1、1题组层级快练(六十二)1(2019广东中山第一次统测)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)两点如果 x1x 26，那么|AB|( )A6 B8C9 D10答案 B解析 |AB|AF|BF|x 1x 2p8.故选 B.2若抛物线 y4x 2上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是( )A( ，1) B(0，0)12C(1，2) D(1，4)答案 A解析 设与直线 y4x5 平行的直线为 y4xm，由平面几何的性质可知，抛物线y4x 2上到直线 y4x5 的距离最短的点即为直线 y4xm 与抛物线相切的点而对y4x 2求导得 y8x，又直线
2、 y4xm 的斜率为 4，所以 8x4，得 x ，此时12y4( )21，即切点为( ，1)，故选 A.12 123(2019广东汕头第三次质检)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，与直线 y2x4 交于 A，B 两点，则 cosAFB( )A. B.45 35C D35 45答案 D解析 抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，点 F的坐标为(1，0)又直线 y2x4 与 C交于 A，B 两点，A，B 两点坐标分别为(1，2)，(4，4)，则 (0，2)， (3，4)，FA FB cosAFB .故选 D.FA FB |FA |FB | 810 454直线 l与抛物线 C：y 22x 交
3、于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率k1，k 2满足 k1k2 ，则直线 l过定点( )23A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0，3)2答案 A解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为 k1k2 ，所以 .又 y122x 1，y 222x 2，所23 y1x1 y2x2 23以 y1y26.将直线 l：xmyb 代入抛物线 C：y 22x 得 y22my2b0，所以y1y22b6，所以 b3，即直线 l：xmy3，所以直线 l过定点(3，0)5(2019安徽芜湖模拟)已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB的两端点坐标分别为A(x1，y 1
4、)，B(x 2，y 2)，则 的值一定等于( )y1y2x1x2A4 B4Cp 2 Dp 2答案 A解析 若焦点弦 ABx 轴，则 x1x 2 ，则 x1x2 ；若焦点弦 AB不垂直于 x轴，p2 p24可设直线 AB：yk(x )，联立 y22px 得 k2x2(k 2p2p)x 0，则p2 p2k24x1x2 .y 122px 1，y 222px 2，y 12y224p 2x1x2p 4.又y 1y232.16k2综上可知，y 12y 2232.y 12y 22的最小值为 32.故选 D.9(2019天津静海模拟)已知点 A为抛物线 C：x 24y 上的动点(不含原点)，过点 A的切线交
5、x轴于点 B，设抛物线 C的焦点为 F，则ABF 为( )A锐角 B直角C钝角 D不确定答案 B解析 设 A(x0， )(x00)又 y x2，则 y x，则抛物线 C在点 A处的切线方程为x024 14 12y x0(xx 0)令 y0，解得 B( x0，0)又 F(0，1)，所x024 12 12以 ( x0，1)( x0， ) 0，则ABF 为直角，故选 B.BF BA 12 12 x024 x024 x024410(2019东城区期末)已知抛物线 C1：y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y 21 的12p x23右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M，若 C1在点 M处的切线平行
6、于 C2的一条渐近线，则p( )A. B.316 38C. D.233 433答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0， )，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以p2两个焦点连线的直线方程为 y (x2)设 M(x0，y 0)，则有 y x0 x0 p.因p4 1p 33 33为 y0 x02，所以 y0 .又 M点在抛物线的切线上，即有 ( p2)p ，故选12p p6 p6 p4 33 433D.11(2019河北邯郸模拟)已知 F是抛物线 x24y 的焦点，P 为抛物线上的动点，且 A的坐标为(0，1)，则 的最小值是( )|PF|PA|A. B.14 12C. D.22 32
7、答案 C解析 抛物线的准线为 l：y1，过点 P作 PDl 于点 D，则|PD|PF|，且点 A在准线上，如图所示，所以 sinPAD，PAD 为锐角|PF|PA| |PD|PA|故当PAD 最小时， 最小，故当直线 PA与抛物线相切时，|PF|PA| sinPAD 有最小值|PF|PA| |PD|PA|由 y 得 y ，设切点为(x 0， )(x00)，x24 x2 x0245则 ，解得 x02，此时PAD ，x024 （ 1）x0 x02 4所以( )minsin ，故选 C.|PF|PA| 4 2212(2019甘肃兰州模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，A(x 1，y 1)，B(x
8、2，y 2)是抛物线上两动点，若|AB| (x1x 22)，则AFB 的最大值为( )32A. B.23 56C. D.34 3答案 A解析 因为|AB| (x1x 22)，|AF|BF|x 1x 2px 1x 22，所以|AF|BF|32|AB|.233在AFB 中，由余弦定理，得cosAFB|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF|（ |AF| |BF|） 2 2|AF|BF| |AB|22|AF|BF| 1 1.43|AB|2 |AB|22|AF|BF|13|AB|22|AF|BF|又|AF|BF| |AB|2 |AF|BF| |AB|2.所以233 |AF|BF| 13cosA
9、FB 1 ，所以AFB 的最大值为 .故选 A.13|AB|2213|AB|2 12 2313已知过抛物线 y24x 的焦点 F的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|2，则|BF|_答案 2解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1，0)，p2.由 ，即1|AF| 1|BF| 2p ，|BF|2.12 1|BF| 2214(2019郑州质检)设抛物线 y216x 的焦点为 F，经过点 P(1，0)的直线 l与抛物线交6于 A，B 两点，且 2 ，则|AF|2|BF|_BP PA 答案 15解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)P(1，0)， (1x 2，y 2)， (x 11，y
10、1)BP PA 2 ，2(1x 2，y 2)(x 11，y 1)，BP PA x 12x 23，2y 2y 1.将 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程 y216x，得y1216x 1，y 2216x 2.又2y 2y 1，4x 2x 1.又x 12x 23，解得 x2 ，x 12.12|AF|2|BF|x 142(x 24)242( 4)15.1215(2019河南郑州测试)过抛物线 y x2的焦点 F作一条倾斜角为 30的直线交抛物线14于 A，B 两点，则|AB|_答案 163解析 依题意，设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，抛物线 x24y 的焦点坐标是
11、F(0，1)，直线AB的方程为 y x1，即 x (y1)由 消去 x得 3(y1) 24y，33 3 x2 4y，x 3（ y 1） ， )即 3y210y30，y 1y 2 ，|AB|AF|BF|(y 11)(y 21)y 1y 22 .103 16316(2019长沙调研)过点(0，3)的直线 l与抛物线 y24x 只有一个公共点，则直线 l的方程为_答案 y x3 或 y3 或 x013解析 当直线 l的斜率 k存在且 k0 时，由相切知直线 l的方程为 y x3；当 k0 时，13直线 l的方程为 y3，此时直线 l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点( ，3)；当 k不存
12、在时，直线 l与抛物线也只有一个公共点(0，0)，此时直线 l的方程为94x0.综上，过点(0，3)且与抛物线 y24x 只有一个公共点的直线 l的方程为 y x313或 y3 或 x0.17(2019广西柳州模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F的直线交抛物线于A，B 两不同点7(1)若 3 ，求直线 AB的斜率；AF FB (2)设点 M在线段 AB上运动，原点 O关于点 M的对称点为点 C，求四边形 OACB面积的最小值答案 (1) 或 (2)43 3解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为 F(1，0)，设直线 AB：xmy1，将直线 AB与抛物线联立 y24my40.设 A
13、(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x my 1，y2 4x )y1y 24m，y 1y24. 3 y13y 2m2 ，斜率为 或 .AF FB 13 1m 3 3(2)S 四边形 OACB2S AOB2 |OF|y1y 2|y 1y 2| 4，12 （ y1 y2） 2 4y1y2 16m2 16当 m0 时，四边形 OACB的面积最小，最小值为 4.18.(2019江西九江一模)已知抛物线 E：y 22px(p0)的焦点为 F，过点 F且倾斜角为的直线 l被 E截得的线段长为 8.4(1)求抛物线 E的方程；(2)已知点 C是抛物线上的动点，以 C为圆心的圆过点 F，且圆 C与直线
14、x 相交于12A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围答案 (1)y 24x (2)3，)解析 (1)由题意，直线 l的方程为 yx .联立 消去 y整理得p2 y x p2，y2 2px， )x23px 0.设直线 l与抛物线 E的交点的横坐标分别为 x1，x 2，则 x1x 23p，故直p24线 l被抛物线 E截得的线段长为 x1x 2p4p8，得 p2，抛物线 E的方程为 y24x.(2)由(1)知，F(1，0)，设 C(x0，y 0)，则圆 C的方程是(xx 0)2(yy 0)2(x 01) 2y 02.令 x ，得 y22y 0y3x 0 0.12 348又y 024x 0，4y 0212x 03y 0230 恒成立设 A( ，y 3)，B( ，y 4)，则 y3y 42y 0，y 3y43x 0 .12 12 34|FA|FB| y32 94 y42 94（ y3y4） 2 94（ y32 y42） 8116（ 3x0 34） 2 944y02 2（ 3x0 34） 8116 3|x 01|.9x02 18x0 9x 00，|FA|FB|3，)
