1、1“212”压轴满分练(四)1已知函数 f(x) 1 nln x(m0,0 ne)在区间1，e内有唯一零点，则mx的取值范围为( )n 2m 1A. B. C. D 解析：选 A f( x) ，当 n0 时， f( x) 0，当 0 nemx2 nx m nxx2 mx2时，令 f( x)0，则 x 0，所以函数 f(x)在1，e上单调递减，由函数 f(x)在区mn间1，e内有唯一零点，得Error! 即Error!即Error!或Error! 即Error!又 m0,0 ne，所以Error! (1)或Error! (2)所以 m， n满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则 表
2、示n 2m 1 n 2m 1点( m， n)与点(1，2)所在直线的斜率，当 m， n满足不等式组(1)时， 的最大值在点(1，e)处取得，为 1，n 2m 1 e 21 1 e2当 m， n满足不等式组(2)时， 的最小值在 A点处取得，根据Error!得Error!所以最n 2m 1小值为 ，故选 A.e 2e2 e 122已知 P为双曲线 C： 1( a0， b0)右支上的任意一点，经过点 P的直线x2a2 y2b2与双曲线 C的两条渐近线分别相交于 A， B两点若点 A， B分别位于第一、四象限， O为坐标原点，当 时， AOB的面积为 2b，则双曲线 C的实轴长为( )AP 12PB
3、 A. B.329 169C. D.89 49解析：选 A 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x， y)，由 ，AP 12PB 得( x x1， y y1) (x2 x， y2 y)，12则 x x1 x2， y y1 y2，23 13 23 13所以 1.(23x1 13x2)2a2(23y1 13y2)2b2易知点 A在直线 y x上，点 B在直线 y x上，ba ba则 y1 x1， y2 x2，ba ba所以 1，(23x1 13x2)2a2(2b3ax1 b3ax2)2b2即 b2 2 a2 2 a2b2，(23x1 13x2) (2b3ax1 b3ax2)化简可得
4、 a2 x1x2.89由渐近线的对称性可得 sin AOBsin 2 AOx 2sin AOxcos AOxsin2 AOx cos2 AOx ，2tan AOxtan2 AOx 12ba(ba)2 1 2abb2 a2所以 AOB的面积为 |OA|OB|sin AOB sin AOB12 12x21 y21 x2 y2 12 x21 (bax1)2 x2 ( bax2)2 2abb2 a23 x1x2 1 (ba)2 1 (ba)2 abb2 a2 a2 98 abb2 a2 1 (ba)2 a2 ab2 b，98 abb2 a2 b2 a2a2 98得 a ，所以双曲线 C的实轴长为 .1
5、69 3293已知数列 an共 16项，且 a11， a84.记关于 x的函数 fn(x) x3 anx2( a 1) x， nN *.若 x an1 (1 n15)是函数 fn(x)的极值点，且曲线13 2ny f8(x)在点( a16， f8(a16)处的切线的斜率为 15，则满足条件的数列 an的个数为_解析： fn( x) x22 anx a 1 x( an1) x( an1)，令 fn( x)0，得2nx an1 或 x an1，所以 an1 an1 或 an1 an1 (1 n15)，所以|an1 an|1(1 n15)，又 f8( x) x28 x15，所以 a 8 a16151
6、5，解得216a160 或 a168，当 a160 时， a8 a1( a2 a1)( a3 a2)( a8 a7)3，得 ai1 ai(1 i7， iN *)的值有 2个为1,5 个为 1；由 a16 a8( a9 a8)( a10 a9)( a16 a15)4，得 ai1 ai(8 i15， iN *)的值有 6个为1,2 个为 1.所以此时数列 an的个数为 C C 588，2728同理可得当 a168 时，数列 an的个数为 C C 588.2728综上，数列 an的个数为 2C C 1 176.2728答案： 1 1764已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F
7、2，左顶点为 A，离心x2a2 y2b2率为 ，点 B是椭圆上的动点， ABF1面积的最大值为 .22 2 12(1)求椭圆 C的方程；(2)设经过点 F1的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 M， N，线段 MN的中垂线为 l.若直线 l与直线 l相交于点 P，与直线 x2 相交于点 Q，求 的最小值|PQ|MN|解：(1)由已知得 e ，即 a22 c2.ca 22 a2 b2 c2， b c.设 B点的纵坐标为 y0(y00)，4则 S ABF1 (a c)|y0| (a c)b ，12 12 2 12即( b b)b 1， b1， a .2 2 2椭圆 C的方程为 y21.x22(2)
8、由(1)可知 F1(1,0)，由题意知直线 l的斜率不为 0，故设直线 l： x my1，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(xP， yP)， Q(2， yQ)联立，得Error!消去 x，得( m22) y22 my10，此时 8( m21)0， y1 y2 ， y1y2 .2mm2 2 1m2 2由弦长公式，得| MN| |y1 y2|1 m2 2 .1 m24m2 4m2 8m2 2 2 m2 1m2 2又 yP ， xP myP1 ，y1 y22 mm2 2 2m2 2| PQ| |xP2| ，1 m2 1 m22m2 6m2 2 （ ）2，|PQ|MN| 2m2 62
9、2m2 1 22 m2 3m2 1 22 m2 1 2m2 1当且仅当 ，即 m1 时等号成立，m2 12m2 1当 m1，即直线 l的斜率为1 时， 取得最小值 2.|PQ|MN|5已知函数 f(x) xln x ax1， aR.(1)当 x0 时，若关于 x的不等式 f(x)0 恒成立，求 a的取值范围；(2)当 nN *时，证明： (ln 2) 2 2 2 .n2n 4 (ln 32) (ln n 1n ) nn 1解：(1)由 f(x)0，得 xln x ax10( x0)，即 aln x 恒成立，即 a min.1x (ln x 1x)令 F(x)ln x (x0)，则 F( x)
10、，1x 1x 1x2 x 1x2函数 F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，函数 F(x)ln x 的最小值为 F(1)1，1x5 a1，即 a1， a的取值范围是1，)(2)证明： 为数列 的前 n项和， 为数列 的n2n 4 1 n 1 n 2 nn 1 1n n 1 前 n项和，只需证明 2 即可1 n 1 n 2 (ln n 1n ) 1n n 1由(1)知，当 a1 时， xln x x10，即 ln x1 ，1x令 x 1，得 ln 1 ，n 1n n 1n nn 1 1n 1 2 2 .(ln n 1n ) ( 1n 1) 1 n 1 n 2现证明 2 ，(ln
11、n 1n ) 1n n 1即 2ln .(*)n 1n 1nn 1 n 1 nnn 1 n 1n nn 1现证明 2ln x x (x1)，1x构造函数 G(x) x 2ln x(x1)，1x则 G( x)1 0，1x2 2x x2 2x 1x2函数 G(x)在(1，)上是增函数，即 G(x) G(1)0，即 2ln x x 成立1x令 x ，则(*)式成立n 1n综上，得 2 .1 n 1 n 2 (ln n 1n ) 1n n 1对数列 ， ， 分别求前 n项和，得1 n 1 n 2 (ln n 1n )2 1n n 1 (ln 2) 2 2 2 .n2n 4 (ln 32) (ln n 1n ) nn 16
