1、1专题六 角恒等变换与解三角形卷 卷 卷二倍角公式及余弦定理的应用T6二倍角公式T42018正、余弦定理的应用T17 同角三角函数关系及两角和的正弦公式T15三角形的面积公式及余弦定理T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式T17余弦定理、三角形的面积公式T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式T52016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式T17 正弦定理的应用、诱导公式T13利用正、余弦定理解三角形T8纵向把握趋势卷3 年 3考且均出现在解答题中的第 17题，涉及正、余弦定理
2、、三角形的面积公式、两角和与差的正、余弦公式，难度适中预计 2019年会以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换，难度适中卷3 年 5考，既有选择题、填空题，也有解答题，涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，难度适中预计 2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用卷3 年 5考，既有选择题，也有解答题，难度适中涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面积公式等预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理在解三角形中的应用横向把握重点1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大
3、”的命题形式出现2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第 49 或第 1315 题位置上3.若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第 17题位置上，难度中等.2三角恒等变换题组全练1(2018全国卷)若 sin ，则 cos 2 ( )13A. B.89 79C D79 89解析：选 B sin ，cos 2 12sin 2 12 2 .故选 B.13 (13) 792(2016全国卷)若 cos ，则 sin 2 ( )(4 ) 35A. B.725 15C D15 725解析：选 D 因为
4、cos ，(4 ) 35所以 sin 2 cos 2cos 2 1 .(2 2 ) (4 ) 7253已知 sin cos ，则 cos ( )( 6) 13 (2 3)A B.518 518C D.79 79解析：选 D 由 sin cos ，得 sin cos cos sin ( 6) 13 32 12 32 cos sin ，所以 cos 12sin 2 1 .12 ( 6) 13 (2 3) ( 6) 29 794已知 sin ，且 sin( )cos ，则 tan( )( )35(21)m， AC t(t0)m，依题意得 AB AC0.5( t0.5)(m)在 ABC中，由余弦定理得
5、，AB2 AC2 BC22 ACBCcos 60，即( t0.5) 2 t2 x2 tx，化简并整理得 t x1 2( x1)x2 0.25x 1 0.75x 1因为 x1，所以 t x1 22 当且仅当 x1 时取等号，故 AC最短为0.75x 1 3 32(2 )m，应选 D.3答案 (1)C (2)D类题通法1解三角形实际应用问题的解题步骤2解三角形实际应用问题的注意事项(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确作出这些角；(2)要注意将平面几何的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题12过程；(3)要注意题目中的隐含条件及解的实际意义应用通关1某位居民站在
6、离地面 20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高层的高度为( )A20 m B20(1 )m(1 33) 3C10( )m D20( )m2 6 2 6解析：选 B 如图，设 AB为阳台的高度， CD为小高层的高度， AE为水平线由题意知 AB20 m， DAE45， CAE60，故 DE AE20 m， CE20 m，所3以 CD20(1 )m.32.(2018河北保定模拟)如图，某游轮在 A处看灯塔 B在 A的北偏东 75方向上，距离为 12 海里，灯塔 C在 A的北偏西 30方6向上，距离为 8 海里，游轮由 A处向正北方向航行到 D处时
7、再看3灯塔 B， B在南偏东 60方向上，则 C与 D的距离为( )A20 海里 B8 海里3C23 海里 D24 海里2解析：选 B 在 ABD中，因为灯塔 B在 A的北偏东 75方向上，距离为 12 海里，6货轮由 A处向正北方向航行到 D处时，再看灯塔 B， B在南偏东 60方向上，所以B180756045，由正弦定理 ，ADsin B ABsin ADB可得 AD 24 海里ABsin Bsin ADB1262232在 ACD中， AD24 海里， AC8 海里， CAD30，3由余弦定理得 CD2 AD2 AC22 ADACcos 3024 2(8 )22248 192.3 332所
8、以 CD8 海里33如图，游客从某旅游景区的景点 A处至景点 C处有两条线路线路1是从 A沿直线步行到 C，线路 2是先从 A沿直线步行到景点 B处，然后从B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C处经测量， AB1 040 m， BC500 119m，则 sin BAC等于_13解析：依题意，设乙的速度为 x m/s，则甲的速度为 x m/s，119因为 AB1 040 m， BC500 m，所以 ，ACx 1 040 500119x解得 AC1 260 m.在 ABC中，由余弦定理得，cos BA
9、CAB2 AC2 BC22ABAC ，1 0402 1 2602 500221 0401 260 1213所以 sin BAC 1 cos2 BAC .1 (1213)2 513答案：513重难增分与平面几何有关的解三角形综合问题考法全析一、曾经这样考1(2015全国卷)与平面四边形有关的边长范围问题在平面四边形 ABCD中， A B C75， BC2，则 AB的取值范围是_学解题法一：分割法(学生用书不提供解题过程)易知 ADC135.如图，连接 BD，设 BDC ， ADB ，则 135.在 ABD和 BCD中，由正弦定理得 ，BCsin BDsin 75 ABsin 则 AB BCsin
10、 sin 2sin 135 sin ，2sin 45sin 2(1 1tan )由Error! 得 300)，则 BD2 x.在 BCD中，因为 CD BC， CD5， BD2 x，所以 cos CDB .CDBD 52x在 ACD中， AD x， CD5， AC5 ，3由余弦定理得cos ADC .AD2 CD2 AC22ADCD x2 52 53 22x5因为 CDB ADC，所以 cos ADCcos CDB，即 ，x2 52 53 22x5 52x解得 x5，所以 AD的长为 5.答案：52.如图，在直角梯形 ABDE中，已知 ABD EDB90， C是 BD上一点，AB3 ， ACB
11、15， ECD60， EAC45，则线段 DE的3长为_解析：易知 ACE105， AEC30，在 Rt ABC中， AC ，ABsin 1517在 AEC中， CE ，ACsin 30 CEsin 45 ACsin 45sin 30在 Rt CED中，DE CEsin 60 sin 45sin 60sin 30 ABsin 15 6.22 3212 3 36 24答案：63.(2018四川成都模拟)如图，在 ABC中，AB4， BC2， ABC D ，若 ADC是锐角三角形，则 DA DC3的取值范围为_解析：设 ACD ，则 CAD ，根据条件及余弦定理计算得 AC2 .23 3在 ACD
12、中，由正弦定理得 4，ADsin CDsin(23 ) 23sin3 AD4sin ， CD4sin ，(23 ) DA DC4 sin sin(23 )4 4(sin 32cos 12sin ) (32sin 32cos )4 4 sin .3(32sin 12cos ) 3 ( 6) ACD是锐角三角形， 和 均为锐角， ，23 (6， 2) ，6 (3， 23)sin .( 6) (32， 1 DA DC4 sin .3 ( 6) (6， 43答案：(6,4 318高考大题通法点拨三角函数问题重在“变”变角、变式思维流程策略指导 1常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与
13、目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用如： ( ) ( ) ，2 ( )( )，2 ( )( )， 2 ， . 2 2 ( 2) (2 )2常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及 sin xcos x、sin xcos x的问题，常做换元处理，如令 tsin xcos x ， ，将原问题转化为关于 t的函数来处理；2 2(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等 已知函数 f (x)4tan xsin cos .例 1
14、 (2 x) (x 3) 3(1)求 f (x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f (x)在区间 上的单调性4， 4破题思路第(1)问19求什么想什么求 f (x)的定义域与最小正周期，想到建立关于 x的不等式以及化函数 f (x)的解析式为 f (x) Asin(x )或 f (x) Acos(x )的形式给什么用什么题干中给出的解析式中既有正切函数也有正弦、余弦函数，利用同角三角函数关系式、诱导公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，再分别利用各种三角函数的定义域即可求出函数 f (x)的定义域，利用周期公式可求周期第(2)问求什么想什么 讨论 f (x)在区间 上的单调性，想到正弦函数
15、ysin x的单调 4， 4性给什么用什么第(1)问中已经将函数 f (x)化为 f (x) Asin(x )的形式，用整体代换求单调区间，并与区间 求交集4， 4规范解答(1)f (x)的定义域为Error!.f (x)4tan xcos xcos (x3) 34sin xcos (x3) 34sin x(12cos x 32sin x) 32sin xcos x2 sin2x3 3sin 2 x (2sin2x1)3sin 2 x cos 2x32sin .(2x3)所以 f (x)的最小正周期 T .22(2)令 z2 x ，则函数 y2sin z的单调递增区间是 ， kZ. 3由 2
16、k2 x 2 k， kZ，2 3 220得 k x k， kZ.12 512设 A ， B ， kZ，易知 A B .4， 4 12 k ， 512 k 12， 4所以当 x 时， f (x)在区间 上单调递增，在区间 上4， 4 12， 4 4， 12单调递减关键点拨解答此类问题的关键在于“变” ，其思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍，幂升一次，角减半” ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B bcos A)例 2 c.(1)求 C；(2)若 c ， ABC的面积为 ，求 ABC的周长7332破题思路第(1)问
17、求什么想什么求角 C，想到求 C的某一个三角函数值给什么用什么题目条件中给出关系式 2cos C(acos B bcos A) c.用正弦定理或余弦定理统一角或边，可求角 C的一个三角函数值，进而求出 C的值第(2)问求什么想什么求 ABC的周长，想到求 ABC各边的长或直接求 a b c的值给什么用什么 已知 c ， ABC的面积为 ，用 S ABC absin C 可建立 ab的关系式7332 12 332差什么 求周长，还需 a b的值通过以上步骤可知 ABC中 C， c及 ab的值，利用余21找什么 弦定理即可求出 a b的值规范解答(1)法一：由 2cos C(acos B bcos
18、 A) c，得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(A B)sin C.因为 A B C，A， B， C(0，)，所以 sin(A B)sin C0，所以 2cos C1，cos C.12因为 C(0，)，所以 C .3法二：由 2cos C(acos B bcos A) c，得 2cos C (aa2 c2 b22ac bb2 c2 a22bc ) c，整理得 2cos C1，即 cos C .12因为 C(0，)，所以 C .3(2)因为 S absin C ab ，所以 ab6，12 34 332由余弦定理， c2 a2 b22 a
19、bcos C，得 7 a2 b22 ab ，12即( a b)23 ab7，所以( a b)2187，即 a b5，所以 ABC的周长为 a b c5 .7关键点拨 利用正、余弦定理求解问题的策略角化边 利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得22出边的相应关系，进而求解边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，进而求解对点训练1(2018全国卷)在平面四边形 ABCD中， ADC90， A45，AB2， BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解：(1)在 ABD中，由正弦
20、定理得 ，即 ，BDsin A ABsin ADB 5sin 45 2sin ADB所以 sin ADB .25由题设知， ADB0.b2c从而 tan Btan( A C) ，由基本tan A tan C1 tan Atan C 2tan C1 3tan2C 21tan C 3tan C不等式，得 3tan C2 2 ，当且仅当 tan C 时等号成立，1tan C 1tan C3tan C 3 3330此时角 B取得最大值，且 tan Btan C ，tan A ，即 b c， A120，又33 3bc1，所以 b c1， a ，故 ABC的周长为 2 .3 3法二：由已知 b2 ccos
21、 A0，得 b2 c 0，整理得 2b2 a2 c2.由余b2 c2 a22bc弦定理，得 cos B ，当且仅当 a c时等号成立，此a2 c2 b22ac a2 3c24ac 23ac4ac 32 3时角 B取得最大值，将 a c代入 2b2 a2 c2可得 b c.又 bc1，所以 b c1， a3，故 ABC的周长为 2 .3 33(2019 届高三惠州调研)已知 a， b， c是 ABC中角 A， B， C的对边，a4， b(4,6)，sin 2 Asin C，则 c的取值范围为_解析：在 ABC中，由正弦定理得 ，4sin A csin C即 ， c8cos A，4sin A cs
22、in 2A由余弦定理得 16 b2 c22 bccos A，16 b264cos 2A16 bcos2A，又 b4，cos 2A ，16 b264 16b 4 b 4 b16 4 b 4 b16 c264cos 2A64 164 B.4 b16 b(4,6)，32 c240，4 c2 .2 10答案：(4 ，2 )2 104(2018潍坊模拟)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，外接圆的半径为 1，且 ，则 ABC面积的最大值为_tan Atan B 2c bb解析：因为 ，所以 (2 c b) ，tan Atan B 2c bb bsin Acos A sin Bcos B由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又 sin B0，所以 sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(A B)2sin Ccos A，即 sin C2sin Ccos A，又 sin C0，所以 cos A ，sin A .12 32设外接圆的半径为 r，则 r1，由余弦定理得
