1、- 1 -辽宁省鞍山一中 2019 届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知全集 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出全集中的元素，再由 可得 B，再由交集定义求解即可.【详解】全集 ，由 ，可得 .所以 .故选 C.【点睛】本题主要考查了集合的补集和交集的运算，属于基础题.2.在复平面内，复数 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则把复数化简为 z ，进而得到答案【详解】设 z ,所以复数 所对应的点 位于第二象限故选： B【
2、点睛】解决此类问题的关键是合理正确的运用复数的运算法则以及有关复数的运算性质，并且灵活运用复数的运算技巧3.“ ”是“ ”的（ ）- 2 -A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 得 ， ，故“ ”是“”的必要不充分条件，故选 B.4.在平面直角坐标系中，已知向量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列方程求解即可.【详解】向量 .若 ，则有： .解得 .故选 C.【点睛】本题主要考查了两向量平行的坐标表示，属于基础题.5.设 m，n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，
3、给出下列命题，正确的是（ ） A. 若 ， ，则B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ， ，则【答案】B【解析】试题分析：对于 A 选项，可能 m 与 相交或平行，对于选项 B，由于 ，则在 内一定有一直线设为 与 平行，又 ，则 ，又 ，根据面面垂直的判定定理，可知 ，故 B 选项正确，对于 C 选项，可能有 ，对于 D 选项，可能 与 相交.考点：线面间的位置关系6.设 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 A. B. C. 1 D. 3- 3 -【答案】D【解析】【分析】由函数为奇函数可得 ，进而代入解析式求解即可 .【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 .又当 时，
4、 ，所以 .所以 .故选 D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性应用，属于基础题.7.在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 的值等于（ ）A. -2019 B. -2018 C. 2018 D. 2019【答案】A【解析】【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，将通项公式代入条件可解得 ，再由前 n 项和的通项公式求解 即可.【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 .则 .解得 .所以 .故选 A.【点睛】本题主要考查了数列的前 n 项和的通项公式，属于公式应用题，运算是关键.- 4 -8.在 中， 的平分线交 于 ， ,则 的长为（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案
5、】D【解析】【分析】过点 D 作 分别交 AB、AC 于 E、F，可得平行四边形 AFDE 为菱形，所以 ，由三点共线的向量形式可得 ，进而由 的长可得 ，进而得 AC.【详解】如图所示，过点 D 作 分别交 AB、AC 于 E、F.由 ，且 B,C,D 三点共线，所以 ，解得 .由图可知： ，所以 ， .又 为 的平分线，所以平行四边形 AFDE 为菱形，所以 .，所以 ，所以 .故选 D.【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法： 三点共线 ； 为平面上任一点， 三点共线 ，且 .9.正项等比数列 中，存在两项 使得 ，且 ，则 的最小值是( )A. B. 2 C. D. 【答案
6、】A【解析】试题分析：由 得 解得 ，再由 得 ，所以- 5 -，所以 .考点：数列与基本不等式.【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元 ，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出 ，由此化简第一个条件 ，可得到 ；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.10.已知函数 , 则函数 的图象（ ）A. 最小正周期为 T=2 B. 关于点直线 对称C. 关于直线 对称 D. 在区间上 为减函数【答案】C【解析】【详解】函数.可知函数的最小正周期为 ；，为
7、函数的最大值，所以直线 为函数的对称轴.故选 C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，用到了两角和的余弦展开及二倍角公式，以及正弦型三角函数的性质，属于基础题.11.在矩形 中， ，沿 将矩形 折叠，其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶点 形成三棱锥 ，则其侧视图的面积为（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】12.已知函数 若当方程 有四个不等实根 ， ， ， （）时，不等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，所以 ，由此画出函数 的图象如下图所示，由于 ，故 .且 .所以 ，由 分离参数得 ，令 ，则上式化
8、为 ，即，此方程有实数根，判别式大于或等于零，即 ，解得，所以 ，故选 B.- 7 -考点：分段函数与不等式.【思路点晴】本题考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一步是根据题意求完整的解析式，由于第二段函数是用对应法则来表示，注意到当 时，所以 ，由此求得函数的表达式并画出图象，根据图象的对称性可知 ，且 .第二步用分离常数的方法，分离常数 ，然后利用求值域的方法求得 的最小值.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.若 ，则 _ .【答案】1【解析】【分析】由 计算求解即可 .【详解】由 .解得 或-2（舍）故答案为：1.【点睛】本题主要考查了定积分的
9、计算，属于基础题.14.如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F 分别为各边的中点， G， H， I， J 分别为AF， AD， BE、 DE 的中点 将 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后， GH 与 IJ 所成角的度数为_- 8 -【答案】 【解析】【分析】将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后，则 IJ侧棱，故 GH 与 IJ 所成角与侧棱与 GH 所成的角相等 AD 为折成三棱锥的侧棱，则 GH 与 IJ 所成角的度数为 60【详解】将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后，I、 J 分别为 BE、 DE 的中点，则 IJ侧棱，故 GH 与 IJ
10、所成角与侧棱与 GH 所成的角相等；AD 为折成三棱锥的侧棱，因为 AHG60，故 GH 与 IJ 所成角的度数为 60，故答案为：60【点睛】本题主要考查异面直线的角度及余弦值计算解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用15.在 中， ， ，则 在 方向上的投影是_【答案】【解析】ABC 中， ， ， ， ；- 9 -又 AB=3，AC=4， 在 方向上的投影是-4；如图所示故选：C点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目.16.用 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有1，3，9， ，10 的因数有
11、 1，2，5，10， ，那么_【答案】【解析】【分析】根据题中对 g（ n）的定义，判断出 g（ n） g（2 n） ，且若 n 为奇数则 g（ n） n，利用等差数列的前 n 项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前 n 项和公式求出 g（1）+ g（2）+g（3）+ g（2 n1） ，令 n2 20181 求出 g（1）+ g（2）+ g（3）+ g（2 20181） 【详解】由 g（ n）的定义易知 g（ n） g（2 n） ，且若 n 为奇数则 g（ n） n，令 f（ n） g（1）+ g（2）+ g（3）+ g（2 n1） ，则 f（ n+1） g（1）+ g（2）+ g（3）+ g
12、（2 n+11）1+3+（2 n+11）+ g（2）+ g（4）+g（2 n+12）g（1）+ g（2）+ g（2 n+12）4 n+f（ n） ，即 f（ n+1） f（ n）4 n，分别取 n 为 1，2， n 并累加得 f（ n+1） f（1）4+4 2+4n （4 n1） ，- 10 -又 f（1） g（1）1，所以 f（ n+1） （4 n1）+1，所以 f（ n） g（1）+ g（2）+ g（3）+ g（2 n1） （4 n1 1）+1，令 n2 20181，得：g（1）+ g（2）+ g（3）+ g（2 20181） （4 20181 1）+1 故答案为： 【点睛】本题考查等差数
13、列的前 n 项和公式、等比数列的前 n 项和公式、逐差累加的方法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.数列 的前 项和为 ，满足 ，等比数列 满足 . （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由 ， 时， 即可得 ；（2）先求出 ，由 为等比数列可得 ，从而得 ，再利用等比数列求和公式求解即可.【详解】 （1）由 ，得 ；当 时， ，因为 满足上式，所以 .（2）等比数列 满足 ，所以公比为 ，所以 .- 11 -.所以数列 的
14、前 项和 .【点睛】本题主要考查了利用 求数列的通项公式及等比数列的通项公式和等比数列的前 n项和公式，属于基础题.18.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， M 是棱 的中点，求证： ；求直线 AM 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；（2）在（1）的坐标系中，求出面 AA1B1B 的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求- 12 -【详解】如图，以 B 为原点， BA、 所在直线为 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 0， ， 2， ， 2， ， ， ，
15、即 ， ；轴 面 ， 面 的法向量取 0， ，设直线 AM 与平面 所成角为 ，直线 AM 与平面 所成角的正弦值为 【点睛】本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法19.在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 求角 A 的大小；若 D 为 BC 上一点，且满足 ， ， ，求 a【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用正弦定理将变化为角，再利用两角和的正弦展开化简可得 ，从而得解；- 13 -（2）由条件可得 ，两边平方可得 ，再由余弦定理可得 ，从而
16、可得解.【详解】 （1）由正弦定理， 可得： ，即 ，由 ，可得 .由 为 的内角，所以 .（2）由 ，可得 .将上式平方可得： .解得 .由余弦定理可得 .所以 .【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理求解三角形，涉及到了向量基本运算，属于中档题.20.等差数列 的前 n 项和为 ， ，且 成等比数列， 求数列 的通项公式； 令 ，数列 的前 n 项和为 ，若对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围【答案】 （） （） 或【解析】【分析】（）通过设等差数列 an的公差为 d，并用首项和公差 d 表示其他项，通过联立方程组计算即得结论；（）通过（ I） ，裂项可知 bn的通项公式，进而并项相
17、加即得结论【详解】解： 设等差数列 的公差为 d，由 ，得- 14 -即 ，解得： ，或 ，当 ， 时， 没有意义， ，此时 由 可知 ，.，为满足题意，必须 ， 或【点睛】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知函数 .（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；（2）若函数 在定义域上为单调增函数.求 最大整数值； 证明： .【答案】 （1） ；（2）2；见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为 ，再根据点斜式求切线方程（2）- 15 -先转化条件为 恒成立，再根据 ，得当 时， 恒成立.最后举反例说明
18、当 时， 不恒成立.对应要证不等式，在 中取 ，得 ，再根据等比数列求和公式得左边和为 ，显然 .试题解析：（1）当 时， ， ，又 ， ，则所求切线方程为 ，即 .（2）由题意知， ，若函数 在定义域上为单调增函数，则 恒成立.先证明 .设 ，则 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 .同理可证 ， , .当 时， 恒成立.当 时， ，即 不恒成立. 综上所述， 的最大整数值为 2. 由知， ，令 ， ， .由此可知，当 时， .当 时， ，当 时， ， ，当 时， .累加得 .- 16 -又 ， .22.已知函数 （）当 a=1 时，求不等式 的解集；（）若 的解集包含 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）当 a=1 时，不等式 可化为 ，然后再进行分段，即可求出不等式的解集；（2） 的解集包含 ，不等式可化为 ，解得，由已知得 ，据此即可求出结果试题解析：（1）当 a=1 时，不等式 可化为 ，当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；当 时，不等式为 ，解得 ，故 综上，原不等式的解集为 （2） 的解集包含 ，不等式可化为 ，解得 ，由已知得，解得 ，所以 a 的取值范围是 考点：1绝对值不等式的解法；2集合的包含关系- 17 -
