1、- 1 -2018-2019 学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若全集 U=1，2，3，4且 UA=2，3，则集合 A 的真子集共有（ ）A. 3 个 B. 5 个 C. 7 个 D. 8 个【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定集合 A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.【详解】由题意可得： ，则集合 A 的真子集共有 个.本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若函数 y=f（ln x）的定义域为e，e 2，则函数 y=f（e x
2、）的定义域为A. 0，ln2 B. 0，2C. 1，2 D. e，e 2【答案】A【解析】【分析】由已知函数的定义域求得 的定义域，再由 在 的定义域内求得 的范围可得结果.【详解】由函数 y=f（ln x）的定义域为e，e 2，得 e xe 2，从而 lnx1，2由 1e x2，得 0 xln2函数 y=f（e x）的定义域为0，ln2,故选 A【点睛】本题考查抽象函数的定义域及其求法，是基础题. 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出；已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 时的值域.3.函数 f（ x）=（ ） |x|+1的值域是（ ）- 2 -A. B. C. D
3、. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合绝对值的性质和指数函数的性质求解函数的值域即可.【详解】由题意可得： ，结合指数函数 的性质可得：的值域为 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查绝对值函数的性质，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列函数与 y=x 是相同函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合选项确定所给的函数是否是相同函数即可.【详解】逐一考查所给的函数：A. ，对应法则不同，不是同一个函数；B. 定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一个函数；C. ，且定义域相同，是同一个函数；D. 定义域为 ，与 的定义域不同，
4、不是同一个函数；本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查函数相等的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若方程 lnx+3x-10=0 的解为 x0，则不等式 x x0的最大整数解是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B- 3 -【解析】【分析】由题意结合函数的单调性和函数在区间端点的函数值确定不等式 x x0的最大整数解即可.【详解】易知函数 是定义域内的单调递增函数，且 ， ，据此可得 ，据此可知不等式 x x0的最大整数解是 2.本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
5、力.6.下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性即可.【详解】逐一考查所给的函数：A. 函数的定义域为 R，且 ，函数为偶函数；B. 函数的定义域为 R，且 ，函数为奇函数；C. 函数的定义域为 R，且 ，函数为奇函数；D. ，函数的定义域为 R，且 ，且 ，函数为非奇非偶函数.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定及其应用，意在考查学生的转化能力和知识理解应- 4 -用能力.7.若 a= -0.3， b=0.3- ， c=log 0.3，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答
6、案】C【解析】【分析】由题意结合对数函数的性质和指数函数的性质比较所给的数的大小即可.【详解】由指数函数的性质可知： ，由对数函数的性质可知： ，则 .本题选择 C 选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介） ，分别与要比较的数比较，
7、从而可间接地比较出要比较的数的大小8.函数 f（ x）= ax2+bx+a-2b 是定义在 a-3，2 a上的偶函数，则 f（ a）+ f（ b）=（ ）A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数 a， b 的值，然后求解 f（ a）+ f（ b）的值即可.【详解】偶函数的定义域关于坐标原点对称，则 ，据此可得 ，即 ，偶函数的对称轴为 ，故 ，据此可得 ， ， .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.- 5 -9.函数 f（ x）=ln x2图象是（ ）A. B. C. D. 【
8、答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，故选项 CD 错误；由复合函数的单调性法则可知函数 在区间 是增函数，选项 A 错误.本题选择 B 选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项10.已知函数 f（ x）= 在（-，+）上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A. B. C.
9、 D. 【答案】C【解析】- 6 -【分析】由题意分段考查函数的单调性，然后考查 处的函数值即可确定实数 a 的取值范围.【详解】函数 是增函数，则： ，函数在区间 上单调递增，则 ，解得 ，且当 时， ，即 ，解得： ，综上可得，实数 a 的取值范围为 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，由函数的单调性求解参数的取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（-1）=0，且 f（ x）在（0，+）上单调递减，则不等式 0 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的性
10、质零点分段列表讨论不等式的解集即可.【详解】由题意可知函数 的近似的函数图象如图所示：由奇函数的性质可知不等式 0 即 ，- 7 -不等式等价于 ，列表讨论不等式的符号如下：据此可得， 0 的解集为 .本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知 x1、 x2分别是函数 f（ x）= ex+x-4、 g（ x）=ln x+x-4 的零点，则 的值为（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的对称性和函数图像确定 的值即可.【详解】绘制函数 的图像如图所示，由题意可
11、知 的值分别为图中点 点的横坐标，则 的值分别为图中点 点的纵坐标，注意到反函数的图像关于直线 对称，设直线 与 的交点为 ，易知 ，结合对称性可知 .本题选择 D 选项.- 8 -【点睛】本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数 f（ x）= ，则 _【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由题意结合函数的解析式可知： ，- 9 -则 .【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f
12、(a)的形式时，应从内到外依次求值14.已知函数 f（ x）=|2 x-e|-a 在 R 上有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将原问题转化为函数图像有两个交点的问题求解实数 a 的取值范围即可.【详解】由题意可知，函数 f（ x）=|2 x-e|-a 在 R 上有两个不同的零点即：函数 y=|2x-e|与函数 y=a 有两个不同的交点，绘制函数图像如图所示，观察可得：实数 a 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查函数图像的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，有 f
13、（ x）= ，则 f（ x）在 R 上的解析式为 f（ x）=_- 10 -【答案】【解析】【详解】 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，有 f（ x）= ，当 x=0 时， f（ x）=0，当 x0 时， ，即 ， f（ x）在 R 上的解析式为： f（ x）= 【点睛】本题主要考查奇函数的性质，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数 f（ x）=log 2（ x+ ） ，则 fln（lg2）+ fln（log 210）=_【答案】【解析】【分析】由题意结合真数的性质和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】设 m=ln（ lg2
14、） ，则 ln（ log210）=- m，f（ m）+ f（- m） =log28=3故答案为：3【点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.化简求值：（1） +（1.5） -2- 11 -（2） （lg5） 2+lg2lg50+log54log85eln3【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)由题意结合指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果；(2)由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】 （1）原式= -1- + = + = （2）原式=（ lg5） 2+lg
15、2（ lg5+1）+ 3=lg5（ lg5+lg2）+ lg2+2=lg5+lg2+2=3【点睛】本题主要考查指数的运算法则、对数的运算法则 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知全集 U=R，集合 A=x| ex e， B=x|-1log 2x3， C=x|a-4 x2 a-7（1）求（ UA） B；（2）若 A C=C，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)首先确定集合 A,B，然后进行集合的混合运算即可；(2)由题意分类讨论集合 C 是否为空集求解实数 a 的取值范围即可.【详解】 （1） ； UA=x|x-1，或 x1；（ UA）
16、B=x|1 x8；（2） A C=C； CA； C=时， a-42 a-7； a3； C时， ；3 a4；- 12 -综上，实数 a 的取值范围为（-，4） 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费已知该公司共有移动用户 10 万人，人均月消费 50 元经测算，若人均月消费下降 x%，则用户人数会增加 万人（1）若要保证该公司月总收入不减少，试求 x 的取值范围；（2）为了布局“5 G 网络” ，该公司拟定投入资金进行 5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户
17、月消费中固定划出 2 元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求 x 的值（总盈利资金=总收入资金-总投入资金）【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)由题意结合数量关系得到关于 x 的不等式，求解不等式即可确定 x 的取值范围；(2)由题意得到关于 x 的函数，结合函数的解析式讨论函数的最值即可.【详解】 （1）根据题意，设该公司的总收入为 W 万元，则 W=50（10+ ） （1- ） ，0 x100，若该公司月总收入不减少，则有 50（10+ ） （1- ）1050，解可得：0 x20；（2）设该公司盈利为 y 万元，则 y=50（10+ ） （1- ）-2（10+ ）=
18、- +x+480，0 x100，结合二次函数的性质分析可得：当 x=8 时，该公司的总盈利最大【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其应用，等价转化的数学思想，实际问题与数学建模的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知二次函数 f（ x）= ax2+bx+c，满足 f（1+ x）= f（1- x） ，且不等式 f（ x）2 x 的解集为（1，3） （1）求函数 f（ x）的解析式；（2）已知关于 x 的方程 f（ x）= tx-t+4 有两个实数根 x1、 x2，且 x10、 x22，求实数 t 的- 13 -取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)由题
19、意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；(2)由题意得到关于实数 t 的不等式组，求解不等式组即可确定实数 t 的取值范围.【详解】 （1）由 f（1+ x）= f（1- x）知： f（ x）关于 x=1 对称，故- =1，即 b=-2a，又 f（ x）2 x 的解集是（1，3） ，即 ax2-（2 a+2） x+c=0 的两根是 1，3，即 ，解得： ，故 f（ x）= x2-2x+3；（2） x2-2x+3=tx-t+4，即 x2-（2+ t） x+t-1=0 的实根 x10， x22，故 ，解得：-1 t1【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函
20、数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于 f(x)与 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)21.已知函数 f（ x）= ，设 F（ x）= f（ x）+ a（1）已知 F（ x）是定义在 R 上的奇函数，试求实数 a 的值并判断 F（ x）的单调性（需写出具体的判断过程） ；（2）若 f（ k3x）+ f（3 x-9x-2）2 f（0）对任意 x R 恒成立，试求实数 k 的取值范围- 14 -【答案】 （1） ，
21、上递减；（2） .【解析】【分析】(1)由题意首先确定实数 a 的值，然后结合函数的解析式确定函数的单调性即可；(2)结合函数的解析式分离参数，求解分离参数后函数的最值即可确定实数 k 的取值范围.【详解】 （1） F（ x）= f（ x）+ a=a+ 为定义域 R 上的奇函数，可得 F（0）=0，即 a+ =0，即 a=- ；即有 F（ x）=- + 在 R 上递减，理由：由 t=2x+1 在 R 上递增， F（ x）= - 在 t1 上递减，可得 F（ x）在 R 上递减；（2）由 f（0）= ， f（ k3x）+ f（3 x-9x-2）2 f（0）对任意 x R 恒成立，可得 f（ k3
22、x）- +f（3 x-9x-2）- 0，即为 F（ k3x）+ F（3 x-9x-2）0，即有 F（ k3x）- F（3 x-9x-2）= F（2+9 x-3x） ，可得 k3x2+9 x-3x恒成立，即有 k3 x+ -1，由 3x+ -12 -1=2 -1，当且仅当 3x= ，即 x=log3 时，上式取得最小值，可得 k2 -1【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“ f”，转化为解不等式(组)或最值的问题.22.已知函数 f（ x）=ln（ ex+1）+ kx 是偶函数（1）求实数 k 的值；- 15 -（2）若关于 x 的
23、不等式 5ef（ x） e 2（log 2 ）log 2（2 t）在 x-1，0时有解，试求实数 t 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)由题意结合偶函数满足 f（- x）= f（ x）确定实数 k 的值即可；(2)结合(1)中函数的解析式和函数的单调性得到关于实数 t 的不等式，求解不等式就可确定实数 t 的取值范围.【详解】 （1）函数 f（ x）= ln（ ex+1）+ kx 是偶函数， f（- x）= f（ x） ，即 ln（ ex+1）+ kx-ln（ e-x+1）- kx=0，即 ln =-2kx，化简得 x=-2kx，解得： k=- ；（2）5 ef（ x） e 2（ log2 ） log2（2 t） ，等价于 5（ ex+1）2（ log2 ） log2（2 t） ，5（ ex+1）递增，5（ ex+1）10，故 5（ log2 ） log2（2 t） ，解得：-2 log2t4，故 t16【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.- 16 -
