1、1专题十七 坐标系与参数方程卷 卷 卷2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值纵向把握趋势考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、曲线方程的求解及点到直
2、线距离的应用预计 2019 年会以直线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程的应用考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中预计 2019 年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质横向把握重点1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用极坐标方程及应用由题知法1圆的极坐标方程2若圆心为 M( 0， 0)，半径为
3、r，则圆的方程为： 22 0 cos( 0) r20.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： 2 acos ；(3)当圆心位于 M ，半径为 a： 2 asin .(a， 2)2直线的极坐标方程若直线过点 M( 0， 0)，且极轴与此直线所成的角为 ，则它的方程为： sin( ) 0sin( 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点： 0和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)(2019 届高三广州七校第一次联考)已知曲
4、线 C 的参数方程为Error!( 为典 例 参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)设 l1： ， l2： ，若 l1， l2与曲线 C 相交于异于原点的两点 A， B，求 6 3 AOB 的面积解 (1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C 的普通方程为( x2) 2( y1) 25.将Error! 代入并化简得 4cos 2sin ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin .(2)在极坐标系中，曲线 C： 4cos 2sin ，由Error! 得| OA|2 1.3同理可得| OB|2 .3又 AOB
5、 ， 6 S AOB |OA|OB|sin AOB .12 8 534 AOB 的面积为 .8 534类题通法1极坐标方程与普通方程的互化技巧3(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos ， sin ， 2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos ，将 y 换成 sin ，即可得到其极坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结
6、果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标应用通关1(2019 届高三南宁模拟)已知曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin ，直线 l 的直角坐标方程为 y x.( 3) 33(1)求曲线 C1和直线 l 的极坐标方程；(2)已知直线 l 分别与曲线 C1、曲线 C2相交于异于极点的 A， B 两点，若 A， B 的极径分别为 1， 2，求| 2 1|的值解：(1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，得曲线 C1的普通方程为 x2( y1) 21，则 C1的极坐标方程为 2sin .
7、易知直线 l 过原点，且倾斜角为 ， 6故直线 l 的极坐标方程为 ( R) 6(2)曲线 C1的极坐标方程为 2sin ，直线 l 的极坐标方程为 ， 6将 代入 C1的极坐标方程得 11， 6将 代入 C2的极坐标方程得 24， 6| 2 1|3.2(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.4(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2
8、 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与
9、C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故|k 2|k2 1k0 或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.43参数方程及应用由题知法常见的几种曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程 参数方程直线y y0tan (x x0) Error!(t 为参数)圆(x x0)2( y y0)2 r2 Error!( 为参数)椭圆 1( ab0x2a2 y2b2 Error!( 为参数)5)抛物线 y22 px Error!(t 为参数)已知直
10、线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C 的参数方程为典 例 Error!( 为参数 )(1)若直线 l 与圆 C 的相交弦长不小于 ，求实数 m 的取值范围；2(2)若点 A 的坐标为(2,0)，动点 P 在圆 C 上，试求线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程解 (1)由直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，得直线 l 的普通方程为 y mx，由圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，得圆 C 的普通方程为 x2( y1) 21.则圆心(0,1)到直线 l 的距离 d ，1m2 1故相交弦长为 2 ，1 1m2 1所以 2 ，1 1m2 1 2解得 m1 或
11、 m1.所以实数 m 的取值范围为(，11，)(2)设 P(cos ，1sin )，Q( x， y)，则 x (cos 2)， y (1sin )，12 12消去 ，整理可得线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程为(x1) 2 2 .(y12) 14类题通法1参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用 sin2 cos 2 1 消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式： t 1；1t 2 24；(t1t) (t 1t)6 2 21.(2t1 t2) (1 t
12、21 t2)2与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为Error!( t 为参数)，|t|等于直线上的点 P 到点 P0(x0， y0)的距离若直线上任意两点 P1， P2对应的参数分别为t1， t2，则| P1P2| t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为 (t1 t2)12(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等应用通关1(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l
13、的参数方程为Error!( t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为x24 y216ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则 t1 t20.又由得 t1 t2 ，4 2c
14、os sin 1 3cos2故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2(2018石家庄质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( t 为参数)，在以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos .( 4) 2(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，点 P 是圆 C 上任意一点，求 A， B 两点的极坐标和 PAB 面积的最小值解：(1)由Error!消去参数 t，7得( x5) 2( y3) 22，所以圆 C 的普通方程
15、为( x5) 2( y3) 22.由 cos ，得 cos sin 2，( 4) 2所以直线 l 的直角坐标方程为 x y20.(2)直线 l 与 x 轴， y 轴的交点分别为 A(2,0)， B(0,2)，化为极坐标为 A(2，)， B ，(2， 2)设点 P 的坐标为(5 cos t,3 sin t)，2 2则点 P 到直线 l 的距离为d| 5 2cos t 3 2sin t 2|2 .| 6 2cos(t 4)|2所以 dmin 2 ，又| AB|2 .42 2 2所以 PAB 面积的最小值是 S 2 2 4.12 2 2极坐标方程与参数方程的综合问题由题知法(2018郑州第一次质量预
16、测)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点典 例 (1,0)，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 .8cos 1 cos2(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 AOB 的面积 4解 (1)由题意可得直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)曲线 C 的极坐标方程为 ，8cos 1 cos2 sin2 8cos ， 2sin2 8 cos ，即曲线 C 的直角坐标方程为 y28 x.8(2)法一：当 时，直线 l 的参数方程为 4Error!(t
17、 为参数)，代入 y28 x 可得 t28 t160，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t28 ， t1t216，2| AB| t1 t2| 8 . t1 t2 2 4t1t2 3又点 O 到直线 AB 的距离 d1sin ， 4 22 S AOB |AB|d 8 2 .12 12 3 22 6法二：当 时，直线 l 的方程为 y x1， 4设 M(1,0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 y28 y80，则 y1 y28， y1y28， SAOB |OM|y1 y2| 1 4 2 .12 12 y1 y2 2 4y1y2 12 82
18、 4 8 12 6 6类题通法 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件应用通关1(2018合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数 )，在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2cos 0.(1)求曲线 C2的直角坐标方程；(2)若曲线 C1上有一动点 M，曲线 C2上有一动点 N，
19、求| MN|的最小值解：(1)由 2cos 0 得 22 cos 0. 2 x2 y2， cos x， x2 y22 x0，即曲线 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y21.(2)由(1)可知，圆 C2的圆心为 C2(1,0)，半径为 1.9设曲线 C1上的动点 M(3cos ，2sin )，由动点 N 在圆 C2上可得| MN|min| MC2|min1.| MC2| 3cos 1 2 4sin2 ，5cos2 6cos 5当 cos 时，| MC2|min ，35 455| MN|min| MC2|min1 1.4552(2018陕西质检)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参
20、数方程为Error!(t0， 为参数)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 3.2 ( 4)(1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围解：(1)由 sin 3，得 sin cos 3，2 ( 4)把 x cos ， y sin 代入，得直线 l 的直角坐标方程为 x y30，当 t1 时，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2 y21，曲线 C 为圆，且圆心为 O，半径 r1，则点 O 到直线 l
21、 的距离 d ，|0 0 3|2 322曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 1 .322(2)曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，对任意的 R， tcos sin 30 恒成立，即 cos( )3 恒成立，t2 1 (其 中 tan 1t) 3，t2 1又 t0，0 t2 .2实数 t 的取值范围为(0,2 )2专题跟踪检测(对应配套卷 P207)1(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程10解：
22、(1) O 的直角坐标方程为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx . 2 2l 与 O 交于两点需满足 1，即 或 .( 2， 34) ( 4， 2)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error!（ t 为参数， ）.设 A， B， P 对应的参数分别为 4 34tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足 t22 tsin 10.tA tB2 2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P 的坐标( x， y)满足Error!所以点 P 的轨迹的参数方程是Error!（ 为
23、参数， ）. 4 342(2018开封模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C2：( x2) 2 y24，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程和交点 A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C2与 C3的交点为 B(非坐标原点)， 4求 OAB 的最大面积解：(1)由Error!( t 为参数)，得曲线 C1的普通方程为 y xtan ，故曲线 C1的极坐标方程为 ( R)将 x cos ， y sin 代入( x2) 2 y24，得 C2的极坐标方程为
24、4cos .故交点 A 的坐标为(4cos ， )(也可写出直角坐标)(2)由题意知，点 B 的极坐标为 .(22， 4) S OAB |12224cos sin( 4 )|，|22sin(2 4) 2|11当 sin 1 时，( S OAB)max2 2，(2 4) 2故 OAB 的最大面积是 2 2.23(2018辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线 C 的极坐标方程为 2sin ， .0， 2 (1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)在曲线 C 上求一点 D，使它到直线 l：Error!( t 为参数)的
25、距离最短，写出 D 点的直角坐标解：(1)由 2sin ，可得 22 sin ，曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y0.(2)由直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，消去 t 得 l 的普通方程为x y 50，3由(1)得曲线 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，又点(0,1)到直线 l 的距离为 21，|1 5|1 3所以曲线 C 与 l 相离因为点 D 在曲线 C 上，所以可设 D(cos ，1sin )，则点 D 到直线 l 的距离 d ，|3cos 1 sin 5|2 |2sin( 3) 4|2当 sin 1 时，点 D 到直线 l 的距离 d 最短，此时 ，故点
26、 D 的直角坐标( 3) 6为 .(32， 32)4(2019 届高三昆明调研)在平面直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点 A(2,1)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P，Q 两点(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若| PQ|2| AP|AQ|，求直线 l 的斜率 k.解：(1)直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2(4cos
27、)t30，由 (4cos )2430，得 cos2 ，3412则 t1 t24cos ， t1t23，由参数的几何意义知，|AP| t1|，| AQ| t2|，|PQ| t1 t2|，由题意知，( t1 t2)2 t1t2，则( t1 t2)25 t1t2，得(4cos )253，解得 cos2 ，满足 cos2 ，1516 34所以 sin2 ，tan 2 ，116 115所以直线 l 的斜率 ktan .15155已知曲线 C：Error!( 为参数)和定点 A(0， )， F1， F2是此曲线的左、右焦点，3以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 AF2
28、的极坐标方程；(2)经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l 交曲线 C 于 M， N 两点，求| MF1| NF1|的值解：(1)曲线 C：Error!可化为 1，x24 y23故曲线 C 为椭圆，则焦点 F1(1,0)， F2(1,0)所以经过点 A(0， )和 F2(1,0)的直线 AF2的方程为 x 1，即 x y 0，3y3 3 3所以直线 AF2的极坐标方程为 cos sin .3 3(2)由(1)知，直线 AF2的斜率为 ，因为 l AF2，所以直线 l 的斜率为 ，即倾斜333角为 30，所以直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，代入椭圆 C 的方程中，得 13
29、t212 t360.3则 t1 t2 .12313因为点 M， N 在点 F1的两侧，所以| MF1| NF1| t1 t2| .123136(2018潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 sin ( 0,0 )13(1)写出曲线 C1的极坐标方程，并求 C1与 C2交点的极坐标；(2)射线 与曲线 C1， C2分别交于点 A， B(A， B 异于原点)，求( 6 3)的取值范围|OA|OB|解：(1)由题意可得曲线 C1的普通方程为 x2( y2)
30、 24，把 x cos ， y sin 代入，得曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，联立Error! 得 4sin cos2 sin ，此时 0 ，当 sin 0 时， 0， 0，得交点的极坐标为(0,0)；当 sin 0 时，cos 2 ，得 cos ，14 12当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 3 3 (23， 3)当 cos 时， ， 2 ，得交点的极坐标为 ，12 23 3 (23， 23) C1与 C2交点的极坐标为(0,0)， ， .(23， 3) (23， 23)(2)将 代入 C1的极坐标方程中，得 14sin ，代入 C2的极坐标方程中，得 2 ，sin
31、 cos2 4cos 2 .|OA|OB| 4sin sin cos2 ，14cos 2 3， 6 3 的取值范围为1,3|OA|OB|7(2018福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：Error!( 为参数，t0)在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： cos .( 4) 2(1)若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围；(2)若曲线 C 上存在点到 l 的距离的最大值为 ，求 t 的值62 2解：(1)因为直线 l 的极坐标方程为 cos ，即 cos sin ( 4) 2 2，所以直线 l 的直角坐标方程为 x y2.因为曲线 C
32、的参数方程为Error!( 为参数， t0)，14所以曲线 C 的普通方程为 y21( t0)，x2t2由Error! 消去 x，得(1 t2)y24 y4 t20，所以 164(1 t2)(4 t2)0，又 t0，所以 0 t ，3故 t 的取值范围为(0， )3(2)由(1)知直线 l 的直角坐标方程为 x y20，故曲线 C 上的点( tcos ，sin )到 l 的距离d ，|tcos sin 2|2故 d 的最大值为 ，t2 1 22由题设得 ，t2 1 22 62 2解得 t .2又 t0，所以 t .28(2019 届高三成都诊断)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方
33、程为Error!( 为参数 )，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A，且点A 的极坐标为(2 ， )，其中 .3 ( 2， )(1)求 的值；(2)若射线 OA 与直线 l 相交于点 B，求| AB|的值解：(1)由题意知，曲线 C 的普通方程为 x2( y2) 24， x cos ， y sin ，曲线 C 的极坐标方程为( cos )2( sin 2) 24，即 4sin .由 2 ，得 sin ，332 ， .( 2， ) 23(2)易知直线 l 的普通方程为 x y4 0，3 3直线 l 的极坐标方程为 cos sin 4 0.3 3又射线 OA 的极坐标方程为 ( 0)，23联立Error! 解得 4 .315点 B 的极坐标为 ，(43，23)| AB| B A|4 2 2 .3 3 3
