1、1题组层级快练(六十一)1抛物线 x2 y的焦点到准线的距离是( )12A2 B1C. D.12 14答案 D解析 抛物线标准方程 x22py(p0)中 p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ，故选 D.142过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是( )Ay 2 x或 x2 y By 2 x或 x2 y92 43 92 43Cy 2 x或 x2 y Dy 2 x或 x2 y92 43 92 43答案 A解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得k ，m ，y 2 x或 x2 y，选 A.92 43 92 433若抛物线 yax 2的焦点坐标是(0，
2、1)，则 a( )A1 B.12C2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为 x2 y，所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a ，1a 14a 14a 14故选 D.4抛物线 y4x 2关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是( )Ay1 By116Cx1 Dx116答案 D解析 抛物线 x2 y的准线方程为 y ，关于 xy 对称的准线方程 x 为所求14 116 11625(2014课标全国)已知抛物线 C：y 2x 的焦点为 F，A(x 0，y 0)是 C上一点，|AF| x0，则 x0( )54A1 B2C4 D8答案 A解析 由题意知抛物线的准线方程为 x .因为|AF|
3、x0，根据抛物线的定义可得 x014 54|AF| x0，解得 x01，故选 A.14 546(2019江西吉安一中期中)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)满足|AF|BF|2，则 y1x 12y 2x 22( )A4 B6C8 D10答案 D解析 |AF|BF|2，y 11(y 21)2，y 1y 22，所以y1x 12y 2x 225(y 1y 2)10，故选 D.7(2019衡水中学调研卷)若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10和 6，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 236xCy 24x 或
4、 y236x Dy 28x 或 y232x答案 C解析 因为抛物线 y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设该点为P，则 P(x0，6)因为 P到抛物线的焦点 F( ，0)的距离为 10，所以由抛物线的定义得p2x0 10 .因为 P在抛物线上，所以 362px 0 .由解得 p2，x 09 或p2p18，x 01，则抛物线的方程为 y24x 或 y236x.8(2019吉林长春调研测试)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y24x 上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A. B2355C. D3115答案 B解析 由题可知 l
5、2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点3P到 l2的距离等于|PF|，则动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦点 F到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是 2，故选 B.|4 0 6|59(2019合肥质检)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M到焦点 F的距离等于 2p，则直线MF的斜率为( )A B13C D34 33答案 A解析 设 M(xM，y M)，由抛物线定义可得|MF|x M 2p，解得 xM ，代入抛物线方程p2 3p2可得 yM p，则直线 MF的斜率为 ，选项 A正确3yMxM p2 3pp 310(201
6、9太原一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 0，则 ( )FA FB FC 1kAB 1kBC 1kCAA0 B1C2 D2p答案 A解析 设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F( ，0)，则(x 1 ，y 1)(x 2 ，y 2)p2 p2 p2(x 3 ，y 3)(0，0)，故 y1y 2y 30. ，同p2 1kAB x2 x1y2 y1 12p（ y22 y12）y2 y1 y2 y12p理可知 ， ， 0.1kBC y3 y22p 1kCA y3 y12p 1kAB 1kBC 1kCA 2（ y1 y2
7、 y3）2p11(2019南昌市二模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l与 x轴的交点为 K，P 是抛物线上一点，若|PF|5，则PKF 的面积为( )A4 B5C8 D10答案 A解析 由抛物线 y24x，知 1，则焦点 F(1，0)设点 P( ，y 0)，则由|PF|5，得p2 y0245，解得 y04，所以 SPKF p|y0| 244，故选 A.（ y024 1） 2 y02 12 1212(2019沧州七校联考)设抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，|MF|5，若以 MF为直径的圆过点(0，2)，则 C的方程为( )4Ay 24x 或 y28x B
8、y 22x 或 y28xCy 24x 或 y216x Dy 22x 或 y216x答案 C解析 方法一：设点 M的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|x 0 5，则p2x05 .p2又点 F的坐标为( ，0)，所以以 MF为直径的圆的方程为(xx 0)(x )(yy 0)y0.p2 p2将 x0，y2 代入得 px084y 00，即 4y 080，所以 y04.y022由 y022px 0，得 162p(5 )，解之得 p2 或 p8.p2所以 C的方程为 y24x 或 y216x.故选 C.方法二：由已知得抛物线的焦点 F( ，0)，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，
9、y 0)，则 (p2 AF ，2)， ( ，y 02)p2 AM y022p由已知得， 0，即 y028y 0160，因而 y04，M( ，4)AF AM 8p由抛物线定义可知：|MF| 5.8p p2又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C.13(2019福建闽侯三中期中)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P作 PAl 于点 A，当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_答案 43解析 设 l与 y轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB| .233设 P(x0，y 0)，则 x0 ，代入 x24y 中，得 y0 ，从而|
10、PF|PA|y 01 .233 13 4314(2019黑龙江大庆一模)已知圆 x2y 2mx 0 与抛物线 y24x 的准线相切，则14m_答案 34解析 圆 x2y 2mx 0 圆心为( ，0)，半径 r ，抛物线 y24x 的准线为14 m2 m2 125x1.由| 1| ，得 m .m2 m2 12 3415(2019湖北恩施一中开学考)长为 2的线段 AB的两个端点在抛物线 y2x 上滑动，则线段 AB中点 M到 y轴距离的最小值是_答案 34解析 设抛物线 y2x 的焦点为 F，准线为 l，点 A，B，M 在 l上的射影分别为点C，D，N，连接 AC，BD，MN，如图由梯形的中位线
11、定理，可得|MN| (|AC|BD|)连12接 AF，BF，根据抛物线的定义得|AF|AC|，|BF|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|BF|AB|，当且仅当点 F在 AB上时取等号，|AC|BD|AB|2，|MN| (|AC|BD|) |AB|1.12 12设点 M的横坐标为 a，抛物线 y2x 的准线方程为 x ，则14|MN|a 1，解得 a .14 34因此，当且仅当线段 AB为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点 M到 y轴的距离最小值为 .3416抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为 y2x，斜边长为 5 ，求此抛物线方程13答
12、案 y 24x解析 设抛物线 y22px(p0)的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为 y x.12解方程组 可得点 A的坐标为( ，p)；y 2x，y2 2px， ) p2解方程组 可得点 B的坐标为(8p，4p)y 12x，y2 2px， )|OA| 2|OB| 2|AB| 2，且|AB|5 ，13( p 2)(64p 216p 2)325.p24p2，所求的抛物线方程为 y24x.617(2018上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如
13、图 1所示，图 2是投影射出的抛物线的平面图，图 3是一个射灯投影的直观图，在图 2与图 3中，点 O，A，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C，AB3 米，OC4.5米(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图 3中，已知 OC平行于圆锥的母线 SD，AB，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到 0.01)答案 (1) (2)9.5914解析 (1)如图，以 O为坐标原点，OC 所在直线为 y轴，建系B(1.5，4.5)设抛物线方程为 x22py.点 B(1.5，4.5)在抛物线上p .焦点到准线距离为 .14 14(2)如图，C 为 DE中点，O
14、CSD，O 为 SE中点7SCDE，OC4.5，SE2OC9.DEAB3，CE1.5.sinCSE 0.167.CESE 1.59SCE9.59.圆锥的母线与轴的夹角约为 9.59.18.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由解析 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为 A，B，则 A(3，3)，B(3，3)设抛物线方程为 x22py(p0)，将 B点坐标代入得 92p(3)，所以 p .32所以抛物线方程为 x23y(3y0)因为车与箱共高 4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m.设抛物线上点 D的坐标为(x 0，0.5)，则 x02 ，32所以|x 0| ，所以 2|x0| 3，故此车不能通过隧道32 62 68
