1、1专题三 数的几何意义及简单应用卷 卷 卷奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T52018利用导数讨论函数的单调性T21(1)利用导数的几何意义求切线方程T13利用导数的几何意义求参数值T14导数的运算、利用导数求函数极值T112017利用导数讨论函数的单调性T21(1) 利用导数的极值点求参数T21(1)_函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T152016 _导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式T16 利用导数公式直接求导T21(1)纵向把握趋势卷3 年 3考，涉及导数的几何意义以及讨论函数的单调性，其中利用导数求切线方程难度偏小，而用导数讨论函数的单调性难度偏大预计 2
2、019年仍会以解答题的形式考查函数单调性的讨论卷3 年 4考，涉及导数的运算、几何意义以及利用导数求函数的极值，题型为选择、填空题，难度适中预计 2019年高考会考查利用导数讨论函数的单调性，难度偏大卷3 年 3考，涉及导数公式及导数几何意义的应用，题型多为填空题预计2019年仍会考查导数几何意义的应用，另外，要重点关注利用导数研究函数的单调性横向把握重点1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有时也出现在解答题第一问3近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，
3、题目一般比较简单，但也不能忽略.2导数的几何意义题组全练1(2018全国卷)设函数 f (x) x3( a1) x2 ax，若 f (x)为奇函数，则曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y xC y2 x D y x解析：选 D f (x) x3( a1) x2 ax， f ( x)3 x22( a1) x a.又 f (x)为奇函数， f ( x) f (x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax恒成立， a1， f ( x)3 x21， f (0)1，曲线 y f (x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.2过点(0，1)的直
4、线 l与曲线 yln x相切，则原点到 l的距离为( )A1 B.12C. D.22 2解析：选 C 设切点为( x0，ln x0)由 yln x，得 y ，1x所以直线 l的斜率 k y| x x0 ，1x0所以切线方程为 yln x0 (x x0)，1x0即 y xln x01.1x0因为切线过点(0，1)，则1ln x01，即 x01，所以切线方程为 y x1，即 x y10，3所以原点到 l的距离 d ，故选 C.| 1|2 223(2018唐山模拟)曲线 y 与其在点(0，1)处的切线及直线 x1 所围成的x 1x 1封闭图形的面积为( )A1ln 2 B22ln 2C2ln 21
5、Dln 2解析：选 C 因为 y ，所以 y ，则曲线 y 在x 1x 1 (x 1x 1) 2 x 1 2 x 1x 1(0，1)处的切线的斜率 k2，切线方程为 y2 x1，则曲线 y 与其在点(0，1)x 1x 1处的切线及直线 x1 所围成的封闭图形的面积S 2x1 dx 2x1 1 dx x22 x2ln( x1) Error!2ln 21.10 x 1x 110 2x 14(2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析： y( ax a1)e x，当 x0 时， y a1， a12，解得 a3.答案：35已知曲线 y xln x在点(1,
6、1)处的切线与曲线 y ax2( a2) x1 相切，则a_.解析：由 y xln x，得 y1 ，则曲线 y xln x在点(1,1)处的切线斜率为1x2，故切线方程为 y2 x1，与 y ax2( a2) x1 联立，得 ax2 ax20，显然a0，所以由 a28 a0 a8.答案：8系统方法1求过切点切线问题的基本思路设曲线在( x0， y0)处的切线为 l，则根据Error!2过非切点的切线的求法设出切点坐标( x0， f (x0)，先求出在 x x0处的切线方程，然后把所过点的坐标代入即求出 x0，从而得出切线方程43由曲线的切线求参数的方法已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方
7、程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值利用导数研究函数的单调性多维例析角度一 讨论函数的单调性或求函数单调区间已知函数 f (x) x22cos x， g(x)e x(cos xsin x2 x2)，其中 e是例 1自然对数的底数(1)求函数 g(x)的单调区间；(2)讨论函数 h(x) g(x) af (x)(aR)的单调性解 (1) g( x)(e x)(cos xsin x2 x2)e x(cos xsin x2 x2)e x(cos xsin x2 x2sin xcos x2)2e x(xs
8、in x)记 p(x) xsin x，则 p( x)1cos x.因为 cos x1,1，所以 p( x)1cos x0，所以函数 p(x)在 R上单调递增而 p(0)0sin 00，所以当 x0时， p(x)0， g( x)0，函数 g(x)单调递增综上，函数 g(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)因为 h(x) g(x) af (x)e x(cos xsin x2 x2) a(x22cos x)，所以 h( x)2e x(xsin x) a(2x2sin x)2( xsin x)(ex a)由(1)知，当 x0时，p(x) xsin x0；当 x0，所以 x0时，
9、h( x)0，函数 h(x)单调递增；x0时，令 h( x)2( xsin x)(ex a)0，解得 x1ln a， x20.若 00，函数 h(x)单调递增；x(ln a,0)时，e x a0， h( x)0， h( x)0，函数 h(x)单调递增若 a1，则 ln a0，所以 xR 时， h( x)0，函数 h(x)在 R上单调递增若 a1，则 ln a0，所以 x(，0)时，e x a0，函数 h(x)单调递增；x(0，ln a)时，e x a0， h( x)0，函数 h(x)单调递增综上所述，当 a0 时，函数 h(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当 01时，函数 h(
10、x)在(，0)，(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减类题通法 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为 0；(2)导函数是否有变号零点；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内；(4)导函数的变号零点之间的大小关系角度二 已知函数的单调性求参数范围已知函数 f (x) ax b(a， bR)例 2xex(1)若函数 f (x)在 R上是增函数，求实数 a的取值范围；(2)若函数 f (x)
11、在(1,3)上单调，求实数 a的取值范围解 (1) f ( x) a ，ex ex x ex 2 1 x aexex设 g(x)1 x aex，由题意知 g(x)0 在 R上恒成立，即 1 x aex0 在 R上恒成立由 ex0，分离参数可得 a 在 R上恒成立x 1ex设 h(x) ，则 h( x) ，x 1ex 2 xex由 h( x)0，得 x2，所以 h(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，6所以 h(x)max h(2) ，故 a .1e2 1e2所以 a的取值范围为 .1e2， )(2)函数 f (x)在(1,3)上单调，则函数 f (x)在(1,3)上单调递增或单调递
12、减若函数 f (x)在(1,3)上单调递增，则 f ( x) 0 在(1,3)上恒成1 x aexex立，即 1 x aex0 在(1,3)上恒成立，所以 a 在(1,3)上恒成立x 1ex设 h(x) ，则 h( x) ，所以 h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调x 1ex 2 xex递减，所以 h(x)max h(2) (x(1,3)，故 a .1e2 1e2所以 a的取值范围为 ，.1e2若函数 f (x)在(1,3)上单调递减，则 f ( x) 0 在(1,3)上恒成1 x aexex立，即 1 x aex0 在(1,3)上恒成立，所以 a 在(1,3)上恒成立x 1ex
13、设 h(x) ，则 h( x) ，所以 h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调x 1ex 2 xex递减又 h(1) 2e， h(3) . 1 1e 1 3 1e3 2e3显然2eh(1)2e( x(1,3)，2e3所以 a的取值范围为(，2e综上， a的取值范围为(，2e .1e2， )类题通法由含参函数单调性求解参数范围问题的 2个关注点(1)准确把握函数单调性与导函数符号之间的关系：若可导函数 f (x)在区间 M上单调递增，则 f ( x)0 在区间 M上恒成立；若可导函数 f (x)在区间 M上单调递减，则 f ( x)0 在区间 M上恒成立(2)注意参数在导函数解析式中
14、的位置，先尝试分离参数，将问题的求解转化为求解对应函数的最值问题；若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决，则可以直接转化为求解含参函数的最值问题7综合训练1已知 aR，函数 f (x)( x2 ax)ex(xR，e 为自然对数的底数)(1)当 a2 时，求函数 f (x)的单调递增区间；(2)若函数 f (x)在(1,1)上单调递增，求 a的取值范围；(3)函数 f (x)是否为 R上的单调减函数？若是，求出 a的取值范围？若不是，请说明理由解：(1)当 a2 时， f (x)( x22 x)ex，所以 f ( x)(2 x2)e x( x22 x)ex( x22)e x.
15、令 f ( x)0，即( x22)e x0，因为 ex0，所以 x220，解得 0，所以 x2( a2) x a0，则 a ( x1) 对 x(1,1)都成立x2 2xx 1 x 1 2 1x 1 1x 1令 g(x)( x1) ，1x 1则 g( x)1 0.1 x 1 2所以 g(x)( x1) 在(1,1)上单调递增1x 1所以 g(x)0，所以 x2( a2) x a0 对 xR 都成立所以 ( a2) 24 a0，即 a240，这是不可能的8故函数 f (x)不可能在 R上单调递减2(2018合肥质检)已知 f (x)ln(2 x1) (aR)ax(1)讨论 f (x)的单调性；(2
16、)若 f (x) ax恒成立，求 a的值解：(1) f (x)的定义域为 ，(12， )f ( x) .22x 1 ax2 2x2 2ax a 2x 1 x2令 g(x)2 x22 ax a，若 2x22 ax a0 的根的判别式 4 a28 a0，即当 0 a2 时，对任意 x ， g(x)0 恒成立，(12， )即当 x 时， f ( x)0 恒成立，(12， ) f (x)在 上单调递增(12， )若 2x22 ax a0 的根的判别式 0，即当 a2或 a0.a2 (12) 12对任意 x ， g(x)0恒成立，(12， )即对任意 x ， f ( x)0恒成立，(12， ) f (x
17、)在 上单调递增(12， )当 a2时， 1，且 g 0.a2 (12) 12记 g(x)0 的两根分别为 x1， x2，且 x1 (a ) ， x2 (a )12 a2 2a 12 12 a2 2a当 x ( x2，)时， g(x)0，当 x( x1， x2)时， g(x)0，当 x( x1， x2)时， f ( x)2时， f (x)在 和 ，上单调递增，在 上单调递(12， 12 a a2 2a )减(2)f (x) ax恒成立等价于对任意 x ， f (x) ax0 恒成立(12， )令 h(x) f (x) axln(2 x1) ax，ax则 h(x)0 h(1)恒成立，即 h(x)
18、在 x1 处取得最大值h( x) . 2ax3 2 a x2 2ax ax2 2x 1由 h(1)0，得 a1.当 a1 时， h( x) ， 1 x 2x2 x 1x2 2x 1当 x 时， h( x)0；(12， 1)当 x(1，)时， h( x)0，求函数 f (x)在区间 m,2m上的最大值解 (1)因为函数 f (x)的定义域为(0，)，且 f ( x) ，1 ln xx2由Error! 得 0e.10所以函数 f (x)的单调递增区间为 (0，e)，单调递减区间为(e，)，且 f (x)极大值 f (e) 1，无极小值1e(2)当Error!即 00时，若 f (x)在区间1，e上
19、的最小值为2，求 a的取值范围解 (1)当 a1 时， f (x) x23 xln x(x0)，所以 f ( x)2 x3 ，1x 2x2 3x 1x所以 f (1)2， f (1)0.所以切线方程为 y20.(2)函数 f (x) ax2( a2) xln x的定义域为(0，)，11当 a0时， f ( x)2 ax( a2) ，1x 2ax2 a 2 x 1x 2x 1 ax 1x令 f ( x)0，解得 x 或 x .12 1a当 01)在1,2上的值域为 p(a)， q(a)，求 (a) q(a) p(a)的最小值解：(1)因为 f (x) x33 x2，所以 f ( x)3 x26
20、x，所以曲线 y f (x)在点 P(1，2)处的切线的斜率为 f (1)3，所以切线方程为 y(2)3( x1)，即 3x y10.(2)因为 g(x)2 x33( a1) x26 ax，所以 g( x)6 x26( a1) x6 a6( x1)( x a)令 g( x)0，得 x1 或 x a，若 10，所以 g(x)在( a,2)上单调递增若 g(1) g(2)，即 1g(2)，即 .(53， 2) 827若 a2，当 x1,2时， g( x)0，所以 g(x)在1,2上单调递减，所以 q(a) g(1)3 a1， p(a) g(2)4，所以 (a)3 a143 a5( a2)，所以 (
21、a)在2，)上的最小值为 (2)1.综上， (a)的最小值为 .8272已知函数 f (x) x23 x .ax(1)若 a4，讨论 f (x)的单调性；(2)若 f (x)有 3个极值点，求实数 a的取值范围解：(1)因为 a4 时， f (x) x23 x ，4x所以 f ( x)2 x3 4x2 2x3 3x2 4x2 2x3 4x2 x2 4x2(x0)， x 2 2x2 x 2x213令 f ( x)0，得 x2；令 f ( x)0，得 x1或 x0，得 a1，故10，所以 g(x)在(1，)上有唯一零点综上可知，实数 a的取值范围是(1,0)重难增分函数与导数的综合应用典例细解(2
22、015全国卷)设函数 f (x)e x(2x1) ax a，其中 a0，故 f (x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增注意到 f (1)e0，所以在(1，)内不存在正整数 x0使得 f (x0)ex(2x1)当 x1时，有 a 1，这与题设矛盾，舍去；ex 2x 1x 1当 x0；当 0 时， g( x)0，所以12 12当 x 时， g(x)min2e 12，12因为 g(0)10，直线 y ax a恒过点(1,0)，且斜率为 a，画出函数15的大致图象如图所示，故 ag(0)1， g(1)3e 1 a a，解得 a0， f (x)在1，)上单调递增，有 f (x) f (1)0.
23、可见(*)式也是充分的于是， a的取值范围就是 a0时， xf ( x) f (x)0成立的 x的取值范围是( )A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析 令 g(x) (x0)，则 g( x)f xx，当 x0时， xf ( x) f (x)0时，由 f (x)0，得 g(x)0，由图知 00，得 g(x)0成立的 x的取值范围是(，1)(0,1)答案 A启思维 本题考查了导数运算的逆运算，通过 xf ( x) f (x)0(或0(或0(或0(或0时， g( x) f ( x) x0，则不等式 f (x)0， g( x)1，不等式 f (x)0
24、，解得 02，故函数2x 2x2 5x 2x x 2 2x 1x 12f (x)的单调递增区间是 和(2，)(0，12)3(2018石家庄模拟)已知 f (x) ，其中 e为自然对数的底数，则( )ln xxA f (2)f (e)f (3) B f (3)f (e)f (2)C f (e)f (2)f (3) D f (e)f (3)f (2)解析：选 D 由 f (x) ，得 f ( x) ，令 f ( x)0，解得 xe，当ln xx 1 ln xx2x(0，e)时， f ( x)0，函数 f (x)单调递增，当 x(e，)时， f ( x)f (3)f (2)，故选 D.4(2019
25、届高三广州调研)已知直线 y kx2 与曲线 y xln x相切，则实数 k的值为( )Aln 2 B1C1ln 2 D1ln 2解析：选 D 由 y xln x知 yln x1，设切点为( x0， x0ln x0)，则切线方程为y x0ln x0(ln x01)( x x0)，因为切线 y kx 2过定点(0，2)，所以2 x0ln x0(ln x01)(0 x0)，解得 x02，故 k1ln 2，选 D.5已知定义在 R上的可导函数 f (x)的导函数为 f ( x)，满足 f ( x)f (x)，且 f 19(x3)为偶函数， f (6)1，则不等式 f (x)ex的解集为( )A(2，
26、) B(0，)C(1，) D(4，)解析：选 B 因为 f (x3)为偶函数，所以 f (3 x) f (x3)，因此 f (0) f (6)1.设 h(x) ，则原不等式即 h(x)h(0)f xex又 h( x) ，f x ex f x ex ex 2 f x f xex依题意 f ( x)f (x)，故 h( x)0，因此函数 h(x)在 R上是增函数，所以由 h(x)h(0)，得 x0.故选 B.6已知定义在 R上的函数 y f (x)满足 f ( x) f (x)，当 x(0,2时， f (x)ln x ax ，当 x2,0)时， f (x)的最小值为 3，则 a的值等于( )(a1
27、2)Ae 2 BeC2 D1解析：选 A 因为定义在 R上的函数 y f (x)满足 f ( x) f (x)，所以 y f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，因为当 x2,0)时， f (x)的最小值为 3，所以当 x(0,2时， f (x)ln x ax 的最大值为3.(a12)又 f ( x) (00；1a当 0， ax22 x10 有实数解当 a0 时，显然满足；当 a0，11.答案：(1，)8已知函数 f (x)e x mx1 的图象为曲线 C，若曲线 C存在与直线 ye x垂直的切线，则实数 m的取值范围是_解析：函数 f(x)的导数 f( x)e x m，设切点为( x0，e
28、x0 mx01)，即切线斜率ke x0 m，若曲线 C存在与直线 ye x垂直的切线，则满足(e x0 m)e1，即 e x0 m 有解，1e即 me x0 有解，1ee x0 ， m .1e 1e 1e答案： (1e， )9已知 x0为函数 f (x)(e a)x3 x的极值点，若 x0 (e为自然对数的底数)，e3， 13e则实数 a的取值范围是_解析： f( x) aeax3，则 f( x0)3 aeax00，由于 eax00，则 a0，则 x0 ln t，构造函数 g(t) ln t(t0)， g( t)1a ( 3a) 3a t3 t3 ln t (ln t1)，当 00， g(t)
29、为增函数，且 g(t)0恒成立，13 13 13 1e当 t 时， g( t)0时， g( x)0在 x(1,2)上恒成立，则 g(x)在(1,2)上是增函数，此时 g(x)在区间(1,2)上的值域 B为 ，(23m， 23m)则Error!解得 m (ln 22)3 ln 2.32 32当 m0恒成立，函数 f (x)在(0，)上单调递增，则函数 f (x)不存在两个不24同的零点当 a0时，由 f ( x)0，得 x ，当 00，函数 f (x)12a 12a单调递增，当 x 时， f ( x)0，即 ln 2a0 对任意的 x1恒成立，则 m的最大值为( )A2 B3C4 D5解析：选
30、B 法一：因为 f (x) x xln x，且 f (x) m(x1)0 对任意的 x1恒成立，等价于 m1)(x xln xx 1 )令 g(x) (x1)，所以 g( x) .易知 g( x)0 必有实根，设为x xln xx 1 x 2 ln x x 1 2x0，则 x02ln x00，且 g(x)在(1， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增，此时g(x)min g(x0) x0，因此 m0，又 mZ，故 m的最大值为 3.故选 B.法二： f (x)m(x1)在(1，)上恒成立，而 f ( x)2ln x，得 f (x)在(0，e 2 )上单调递减，在(e 2 ，)上单调递增，
31、由图象可知，过点(1,0)的直线 y m(x1)必在 f (x)的图象下方，设过点(1,0)且与f (x)的图象相切的直线的斜率为 k，则 m0，所以 e0， aR 恒成立，则实数 m的最大值为( )A. B2e25Ce D3解析：选 B b( a2) 2ln b( a1) 2等价于点 P(b，ln b)与点Q(a2， a1)距离的平方，易知点 P，Q 分别在曲线 C： yln x及直线 l： y x1 上令 f (x)ln x，则 f ( x) ，令 f ( x)1，得 x1，故与直线 l平行且与曲线1xC相切的直线 l与曲线 C的切点为(1,0)，所以| PQ|min ，所以 m2 m2，
32、解得22 21 m2，所以 m的最大值为 2.故选 B.5设函数 f (x)e x a x， g(x)ln( x3)4e x a，其中 e为自然对数的底数，若存在实数 x0，使得 f (x0) g(x0)2 成立，则实数 a的值为( )A2ln 2 B1ln 2C1ln 2 D2ln 2解析：选 D 由已知得 f (x) g(x)e x a xln( x3)4e x a，设 h(x)e x a4e x a， u(x) xln( x3)，所以 h(x)e x a4e x a2 4，当且仅当 ex a2 时等号成立ex a4e x au( x)1 (x3)，1x 3 x 2x 3令 u( x)0，
33、得 x2；令 u( x)0，若直线 MN x轴，则 M， N两点间的距离的最小值为( )A1 B2C3 D4解析：选 A 设 h(x1)| MN|，由题意知 h(x1) x2 x1， x11，由 MN x轴可得 g(x2) f (x1)，即 x2e x11 (x11) 21，12所以 h(x1) x2 x1e x11 (x11) 2 x11， h( x1)e x11 x1， h( x1)e 12x11 1，因为 h( x1) h(1)0，26所以 h( x1)在1，)上是增函数，所以 h( x1) h(1)0，因此 h(x1)在1，)上是增函数，所以 h(x1) h(1)1，故选 A.7若对任
34、意的 x ，e 为自然对数的底数，总存在唯一的 y1,1，使得 ln 1e， 1x x1 a y2ey成立，则实数 a的取值范围为( )A. B.1e， e) (2e， eC. D.2e， ) 2e， e 1e解析：选 B 设 f (x)ln x x1 a，则 f ( x) 1 .1x 1 xx因为 x ，所以 f ( x)0， f (x)在 上单调递增，所以 f (x)1e， 1 1e， 1.a1e， a设 g(y) y2ey， y1,1，则 g( y) y(y2)e y.由 g( y)0，得 00时， f ( x) f (x3)0；当x(0,3)时， f (x) ，其中 e是自然对数的底数
35、，且 e2.72，则方程 6f (x)eln xx x0 在9,9上的解的个数为( )A4 B5C6 D7解析：选 D 依题意，当 x(0,3)时， f ( x) ，令 f ( x)0 得e 1 ln xx2xe，故函数 f (x)在区间(0，e)上单调递增，在区间 (e,3)上单调递减，故在区间(0,3)27上， f (x)max f (e)1.又函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，且当 x0时， f ( x) f (x3)0，即 f (x3) f (x)， f (0)0.由 6f (x) x0，得 f (x) .在同一坐标x6系内作出函数 y f (x)与 y 在区间9,9 上的图象如图所示由图可知，函数 y f x6(x)与 y 的图象有 7个交点，即方程 6f (x) x0 的解的个数为 7.故选 D.x6
