1、1专题层级快练(三十三)1已知向量 a(1，sin)， b(1，cos)，则| a b|的最大值为( )A1 B. 2C. D23答案 B解析 a(1，sin)， b(1，cos)， a b(0，sincos)| a b| .02 （ sin cos ） 2 1 sin2| a b|最大值为 .故选 B.22(2019潍坊二模)设 a， b 是非零向量，若函数 f(x)(x a b)(ax b)的图像是一条直线，则必有( )A a b B a bC| a| b| D| a| b|答案 A解析 f(x)(x a b)(ax b)的图像是一条直线，即 f(x)的表达式是关于 x 的一次函数或常函数
2、而(x a b)(ax b)x 2ab( a2 b2)x ab，故 ab0，即 a b，故应选 A.3已知 A，B 是圆心为 C，半径为 的圆上两点，且| | ，则 等于( )5 AB 5 AC CB A B.52 52C0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB| 与半径相同，则ACB605 | | |cosACB cos60 .AC CB CA CB CA CB 5 5 524(2019保定模拟)若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足| | 2 |，OB OC OB OC OA 则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案 B解析 2 ， ，| |
3、 |OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC AB AC AB AC | |2| |2 0，三角形为直角三角形，故选 B.AB AC AB AC AB AC 25(2015山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 ( )BD CD A a2 B a232 34C. a2 D. a234 32答案 D解析 在菱形 ABCD 中， ， ，所以 ( ) BA CD BD BA BC BD CD BA BC CD BA CD BC a 2aacos60a 2 a2 a2.CD 12 326(2019银川调研)若平面四边形 ABCD 满足 0，(
4、) 0，则该四边形AB CD AB AD AC 一定是( )A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形答案 C解析 由 0 得平面四边形 ABCD 是平行四边形，由( ) 0 得 0，AB CD AB AD AC DB AC 故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选 C.7如图所示，在ABC 中，ADAB， ，| |1，则 ( )BC 3BD AD AC AD A2 B.332C. D.33 3答案 D解析 ( ) AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC AD 3 | | |cosBDA | |2 .BD AD 3BD AD 3AD 38在ABC 中， a， b， c
5、，且 ab bc ca，则ABC 的形状是( )BC CA AB A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案 D解析 因为 a， b， c 均为非零向量，且 ab bc，得 b(a c)0 b( a c)3又 a b c0 b( a c)，( a c)(a c)0 a2 c2，得 |a| |c|.同理 |b| |a|， |a| |b| |c|.故ABC 为等边三角形9(2016天津)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则 的值为( )AF BC A B.58 18C. D.14 118答案
6、 B解析 如图以直线 AC 为 x 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，C(1，0)，B( ， )，F(1， )，12 32 34 (1， )， ( ， )AF 34 BC 12 32 ，选 B.AF BC 12 38 1810(2019福州四校联考)已知向量 a， b 为单位向量，且 ab ，向量 c 与 a b 共12线，则| a c|的最小值为( )A1 B.12C. D.34 32答案 D解析 方法 1：向量 c 与 a b 共线，可设 ct( a b)(tR)， a c(t1)at b，( a c)2(t1) 2a22t(t1) abt 2b2，向量 a， b
7、 为单位向量，且ab ，( a c)2(t1) 2t(t1)t 2t 2t1 ，| a c| ，| a c|12 34 32的最小值为 ，故选 D.324方法 2：向量 a， b 为单位向量，且 ab ，向量 a， b 的夹角为 120，在平面直12角坐标系中，不妨设向量 a(1，0)， b( ， )，则 a b( ， )，向量 c 与12 32 12 32a b 共线，可设 c( t， t)(tR)， a c(1 ， t)，| a c| 12 32 t2 32 ，| a c|的最小值为 ，故选 D.（ 1 t2） 2 3t24 t2 t 1 32 3211(2019郑州质检)在平面直角坐标系
8、中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满足向量 在OP 向量 上的投影为 ，则点 P 的轨迹方程是( )OA 5Ax2y50 Bx2y50Cx2y50 Dx2y50答案 C解析 由投影的定义知 ，化简得 x2y50，所以点 P 的轨迹方程5OP OA |OA | x 2y5为 x2y50，故选 C.12(2015山东，文)过点 P(1， )作圆 x2y 21 的两条切线，切点分别为 A，B，3则 _PA PB 答案 32解析 在平面直角坐标系 xOy 中作出圆 x2y 21 及其切线 PA，PB，如图所示连接OA，OP，由图可得|OA|OB|1，|OP|2，| | | ，APOBPO ，
9、则 ，PA PB 3 6 PA 的夹角为 ，所以 | | |cos .PB 3 PA PB PA PB 3 3213在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若 1，则 ABAC BE 的长为_答案 12解析 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， ， .AC AB AD BE BC CE 12AB AD 5所以 ( )( )AC BE AB AD 12AB AD | |2| |2 | |2 | |11，解方程得| | (舍去| |0)，12AB AD 12AB AD 12AB 14AB AB 12 AB 所以线段 AB 的长为 .1214设 F 为抛物线 y24x
10、的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 0，则FA FB FC | | | |_FA FB FC 答案 6解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又 F(1，0)，所以 (x 1x 2x 33，y 1y 2y 3)0，得 x1x 2x 33.又由抛物线定义可得FA FB FC | | | |(x 11)(x 21)(x 31)6.FA FB FC 15如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是 的三等分点，M，N 是线段 AB 的三等分点，若AB OA6，则 _MC ND 答案 26解析 连接 OC，OD，MC，ND，则 ( )( )MC ND MO OC
11、NO OD 4661826.MO NO MO OD NO OC OC OD 16在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，C2A，cosA .34(1)求 cosC，cosB 的值；(2)若 ，求边 AC 的长BA BC 272答案 (1)cosC cosB (2)518 916解析 (1)cosCcos2A2cos 2A12( )21 ，sinC ，sinA .34 18 378 746cosBcos(AC)sinAsinCcosAcosC .74 378 34 18 916(2) ，accosB ，即 ac24.BA BC 272 272又 ，C2A，c2acosA a.as
12、inA csinC 32由解得 a4，c6.b 2a 2c 22accosB1636246 25.916b5，即边 AC 的长为 5.17已知向量 a(sinx， )， b(cosx，1)34(1)当 a b 时，求 cos2xsin2x 的值；(2)设函数 f(x)2( a b)b，已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若a ，b2，sinB ，求 f(x)4cos(2A )(x0， )的取值范围363 6 3答案 (1) (2) 1， 85 32 2 12解析 (1)因为 a b，所以 cosxsinx0，所以 tanx .34 34cos2xsin2x .cos2
13、x 2sinxcosxsin2x cos2x 1 2tanx1 tan2x 85(2)f(x)2( a b)b2(sinxcosx， )(cosx，1)14sin2xcos2x32 sin(2x ) .2 4 32由正弦定理 ，得asinA bsinBsinA ，asinBb 3632 22所以 A 或 A . 4 34因为 ba，所以 A . 47所以 f(x)4cos(2A ) 6 sin(2x ) ，2 4 12因为 x0， ， 3所以 2x ， ， 4 4 1112所以 1f(x)4cos(2A ) .32 6 2 12所以 f(x)4cos(2A ) 6(x0， )的取值范围是 1， 3 32 2 12
