1、1专题二 基本初等函数、函数与方程卷 卷 卷2018 分段函数的零点问题T9 _利用对数的性质比较大小T122017指数与对数的互化、对数运算、比较大小T11 _函数的零点问题T112016利用幂函数、指数函数、对数函数单调性比较大小T8 _利用指数函数与幂函数的单调性比较大小T6纵向把握趋势卷3 年 3考，涉及幂函数、指数函数、对数函数的单调性以及分段函数的零点问题，题型为选择题，难度适中，预计 2019年会以对数的运算、对数函数的图象与性质为考查重点卷3 年 0考，预计 2019年会以选择题的形式考查幂函数、指数函数、对数函数的有关性质或大小比较问题卷3 年 3考，涉及由函数零点个数确定参
2、数问题以及指数、对数、幂函数的性质、比较大小问题题型为选择题，难度偏大，预计 2019年仍会考查指数函数、对数函数、幂函数性质的应用横向把握重点1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第 512 题的位置，有时难度较大2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.基本初等函数的图象与性质由题知法(1)(2019 届高三辽宁五校联考)设 a2 0171208， blog 2 典 例 017 ， clog 2 018 ，则 ( )2 01812 017A cba B bcaC acb D abc(2)已知
3、 f (x) ax2 ， g(x)log a|x|(a0且 a1)，若 f (4)g(4)0，则 ， 的x2y3 z5大小关系不可能是( )A. 2 01701，0bc.故选 D.12 017(2) f (x) ax2 0恒成立，又 f (4)g(4)0，则 x2 k1， y3 k1， z5 k1. 2 k1 ， 3 k1 ， 5 k1 .x2 y3 z5若 0 ；x2y3z5若 k1，则函数 f (x) xk1 1， ；x2 y3 z5若 k1，则函数 f (x) xk1 在定义域上单调递增， 1和 01时，两函数在定义域内都为增函数；当 00和 log 121， a 0.31，排除 B、D
4、；由 x0 时， g(x)0，排除 A.故选 C.函数的实际应用问题由题知法(1)(2018开封模拟)李冶(11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)典 例 人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240 平方步为 1亩，圆周率按 3近似计算)( )A10 步，50 步 B20 步，60 步C30 步，70 步 D40 步，80 步
5、(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 P P0e kt.如果在前 5小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时解析 (1)设圆池的半径为 r步，则方田的边长为(2 r40)步，由题意，得(2 r40)23 r213.75240，解得 r10 或 r170(舍去)，所以圆池的直径为 20步，方田的边长为 60步，故选 B.(2)前 5小时污染物消除了 10%，此时污染物剩下 90%，即 t5 时， P0.9 P0，代入，得(e k)50.9，e k0.9 ， P P0e kt P0 t.当污染物减少
6、 19%时，污染物剩下 81%，此时15 (0.915)P0.81 P0，代入得 0.81 t，解得 t10，即需要花费 10小时(0.915)答案 (1)B (2)10类题通法1解决函数实际应用题的 2个关键点5(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解2构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段
7、函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建 f (x) x (a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解ax应用通关1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑 6台，乙分公司现有同一型号的电脑 12台现 A地某单位向该公司购买该型号的电脑 10台， B地某单位向该公司购买该型号的电脑 8台已知从甲地运往 A， B两地每台电脑的运费分别是 40元和 30元，从乙地运往 A， B两地每台电脑的运费分别是 80元和 50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 设甲地调运 x台电脑至 B地，则剩下(6 x)台电脑调运至 A地；乙地
8、应调运(8 x)台电脑至 B地，运往 A地 12(8 x)( x4)台电脑(0 x6， xN)则总运费 y30 x40(6 x)50(8 x)80( x4)20 x960， y20 x960( xN,0 x6)若 y1 000，则 20x9601 000，得x2.又 0 x6， xN， x0,1,2，即有 3种调运方案2某工厂某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足 80千件时， G(x) x210 x；当年产量不小于 80千件13时， G(x)51 x 1 450.已知每件产品的售价为 0.05万元通过市场分析，该工10 0
9、00x厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元解析：每件产品的售价为 0.05万元， x千件产品的销售额为 0.051 000x50 x万元当 00，则 a(ex1 e x1 )2 a，7要使 f (x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a .12若 a0，则 f (x)的零点不唯一综上所述， a .12(二)特殊思路妙解题法三：由 f (x) x22 x a(ex1 e x1 )，得 f (2 x)(2 x)22(2 x) ae2 x1 e (2 x)1 x24 x442 x a(e1 xe x1 ) x22 x a(ex1 e x1 )，所以 f (2 x
10、) f (x)，即 x1 为 f (x)图象的对称轴由题意， f (x)有唯一零点，所以 f (x)的零点只能为 x1，即 f (1)1 221 a(e11 e 11 )0，解得 a .故选 C.12答案 C启思维 本题考查由函数零点情况求参数值思路一：先化简 f (x)的表达式，再换元转化成关于 t的函数，利用函数的有关性质求解思路二：先把 f (x)转化为二次函数与指数型函数相等问题，再分别考察它们的值域，利用唯一性求解思路三：观察式子 f (x) x22 x a(ex1 e x1 )的结构特点可知， g(x) x22 x与 h(x) a(ex1 e x1 )都有对称性，可得出 f (2
11、x) f (x)，由对称性求解(2018全国卷)已知函数 f (x)Error! g(x) f (x) x a.若 g(x)存例 2在 2个零点，则 a的取值范围是( )A1,0) B0，)C1，) D1，)解析 令 h(x) x a，则 g(x) f (x) h(x)在同一坐标系中画出 y f (x)， y h(x)的示意图，如图所示若 g(x)存在 2个零点，则 y f (x)的图象与y h(x)的图象有 2个交点，平移 y h(x)的图象，可知当直线y x a过点(0,1)时，有 2个交点，此时 10 a， a1.当y x a在 y x1 上方，即 a1 时，有 2个交点，符合题意综上，
12、 a的取值范围为1，)故选 C.答案 C启思维 本题主要考查函数与方程本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数8函数)为载体，构建分段函数，与函数零点结合，需借助函数图象解决问题破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数的图象的交点问题；二是会借形解题，即画出两函数的图象，由图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围知能升级已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的 3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围分离参数法先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决
13、数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解增分集训1(2018洛阳第一次统考)已知函数 f (x)满足 f (1 x) f (1 x) f (x1)(xR)，且当 0 x1 时， f (x)2 x1，则方程|cos x| f (x)0 在1,3上的所有根之和为( )A8 B9C10 D11解析：选 D 方程|cos x| f (x)0 在1,3上的所有根之和即 y|cos x|与y f (x)在1,3上的图象交点的横坐标之和由 f (1 x) f (1 x)得 f (x)的图象关于直线 x1 对称，由 f (1 x) f (x1)得 f (x)的图象关于
14、 y轴对称，由 f (1 x) f (x1)得 f (x)的一个周期为 2，而当 0 x1 时， f (x)2 x1，在同一坐标系中作出y f (x)和 y|cos x|在1,3上的大致图象，如图所示，易知两图象在1,3上共有 11个交点，又 y f (x)， y|cos x|的图象都关于直线 x1 对称，故这 11个交点也关于直线 x1 对称，故所有根之和为 11.2已知函数 f (x)Error! g(x) kx1，若方程 f (x) g(x)0 在 x(2,2)上有三个实根，则实数 k的取值范围为( )9A(1，ln 2 ) B.e (ln 2e，32)C. D(1，ln 2 )(32，
15、 2) e (32， 2)解析：选 D 显然， x0 不是方程 f (x) g(x)0 的根，则 f (x) g(x)0，即 k ，f x 1x可设 k (x)Error!由 x0时， (x) ln x的导数为 ( x) ，1x 1x2 1x x 1x2当 x1时， ( x)0， (x)在(1，)上单调递增；当 00，lg 3mlg m，即 ca.又 m ，0B. b0恒成立，1 x 1 2 f (x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递增，排除 C、D；当 x时，2 x0， 1， f (x)1，排除 B，选 A.xx 14已知函数 f (x)Error!则不等式 log2x(log 14
16、4x1) f (log3x1)5 的解集为( )A. B1,4(13， 1)C. D1，)(13， 4解析：选 C 由不等式 log2x(log 144x1) f (log3x1)5，得Error!或Error!解得 1 x4 或 1，则 f 21 2x 11 4x 2(loga( 1)( )2A1 B2C3 D4解析：选 B f (x) ， f ( x) 21 2x 11 4x 21 2 x 11 4 x 22x1 2x， f (x) f ( x) 3.log a( 1)4x1 4x 21 2x 11 4x 22x1 2x 4x1 4x 2log a( 1)， f (loga( 1) f (
17、loga( 1)3， f (loga( 1)2.故2 2 2 2选 B.6(2019 届高三贵阳模拟)20 世纪 30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为 Mlg Alg A0，其中 A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅已知 5级地震给人的震感已经比较明显，则 7级地震的最大振幅是 5级地震的最大振幅的( )A10 倍 B20 倍C50 倍 D100 倍解析：选 D 根据题意有 lg Alg A0l
18、g 10Mlg( A010M)，所以 A A010M，则100.故选 D.A0107A01057(2018菏泽一模)已知 log 12a(14) (13) 1a1bCln( a b)0 D3 a bb0， a1.(14) (13) (13) 1a1b因此只有 A正确故选 A.8已知实数 x， y满足 ax Bln( x21)ln( y21)1x2 1 1y2 1Csin xsin y D x3y312解析：选 D 实数 x， y满足 axy.对于选项 A， 等价1x2 1 1y2 1于 x21y，但 x2ln( y21)等价于 x2y2，当 x1， y1 时，满足 xy，但 x2y2不成立对于
19、选项 C，当 x， y 时，满足 xy，但 sin xsin y不成立对于选项 D，2当 xy时， x3y3恒成立故选 D.9(2018广元模拟)已知函数 f (x)e x， g(x)ln ，对任意 aR，存在x2 12b(0，)使 f (a) g(b)，则 b a的最小值为( )A2 1 Be 2e12C2ln 2 D2ln 2解析：选 D 令 te a，可得 aln t，令 tln ，可得 b2 -1t，b2 12则 b a2e -1t ln t，令 h(t)2e -ln t，12则 h( t)2e .1t显然， h( t)是增函数，观察可得当 t 时， h( t)0，12故 h( t)有
20、唯一零点，故当 t 时， h(t)取得最小值，即 b a取得最小值为 2e-12ln 2ln 2，故选12 12D.10已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若0)在区间0,2上的最小值为 g(m)已知定义在(，0)(0，)上的函数 h(x)为偶函数，且当 x0时， h(x) g(x)，若 h(t)h(4)，则实数 t的取值范围为( )A(4,0) B(0,4)C(2,0)(0,2) D(4,0)(0,4)解析：选 D 因为 f (x) x2 mx(m0)，所以 f (x) 2 ，因为 f (x)在区间(xm2) m240,2上的最小值为 g(m)，所以当 04
21、，m2 (m2) m24即 2时，函数 f (x) 2 在0,2上单调递减，所以 g(m) f (2)42 m.综上，m2 (x m2) m24g(m)Error! 因为当 x0时， h(x) g(x)，所以当 x0时， h(x)Error!函数 h(x)在(0，)上单调递减因为定义在(，0)(0，)上的函数 h(x)为偶函数，且 h(t)h(4)，所以 h(|t|)h(4)，所以 00，所以 F(x)2 x1 ln 22 x2 在4，)上是增函数，所以 f ( x) f (4)32ln 2100，所以函数 f (x)2 x1 x22 x2 在4 ，)上是增函数，所以 f (x) f (4)3
22、2168260，即 a4时，不满足对任意的 xZ 且x(， a)， f (x)0 恒成立综上，实数 a的取值范围是(，4，故选 D.法二：将问题转化为 2x1 x22 x2 对于任意的 xZ 且x(， a)恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数14y2 x1 ， y x22 x2 的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数 a的取值范围是(，4，故选 D.13函数 f (x)ln( x22 x8)的单调递增区间是_解析：由 x22 x80，得 x4 或 x2.因此，函数 f (x)ln( x22 x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数 y x22 x8
23、在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知， f (x)ln( x22 x8)的单调递增区间是(4，)答案：(4，)14李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L 甲5 x2900 x16 000， L 乙 300 x2 000(其中 x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了 110辆，则能获得的最大利润为_元解析：设甲连锁店销售 x辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润L5 x2900 x16 000300(110 x)2 0005 x2600 x15 0005( x60) 233 000，当 x60 时，有最大利润 33 000元答案：33 00015若函数
24、f (x)与 g(x)的图象关于直线 y x对称，函数 f (x) x，则 f (2)(12) g(4)_.解析：法一：函数 f (x)与 g(x)的图象关于直线 y x对称，又 f (x) x2 x， g(x)log 2x，(12) f (2) g(4)2 2log 246.法二： f (x) x， f (2)4，即函数 f (x)的图象经过点(2,4)，函数 f (x)与(12)g(x)的图象关于直线 y x对称，函数 g(x)的图象经过点(4,2)， f (2) g(4)426.答案：616(2018福州模拟)设函数 f (x)Error!则满足 f (x22) f (x)的 x的取值范
25、围是_解析：由题意 x0时， f (x)单调递增，故 f (x)f (0)0，而 x0 时， x0，故若 f (x22) f (x)，则 x22 x，且 x220，解得 x2或 xf (m) f (n)，则 f (x)在 m2， n上的最大值为 f (m2)log 3m22，解得 m ，则 n3，所以 9.13 nm答案：919.(2018西安八校联考)如图所示，已知函数 ylog 24x图象上的两点 A， B和函数 ylog 2x图象上的点 C，线段 AC平行于 y轴，当 ABC为正三角形时，点 B的横坐标为_解析：依题意，当 AC y轴， ABC为正三角形时，|AC|log 24xlog
26、2x2，点 B到直线 AC的距离为 ，设点3B(x0,2log 2x0)，则点 A(x0 ，3log 2x0)由点 A在函数 ylog 24x的图象上，得3log24(x0 )3log 2x0log 28x0，则 4(x0 )8 x0， x0 ，即点 B的横坐标是 .3 3 3 3答案： 320已知函数 f (x) 在0,1上单调递增，则 a的取值范围为_|2xa2x|解析：令 2x t， t1,2，则 y 在1,2上单调递增当 a0 时， y| t| t|tat|在1,2上单调递增显然成立；当 a0时，函数 y ， t(0，)的单调递增区间|tat|16是 ，)，此时 1，即 0log4x1
27、，故log4x1log 4x20时， f (x)的图象与直线 y3 x有两个交点，当 x2 .故选 A.35(2019 届高三西安八校联考)已知函数 f (x)Error!若方程 f (x) ax0 恰有两个不同的实根，则实数 a的取值范围是( )A. B.(0，13) 13， 1e)C. D(，0(1e， 43 43， )18解析：选 B 方程 f (x) ax0 有两个不同的实根，即直线 y ax与函数 f (x)的图象有两个不同的交点作出函数 f (x)的图象如图所示当 x1时， f (x)ln x，得 f ( x) ，设直线 y kx与函数1xf (x)ln x(x1)的图象相切，切点
28、为( x0， y0)，则 ，解得 x0e，则y0x0 ln x0x0 1x0k ，即 y x是函数 f (x)ln x(x1)的图象的切线，当 a0 时，直线 y ax与函数 f 1e 1e(x)的图象有一个交点，不合题意；当 01)的图象有13两个交点，但与 y x1( x1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当 a 时，13 1e直线 y ax与函数 f (x)的图象至多有一个交点，不合题意；只有当 a0，得 x1，令 f ( x)0，且12e2 12e2 48e2t 时， 2 m 0，所以当 t1 时，2e0且 a1)有且只有 4个不同的根，则实数 a的取值范围是( )A. B(
29、1,4)(14， 1)C(1,8) D(8，)解析：选 D f (x2) f (2 x)， f (x4) f (2( x2) f (2( x2) f ( x) f (x)，函数 f (x)是一个周期函数，且 T4.又当 x2,0时， f (x) x 1( ) x1，当 x0,2时， f (x) f ( x)( )x1，于是 x2,2(22) 2 2时， f (x)( )|x|1，根据 f (x)的周期性作出 f (x)的图象如图所示若在区间(2,6)内2关于 x的方程 f (x)log a(x2)0 有且只有 4个不同的根，则 a1且 y f (x)与ylog a(x2)( a1)的图象在区间
30、(2,6)内有且只有 4个不同的交点， f (2) f (2) f (6)1， 对于函数 ylog a(x2)( a1)，当 x 6时，log a88，即实数a的取值范围是(8，)，所以选 D.8已知在区间(0,2上的函数 f (x)Error!且 g(x) f (x) mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数 m的取值范围是( )A. B. (94， 2 (0， 12 ( 114， 2 (0， 12C. D. (94， 2 (0， 23 ( 114， 2 (0， 23解析：选 A 由函数 g(x) f (x) mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点，得 y f (x)， y mx在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当y mx与 y 3 在(0,1内相切时，1xmx23 x10， 94 m0， m ，结合图象可得当9420 m2 或 0m 时，函数 g(x) f (x) mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点94 12
