1、1专题十一 直线与圆卷 卷 卷2018 _ _直线方程、圆的方程、点到直线的距离T6平面向量基本定理、直线与圆位置关系T122017圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T15圆的弦长问题、双曲线的几何性质T9直线与圆的方程、直线与抛物线位置关系T202016抛物线、圆的标准方程T10圆的方程、点到直线的距离T4点到直线的距离、弦长问题T16纵向把握趋势卷3 年 2 考，涉及圆的性质、点到直线的距离、双曲线、抛物线的几何性质预计 2019年会以选择题的形式考查圆方程的求法及应用卷3 年 2 考，涉及圆的方程、点到直线的距离、双曲线的几何性质，题型为选择题，难度适中预计 2019年会以选择题
2、的形式考查直线与圆的综合问题卷3 年 4 考，涉及直线方程、圆的方程、点到直线的距离、弦长问题、直线与抛物线的位置关系、椭圆的几何性质等，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中预计2019 年会以选择题或填空题的形式考查直线与圆的位置关系，同时要注意圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题横向把握重点1.圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.直线的方程题组全练1已知 p：直线 x
3、y10 与直线 x my20 平行， q： m1，则 p 是 q 的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件2解析：选 A 由于两直线平行的充要条件是 ，即 m1.故选 A.11 1 m 122已知直线 x y10 与直线 2 x my30 平行，则它们之间的距离是( )3 3A1 B.54C3 D4解析：选 B 由题意可知 ，解得 m2，所以两平行线之间的距离 d323 1m 13 .| 1 32|3 1 543已知点 M 是直线 x y2 上的一个动点，且点 P( ，1)，则| PM|的最小值为( )3 3A. B112C2 D3解析：选 B | PM|的
4、最小值即点 P( ，1)到直线 x y2 的距离，又3 3 1.故| PM|的最小值为 1.|3 3 2|1 34设 A， B 是 x 轴上的两点，点 M 的横坐标为 3，且| MA| MB|，若直线 MA 的方程为x y10，则直线 MB 的方程是( )A x y70 B x y70C x2 y10 D x2 y10解析：选 A 法一：由| MA| MB|知，点 M 在 A， B 的垂直平分线上由点 M 的横坐标为 3，且直线 MA 的方程为 x y10，得 M(3,4)由题意知，直线 MA， MB 关于直线x3 对称，故直线 MA 上的点(0,1)关于直线 x3 的对称点(6,1)在直线
5、MB 上，直线 MB的方程为 x y70.法二：由点 M 的横坐标为 3，且直线 MA 的方程为 x y10，得 M(3,4)，代入四个选项可知只有 A 项满足题意，选 A.5.如图所示，射线 OA， OB 与 x 轴正半轴的夹角分别为 45和30，过点 P(1,0)作直线分别交 OA， OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点C 恰好落在直线 x2 y0 上时，直线 AB 的方程为_解析：由题意可得 kOAtan 451， kOBtan 150 ，33所以直线 lOA： y x， lOB： y x，设 A(m， m)， B( n， n)(m0， n0)，则 AB 的中33 3点 C ，当
6、m1 时， n ， A(1,1)， B ， C ，故点 C 不(m 3n2 ， m n2 ) 33 (1， 33) (1， 3 36 )3在直线 x2 y0 上，不满足题意，当 m1 时， n ，由点 C 在直线 x2 y0 上，且33A， P， B 三点共线得Error!解得 m ，所以 A( ， )，又 P(1,0)，所以3 3 3kAB kAP ，所以 lAB： y (x1)，即直线 AB 的方程为(3 )33 1 3 32 3 32 3x2 y3 0.3答案：(3 )x2 y3 03 3系统方法解决直线方程问题的 2 个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10
7、 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.圆的方程题组全练1圆心在直线 2x y70 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0，4)， B(0，2)两点，则圆C 的标准方程为( )A( x2) 2( y3) 25 B( x2) 2( y3) 25C( x2) 2( y3) 25 D( x2) 2( y3) 25解析：选 D 法一：设圆的标准方程为( x a)2( y b)2 r2，故Error! 解得Error!半径 r ，22 12
8、 5故圆 C 的标准方程为( x2) 2( y3) 25.法二：利用圆心在直线 2x y70 上来检验，只有 D 符合，即( x2) 2( y3) 25的圆心为(2，3)，22370，其他三个圆心(2，3)，(2,3)，(2,3)均不符合题意，故选 D.2已知圆 x2 y22 x4 y10 关于直线 2ax by20 对称，则 ab 的取值范围是( )A. B.( ，14 ( ， 12C. D.(0，14 ( 14， 04解析：选 A 将圆的方程配方得( x1) 2( y2) 24，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线 2ax by20 上，代入整理得 a b1，故 ab a(1 a)
9、 2 (a12) 14.143(2019 届高三豫南十校联考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在5圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的距离为 ，则圆 C 的方程为_455解析：设 C(a,0)(a0)，由题意知 ，解得 a2，所以|2a|5 455r 3，故圆 C 的方程为( x2) 2 y29.22 5 2答案：( x2) 2 y294在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：由题意得，半径等于 ，|m 1|m2 1 m 1 2m2 1 1 2mm2 1 1 2|m|m2
10、 1 2当且仅当 m1 时取等号，所以半径最大为 ，所求圆为( x1) 2 y22.2答案：( x1) 2 y22系统方法求圆的方程的 2 种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心( a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值直线(圆)与圆的位置关系多维例析角度一 直线(圆)与圆位置关系的判定及应用在平面直角坐标
11、系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，设圆 C 的半径为例 11，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程5(2)若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解 (1)因为圆心在直线 l： y2 x4 上，也在直线 y x1 上，所以解方程组Error!得圆心 C(3,2)，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为( x3) 2( y2) 21.又因为点 A(0,3)，显然过点 A，圆 C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y kx3，即 kx y30，所以 1，解得 k0 或
12、k ，|3k 2 3|k2 1 2 34所以所求切线方程为 y3 或 y x3，34即 y30 或 3x4 y120.(2)因为圆 C 的圆心在直线 l： y2 x4 上，所以设圆心 C(a,2a4)，又因为圆 C 的半径为 1，则圆 C 的方程为( x a)2( y2 a4) 21，设 M(x， y)，又因为| MA|2| MO|，则有 2 ，x2 y 3 2 x2 y2整理得 x2( y1) 24，设为圆 D，圆心 D(0，1)所以点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，即圆 C 与圆 D 有交点，所以 21 21，a2 2a 4 1 2解得 0 a .125故圆心 C 的横坐标 a 的取
13、值范围是 .0，125角度二 已知直线(圆)与圆的位置关系求参数值(范围)(1)设直线 x y a0 与圆 x2 y24 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若例 2AOB 为等边三角形，则实数 a 的值为( )A B3 6C3 D9(2)已知点 M(2,0)， N(2,0)，若圆 x2 y26 x9 r20( r0)上存在点 P(不同于点 M， N)，使得 PM PN，则实数 r 的取值范围是( )A(1,5) B1,5C(1,3 D1,3解析 (1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为 2，则 AOB 的边长为 2，所以AOB 的高为 ，即圆心到直线 x y a0 的距离为 ，所以
14、 ，解得3 3| a|12 1 2 3a .6(2)将圆的方程化为标准方程得( x3) 2 y2 r2(r0)，若要使圆上一点 P 满足PM PN，则需圆经过 M， N 两点之间，即 r1,5当 r1 时，( x3) 2 y21 经过点6N(2,0)，圆( x3) 2 y2 r2(r0)上不存在点 P，使得 PM PN；当 r5 时，( x3)2 y225 经过点 M(2,0)，同理圆( x3) 2 y2 r2(r0)上不存在点 P，使得 PM PN.故选 A.答案 (1)B (2)A系统方法1直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较
15、实现，两圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与 x 轴垂直的切线2弦长的求解方法几何法 根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2 d2 (其l24中 l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)公式法根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得1 k2交点的横坐标， k 为直线的斜率)距离法 求出交点坐标，用两点间距离公式求解综合训练1在圆( x1) 2
16、( y1) 29 上总有四个点到直线 l：3 x4 y t0 的距离为 1，则实数 t 的取值范围是( )A(17,1) B(15,3)C(17,3) D(15,1)解析：选 C 由圆上总有四个点到直线 l：3 x4 y t0 的距离为 1，得圆心(1,1)到直线 l 的距离 d r12，解得17 t3，即实数 t 的取值范围是(17,3)|t 7|52已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： x2 y24 x6 y120 交于 M， N 两点若 12，其中 O 为坐标原点，则| MN|( )OM ON A2 B4C. D23 37解析：选 A 设 M(x1， y1)， N(
17、x2， y2)，圆 C 的方程可化为( x2) 2( y3) 21，其圆心为(2,3)，将 y kx1 代入方程 x2 y24 x6 y120，整理得(1 k2)x24( k1)x70，所以 16( k22 k1)28(1 k2)12 k232 k120， x1 x2 ， x1x2 . x1x2 y1y2(1 k4 k 11 k2 71 k2 OM ON 2)x1x2 k(x1 x2)1 8，由题设可得 812，得 k1，满足4k 1 k1 k2 4k 1 k1 k2 0，所以直线 l 的方程为 y x1.故圆心(2,3)恰在直线 l 上，所以| MN|2.3在平面直角坐标系 xOy 中，已知
18、圆 C1：( x3) 2( y1) 24.若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1截得的弦长为 2 ，则直线 l 的方程为_3解析：由于直线 x4 与圆 C1不相交，所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为y k(x4)，圆 C1的圆心(3,1)到直线 l 的距离为 d，因为圆 C1被直线 l 截得的弦长为 2，所以 d 1.由点到直线的距离公式得 d ，化简得3 22 3 2| 3k 1 4k|1 k2k(24k7)0，即 k0 或 k ，724所以直线 l 的方程为 y0 或 y (x4)，即 y0 或 7x24 y280.724答案： y0 或 7x24 y280重难增分点、直线
19、与圆的综合问题考法全析一、曾经这样考1与圆有关的范围问题(2014全国卷)设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2 y21 上存在点 N，使得 OMN45，则 x0的取值范围是( )A1,1 B.12， 12C ， D. 2 2 22， 22解析：选 A 法一：常规思路稳解题由题意可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆 x2 y21 相切于点 P(0,1)当 x00 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(1，0)符8合要求；当 x00 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有 OMN OMP，故要存在 OMN45，只需 OMP45.特别地，
20、当 OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的 x0的取值范围为1,1法二：特殊思路妙解题如图，过 O 作 OP MN 于点 P，则| OP| OM|sin 451，| OM| ，即 ，2 x20 1 2 x 1，即1 x01.20启思维 本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是解决此类题目的最有效方法二、还可能这样考2与圆有关的最值问题已知从圆 C：( x1) 2( y2) 22 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O 为坐标原点，且有| PM| PO|，则当| PM|取最小值时点 P 的坐标为_解析：如图所示，连接 CM， CP.由题
21、意知圆心 C(1,2)，半径 r .因为2|PM| PO|，所以| PO|2 r2| PC|2，所以 x y 2( x11) 2( y12) 2，即21 212x14 y130.要使| PM|的值最小，只需| PO|的值最小即可当 PO 垂直于直线2x4 y30 时，即 PO 所在直线的方程为 2x y0 时，| PM|的值最小，此时点 P 为两直线的交点，由Error!解得Error!故当| PM|取最小值时点 P 的坐标为 .(310， 35)答案： (310， 35)启思维 本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解3与圆有
22、关的定点问题已知圆 O： x2 y21，点 P 为直线 1 上一动点，过点x4 y2P 向圆 O 引两条切线 PA， PB， A， B 为切点，则直线 AB 经过定点( )A. B.(12， 14) (14， 12)9C. D.(34， 0) (0， 34)解析：选 B 因为点 P 是直线 1 上的一动点，所以设 P(42 m， m)x4 y2因为 PA， PB 是圆 x2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，所以 OA PA， OB PB，所以点 A， B 在以 OP 为直径的圆 C 上，即弦 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦所以圆 C 的方程为 x(x42 m) y(y m)0，
23、又 x2 y21， 所以得，(2 m4) x my10，即公共弦 AB 所在的直线方程为(2 x y)m(4 x1)0，令Error! 得Error!所以直线 AB 过定点 .(14， 12)启思维 本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问题解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数主元的系数为 0 即可求得定点坐标4与向量等知识的综合问题在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M(1,0)的直线 l 与圆x2 y25 交于 A， B 两点，其中点 A 在第一象限，且 2 ，则直线 l 的方程为BM MA _解析：法一：由题意，设直线 l 的方
24、程为 x my1( m0)，与 x2 y25 联立，消去 x 并整理得( m21) y22 my40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 (1 x2， y2)， ( x11， y1)，BM MA y1 y2 ，2mm2 1y1y2 .4m2 1因为 2 ，所以 y22 y1，BM MA 联立，可得 m21，又点 A 在第一象限，所以 y10，则 m1，所以直线 l 的方程为 x y10.法二：由题意，设直线 l 的方程为 x my1( m0)，即 x my10，所以圆心 O 到直线 l 的距离 d .11 m2又 2 ，且| OM|1，圆 x2 y25 的半径 r ，BM MA
25、510所以 2( )，即 3 ，r2 d2 |OM|2 d2 r2 d2 |OM|2 d2 |OM|2 d2 r2 d2所以 9 5 ，解得 m21，(111 m2) 11 m2又点 A 在第一象限，所以 m1，故直线 l 的方程为 x y10.答案： x y10启思维 本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决增分集训1(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积
26、的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析：选 A 设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，2所以圆心 C 到直线 x y20 的距离为 2 ，|2 2|2 2可得 dmax2 r3 ， dmin2 r .2 2 2 2由已知条件可得| AB|2 ，2所以 ABP 面积的最大值为 |AB|dmax6，12 ABP 面积的最小值为 |AB|dmin2.12综上， ABP 面积的取值范围是2,62(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， A(12,0)， B(0,6)，
27、点 P 在圆O： x2 y250 上若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_PA PB 解析：设 P(x， y)，则 (12 x， y)( x，6 y) x(x12)PA PB y(y6)20.又 x2 y250，所以 2x y50，所以点 P 在直线 2x y50 的上方(包括直线上)11又点 P 在圆 x2 y250 上，由Error!解得 x5 或 x1，结合图象，可得5 x1，2故点 P 的横坐标的取值范围是5 ，12答案：5 ，123已知直线 l1： x2 y0 的倾斜角为 ，倾斜角为 2 的直线 l2与圆M： x2 y22 x2 y F0 交于 A， C 两点，其中 A(1,0)
28、， B， D 在圆 M 上，且位于直线l2的两侧，则四边形 ABCD 的面积的最大值是_解析：因为直线 l1： x2 y0 的倾斜角为 ，所以 tan ，所以直线 l2的斜率12ktan 2 ，所以直线 l2的方程为 y0 (x1)，即2tan 1 tan22121 14 43 434x3 y40.又 A(1,0)在圆 M 上，所以(1) 22 F0，解得 F1，所以圆 M 的方程为x2 y22 x2 y10，化为标准方程为( x1) 2( y1) 21，所以圆心 M(1,1)，半径r1.所以圆心 M 到直线 l2的距离 d ，所以 |AC| |4 1 31 4|42 3 2 35 12 ，1
29、2 (35)2 45即| AC|2 .45 85因为 B， D 两点在圆上，且位于直线 l2的两侧，则四边形 ABCD的面积可以看成是 ABC 和 ACD 的面积之和，如图所示，当 BD 垂直平分 AC(即 BD 为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形 ABCD的面积最大，此时 AC， BD 相交于点 E，则四边形 ABCD 的最大面积S |AC|BE| |AC|DE| |AC|BD| 2 .12 12 12 12 85 85答案：8512专题跟踪检测(对应配套卷 P191)一、全练保分考法保大分1过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A2
30、 x y50 B2 x y70C x2 y50 D x2 y70解析：选 B 过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆( x1) 2 y2 r2上，圆心与切点连线的斜率 k ，1 03 1 12切线的斜率为2，则圆的切线方程为 y12( x3)，即 2x y70.2圆心在直线 x2 y0 上的圆 C 与 y 轴的负半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦长为 2，则圆 C 的标准方程为( )6A( x2 )2( y )282 2B( x )2( y2 )282 2C( x2) 2( y )282D( x )2( y2) 282解析：选 A 法一：设圆心为 (
31、r0)，半径为 r.由勾股定理( )2 2 r2，(r， r2) 6 (r2)解得 r2 ，圆心为(2 ， )，圆 C 的标准方程为 (x2 )2( y )28.2 2 2 2 2法二：四个圆的圆心分别为(2 ， )，( ，2 )，(2， )，( ，2)，将2 2 2 2 2 2它们逐一代入 x2 y0，只有 A 选项满足3已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2 .则圆 M 与2圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离解析：选 B 由题意知圆 M 的圆心为(0， a)，半径 R a，因为圆 M 截直线 x
32、 y0 所得线段的长度为 2 ，所以圆心 M 到直线 x y0 的距离 d (a0)，解得2|a|2 a2 2a2，即圆 M 的圆心为(0,2)，又知圆 N 的圆心为(1,1)，半径 r1，所以| MN| ，则2R r0)，则 r 64，23所以圆 C 的方程为( x4) 2 y216.法二：设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)(x10， x20)，由题设知x y x y .21 21 2 2又 y 2 x1， y 2 x2，故 x 2 x1 x 2 x2，21 2 21 2即( x1 x2)(x1 x22)0，由 x10， x20，可知 x1 x2，故 A，
33、B 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上设点 C 的坐标为( r,0)(r0)，则点 A 的坐标为 ，于是 22 r，解得(32r， 32r) (32r) 32r4，所以圆 C 的方程为( x4) 2 y216.7设 M， N 分别为圆 O1： x2 y212 y340 和圆 O2：( x2) 2 y24 上的动点，则M， N 两点间的距离的取值范围是_解析：圆 O1的方程可化为 x2( y6) 22，其圆心为 O1(0,6)，半径 r1 .圆 O2的2圆心 O2(2,0)，半径 r22，则| O1O2| 2 ，则36 4 10|MN|max2 2 ，| MN|min2 2 ，故
34、M， N 两点间的距离的取值范围是10 2 10 22 2 ， 2 2 10 2 10 2答案：2 2 ，2 2 10 2 10 28过点 P(3,1)，Q( a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2 y21 相切，则 a 的值为_解析：点 P(3,1)关于 x 轴对称的点为 P(3，1)，所以直线 PQ 的方程为 x( a3) y a0，由题意得直线 PQ 与圆 x2 y21 相切，所以 1，| a|12 a 3 2解得 a .53答案：539已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l： y x1 被圆 C 所截得的弦长为 2 ，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为
35、_215解析：由题意，设所求的直线方程为 x y m0，圆心坐标为( a,0)(a0)，则由题意知 22( a1) 2，(|a 1|2 )解得 a3 或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 30 m0，解得 m3，故所求的直线方程为 x y30.答案： x y3010(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设
36、 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，4k2 4k2解得 k1 或 k1(舍去)因此 l 的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.1
37、1(2018成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 ： y x2 mx2 m(mR)与x 轴交于不同的两点 A， B，曲线 与 y 轴交于点 C.16(1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过 A， B， C 三点的圆过定点解：由曲线 ： y x2 mx2 m(mR)，令 y0，得 x2 mx2 m0.设 A(x1,0)， B(x2,0)，则可得 m28 m0，解得 m8 或 m0，又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 r a，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2 a2.因为点 M(1， )在圆 C 上，3所以(1
38、a)2( )2 a2，解得 a2.3所以圆 C 的方程为( x2) 2 y24.(2)证明：记直线 OA 的斜率为 k(k0)，则其方程为 y kx.联立Error! 消去 y，得( k21) x24 x0，解得 x10， x2 .4k2 1所以 A .(4k2 1， 4kk2 1)由 kkOB2，得 kOB ，2k直线 OB 的方程为 y x，2k在点 A 的坐标中用 代换 k，得 B .2k (4k2k2 4， 8kk2 4)当直线 l 的斜率不存在时， ，得 k22，此时直线 l 的方程为 x .4k2 1 4k2k2 4 43当直线 l 的斜率存在时， ，即 k22，4k2 1 4k2
39、k2 4则直线 l 的斜率为4kk2 1 8kk2 44k2 1 4k2k2 4 .4k k2 4 8k k2 14 k2 4 4k2 k2 1 3k k2 24 k4 3k2 k2故直线 l 的方程为 y ，4kk2 1 3k2 k2(x 4k2 1)即 y ，3k2 k2(x 43)所以直线 l 过定点 .(43， 0)综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为 .(43， 0)18二、强化压轴考法拉开分1已知圆 C： x2 y21，点 P(x0， y0)在直线 l：3 x2 y40 上，若在圆 C 上总存在两个不同的点 A， B，使 ，则 x0的取值范围是( )OA OB OP A. B.(0，2413) ( 2413， 0)C. D.(0，1324) (0， 1312)解析：选 C 如图， ，OA OB OP OP 与 AB 互相垂直平分，圆心到直线 AB 的距离0， 0，得 b2 .33 33要使 k1， k2， k 有意义，则 x10， x20，所以 0 不是方程(*)的根，所以 b220，即 k1 且 k1.由，得 k 的取值范围为 ，1) (1， 3 ( 1， 33) (33， 1) 321
