出目标不等式.利 用 点 在 曲 线 内 外 的 充 要 条 件 或 判 别 式 构 建 目 标 不 等 式已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 Q 到两个焦点 F1， F2的距例 3离之和为 4，离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N，且线段 MN 恰被直线 x 平分，设弦12MN 的垂直平分线的方程为 y kx m，求 m 的取值范围破题思路13第(1)问求什么想什么求椭圆 C 的方程，想到求椭圆的长半轴 a 和短半轴 b 的值给什么用什么题目条件中给出椭圆焦点的位置，以及椭圆上一点 Q 到两个焦点 F1， F
23、2的距离之和及离心率，用椭圆的定义和离心率公式即可求 a， b 的值第(2)问求什么想什么求 m 的取值范围，想到建立关于 m 的不等式给什么用什么题目条件给出线段 MN 恰被直线 x 平分，弦 MN 的垂直平分线方程为12y kx m，用 y kx m 是弦 MN 的中垂线及 MN 的中点在直线 x 上，12可设出中点坐标 P ，建立 y0与 m 的关系，通过 y0范围求 m 范围或(12， y0)建立 m 与 k 的关系式差什么找什么还缺少建立不等式的条件，注意到 MN 的中点在椭圆内部及直线 x 上，12其隐含条件为线段 MN 的中点纵坐标的范围可确定或联立直线 l 与椭圆方程，利用判别
24、式 0 求解规范解答(1)由题意可设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2由条件可得 a2， c ，则 b1.3故椭圆 C 的方程为 x21.y24(2)法一：设弦 MN 的中点为 P ， M(xM， yM)， N(xN， yN)，则由点 M， N 为椭圆(12， y0)C 上的点，可知 4x y 4,4 x y 4，两式相减，2M 2M 2N 2N得 4(xM xN)(xM xN)( yM yN)(yM yN)0，将 xM xN2 1， yM yN2 y0， ，代入上式得 k .(12) yM yNxM xN 1k y02又点 P 在弦 MN 的垂直平分线上，(12， y0)
25、所以 y0 k m，所以 m y0 k y0.12 12 3414由点 P 在线段 BB上 B( xB， yB)， B(xB， yB)为直(12， y0)线 x 与椭圆的交点，如图所示，12所以 yB0，得 k ，(32， 0) (0， 32)所以 m k ，32 ( 334， 0) (0， 334)即 m 的取值范围为 .(334， 0) (0， 334)题后悟通思路受阻分析利用点差法求解第(2)问时，关键是利用点差法得到目标参数 m 与 y0的关系，再根据点 P 与椭圆的位置关系得到 y0的取值范围，(12， y0)15从而求得目标参数 m 的取值范围很多同学在解决本题时往往出现如下失误：
26、(1)忽视 y0的取值范围而造成思路受阻无法正确求解(2)利用判别式法求解此题时，抓住直线与圆锥曲线相交这一条件，利用判别式 0 构建 m 与 k 的关系式，从而得所求，但部分考生忽视 0，导致思路受阻而无法求解技法关键点拨(1)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式(2)利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式 的关系建立目标不等式对点训练1已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭圆 E 的长轴和短32轴为对角线的四边形的周长为 4 .直线 l： y kx
27、m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 相交于5A， B 两个点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 3 ，求 m2的取值范围AP PB 解：(1)根据已知设椭圆 E 的方程为 1( ab0)，焦距为 2c，y2a2 x2b2由已知得 ， c a， b2 a2 c2 .ca 32 32 a24以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ，54 2 a4 ， a2， b1.a2 b2 5 5椭圆 E 的方程为 x2 1.y24(2)根据已知得 P(0， m)，设 A(x1， kx1 m)， B(x2， kx2 m)，由Error! 消去 y，得( k24) x22 mkx m240.由已知
28、得 4 m2k24( k24)( m24)0，即 k2 m240，且 x1 x2 ， x1x2 . 2kmk2 4 m2 4k2 4由 3 ，得 x13 x2.AP PB 163( x1 x2)24 x1x212 x 12 x 0.2 2 0，12k2m2 k2 4 2 4 m2 4k2 4即 m2k2 m2 k240.当 m21 时， m2k2 m2 k240 不成立， k2 .4 m2m2 1 k2 m240， m240，即 0.4 m2m2 1 4 m2 m2m2 1解得 1b0)，x2a2 y2b2焦距为 2c，则 b c， a2 b2 c22 b2，椭圆 E 的标准方程为 1.x22
29、b2 y2b2又椭圆 E 过点 ， 1，解得 b21.(1，22) 12b2 12b2椭圆 E 的标准方程为 y21.x22(2)由于点(2,0)在椭圆 E 外，直线 l 的斜率存在18设直线 l 的斜率为 k，则直线 l： y k(x2)，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)由Error! 消去 y 得，(12 k2)x28 k2x8 k220.由 0，得 0 k2b0)经过点 P ，且离心x2a2 y2b2 (1， 22)19率为 .22(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 F1， F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，不经过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 A， B.如果
30、直线 AF1， l， BF1的斜率依次成等差数列，求焦点 F2到直线 l 的距离 d 的取值范围解：(1)由题意，知Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)易知直线 l 的斜率存在且不为零设直线 l 的方程为 y kx m，代入椭圆方程 y21，x22整理得(12 k2)x24 kmx2( m21)0.由 (4 km)28(12 k2)(m21)0，得 2k2m21.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4km1 2k2 2 m2 11 2k2因为 F1(1,0)，所以 kAF1 ， kBF1 .y1x1 1 y2x2 1
31、由题可得 2k ，且 y1 kx1 m， y2 kx2 m，y1x1 1 y2x2 1所以( m k)(x1 x22)0.因为直线 l： y kx m 不过焦点 F1(1,0)，所以 m k0，所以 x1 x220，从而 20，4km1 2k2即 m k .12k由得 2k2 21，化简得| k| .(k12k) 22焦点 F2(1,0)到直线 l： y kx m 的距离d ，|k m|1 k2 |2k 12k|1 k22 12k21k2 1令 t ，由| k| 知 t(1， )1k2 1 22 320于是 d ，t2 32t 12(t 3t)因为函数 f (t) 在1， 上单调递减，12(t
32、 3t) 3所以 f ( )0，则Error! 所以 x1 x2( my16)( my26)4 m212， 因为 x1x2 ，所以 x1x236， y214 y24假设存在 N(x0， y0)，使得 0，NA NB 由题意可知 y0 ，所以 y02 m， y1 y22由 N 点在抛物线上可知 x0 ，即 x0 m2， y204又 ( x1 x0， y1 y0)， ( x2 x0， y2 y0)，NA NB 若 0，NA NB 则 x1x2 x0(x1 x2) x y1y2 y0(y1 y2) y 0，20 20由代入上式化简可得：3 m416 m2120，即( m26)(3 m22)0，所以
33、m2 ，故 m ，23 63所以存在直线 3x y180 或 3x y180，使得 NA N B.6 6题后悟通思路受阻本题(2)中条件的关系较多且层层递进又相互关联先是过定点的直线 l 与曲线 T相交于 A， B，再是过 A， B 中点与 x 轴平行的直线交曲线 T 于点 N，再是 NA NB，23分析 能否合理转化这些条件及条件中的关系是正确解决此题的关键常因不会转化或转化过程中计算失误导致无法继续解题或解题失误技法关键点拨存在性问题的求解方法(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明朗化一般步骤：假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；列出关于待定系
34、数的方程(组)；若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法题型策略(二)Error!含字母参数的存在性问题如图，椭圆 C： 1( ab0)经过点 P ，离心率 e ，直线 l例 2x2a2 y2b2 (1， 32) 12的方程为 x4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P)，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记直线 PA， PB， PM 的斜率分别为 k1， k2， k3.问：是否存在常数 ，使得 k1 k2 k 3？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由破题思路第(1)问求什么
35、想什么求椭圆 C 的方程，想到求 a， b 的值给什么用什么题目条件中给出椭圆过点 P ，离心率 e .将 P 点坐标代入椭圆方程可得(1，32) 12a， b 的关系式；用离心率公式可得 a， c 的关系式，另外，还有 a2 b2 c2，即可求得 a， b 的值第(2)问求什么想什么判断是否存在常数 ，使 k1 k2 k 3成立想到 k1 k2 k 3是否有解给什么 题目条件中给出直线 AB 过右焦点 F，且与椭圆及直线 l 分别交于点 A， B， M，直24用什么 线 PA， PB， PM 的斜率分别为 k1， k2， k3，想到用斜率公式表示 k1， k2， k3差什么找什么需要 A，
36、B， M 的坐标，可设出 A， B， M 的坐标，通过建立直线 AB 与椭圆方程的方程组求得各坐标的关系规范解答(1)由题意得Error!解得Error!故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意可设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y k(x1)，代入椭圆方程，并整理，得(4 k23) x28 k2x4( k23)0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x21，则 x1 x2 ， x1x2 ，8k24k2 3 4 k2 34k2 3在方程中令 x4，得点 M 的坐标为(4,3 k)从而 k1 ， k2 ， k3 k .y1 32x1 1y2 32
37、x2 13k 324 1 12因为 A， F， B 三点共线，所以 k kAF kBF，即 k，y1x1 1 y2x2 1所以 k1 k2 2 k y1 32x1 1y2 32x2 1 y1x1 1 y2x2 1 32( 1x1 1 1x2 1) 32，x1 x2 2x1x2 x1 x2 1将代入得，k1 k22 k 2 k1，328k24k2 3 24 k2 34k2 3 8k24k2 3 1又 k3 k ，所以 k1 k22 k3.12故存在常数 2 符合题意题后悟通思路 不会利用 A， F， B 三点共线建立各个坐标之间的数量关系，从而不能将 k1 k2进行化25受阻分析简是导致解题受阻
38、、不能正确求解的主要原因技法关键点拨字母参数值存在性问题的求解方法求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛看，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程对点训练(2019 届高三福州四校联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，短轴的一个端点为 P， PF1F2内切圆的半径为 ，设过点 F2的直线 l 被椭圆 C 截得b3的线段为 RS，当 l x 轴
39、时，| RS|3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)在 x 轴上是否存在一点 T，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由内切圆的性质，得 2cb (2a2 c) ，所以 .12 12 b3 ca 12将 x c 代入 1，x2a2 y2b2得 y ，所以 3.b2a 2b2a又 a2 b2 c2，所以 a2， b ，3故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 垂直于 x 轴时，显然 x 轴上任意一点 T 都满足 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称当直线 l 不垂直于 x 轴时
40、，假设存在 T(t,0)满足条件，设 l 的方程为 y k(x1)，R(x1， y1)， S(x2， y2)联立Error! 消去 y，得(34 k2)x28 k2x4 k2120，由根与系数的关系得Error!，其中 0 恒成立，由 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，得 kTS kTR0(显然 TS， TR 的斜率存在)，即 0.y1x1 t y2x2 t因为 R， S 两点在直线 y k(x1)上，26所以 y1 k(x11)， y2 k(x21)，代入得k x1 1 x2 t k x2 1 x1 t x1 t x2 t 0，k2x1x2 t 1 x1 x2 2t x1 t x2
41、t即 2x1x2( t1)( x1 x2)2 t0.将代入得8k2 24 t 1 8k2 2t 3 4k23 4k2 0，6t 243 4k2则 t4，综上所述，存在 T(4,0)，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称高考大题通法点拨圆锥曲线问题重在“设”设点、设线思维流程 策略指导 圆锥曲线解答题的常见类型是：第 1 小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单第 2 小题往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点” “线” ，设而不求在具体求
42、解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算 27已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P 在椭典 例 x2a2 y2b2 (1， 32)圆 C 上， O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且 AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k
43、的取值范围；(3)过椭圆 C1： 1 上异于其顶点的任一点 P，作圆 O： x2 y2 的两条切线，x2a2 y2b2 53 43切点分别为 M， N(M， N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m， n，证明： 为定值13m2 1n2破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆 C 的标准方程，想到求 a 和 b 的值给什么用什么题目条件中给出椭圆的右焦点为 F(1,0)以及椭圆上的一点 P ，将点 P 代入(1，32)椭圆方程中，再结合 c2 a2 b2即可求解第(2)问求什么想什么求直线 l 的斜率 k 的取值范围，想到建立关于 k 的不等式给什么用什么题目条件中
44、给出直线 l 过定点(0,2)与椭圆交于不同的两点 A， B 且 AOB 为锐角，可用 k 表示出直线 l 的方程，与椭圆联立，得出关于 x 的一元二次方程由于直线与椭圆相交，故判别式 0，由于 AOB 为锐角，故 0，从而得出OA OB 关于 k 的不等式第(3)问求什么想什么 证明： 为定值，想到寻找合适的参数表示 m 和 n 或求出 m 和 n 的值13m2 1n2给什么用什么题目条件中给出 M， N 是过椭圆 C1上异于其顶点的任一点 P 作圆 O 的切线所得切点以及 m， n 为直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距用 P， M， N 的坐标表示出切线PM， PN 的方程以及直线
45、MN 的方程，再用点 P 的坐标表示出 m 和 n28差什么找什么需求出 m， n，可利用 P 点坐标表示 m， n.然后借助点 P 在椭圆 C1上求得定值证明问题规范解答(1)由题意得 c1，所以 a2 b21.又点 P 在椭圆 C 上，所以 1.(1，32) 1a2 94b2由可解得 a24， b23，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)设直线 l 的方程为y kx2， A(x1， y1)，B(x2， y2)，由Error! 得(4k23) x216 kx40，因为 16(12 k23)0，所以 k2 ，14则 x1 x2 ， x1x2 . 16k4k2 3 44k2 3因为 AOB 为锐角，所以 0，即 x1x2 y1y20，OA OB 所以 x1x2( kx12)
