1、- 1 -2018-2019 学年辽宁省大连八中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.复数 A. 10 B. C. 10i D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算展开得到表达式，即可得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到： .故答案为：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, ,则 ,故选 B.考
2、点：本题主要考查集合的交集与补集运算.3.已知向量 ， ， ，则 A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意求出 ，利用 （ ） ，得到 121（1+ m） ，求出 m 即可【详解】向量 （1，1） ， （3， m） ， （2，1+ m） ，- 2 - （ ） ，121（1+ m） ， m3故选： C【点睛】本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力4.已知某几何体的三视图如图所示 俯视图中曲线为四分之一圆弧 ，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可
3、得到答案.【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为 ，底面周长为 ，柱体的高为 1，所以该柱体的表面积为 .【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积- 3 -公式求解.5.函数 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】研究函数的性质，根据性质作出判断.【详解】
4、，即函数为奇函数，图像关于原点对称。排除 B,当则 排除 C,D.故选 A.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图像，解题的关键是研究函数的性质.6.设 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 A. 8 B. 7 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域，由 z x+2y，得 y ，平移直线 y ，由图象可知当直线 y 经过点 B 时，直线 y 的截距最大，此时 z 最大由 ，得 ，即 B（3，2） ，- 4 -此时 z 的最大值为 z3+227，故选 B【点睛】本题主要考查线
5、性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法7.在长方体中 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在长方体 中，连接 ，可得 ,得即 为异面直线 与 所成的角，在 中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体 中，连接 ，可得 ,所以异面直线 与 所成的角，即为直线 与直线 所成的角，即 为异面直线 与 所成的角，在长方体 中，设 ，则 ，在 中，由余弦定理得 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到 为异面直线 与 所成的角，在 中利用余弦定理即可求解是解答的关键，- 5 -着
6、重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.8.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中” ；乙说:“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】乙、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，
7、矛盾；乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯9.如图所示，已知四棱锥 的高为 3，底面 ABCD 为正方形， 且，则四棱锥 外接球的半径为 A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由已知，四棱锥 为正四棱锥，外接球的球心 在四棱锥的高 上，根据已知条件，求出 ，在 中即可求出外接球半径.【详解】由已知，四棱锥 为正四棱锥，设外接球半径为连接 、 交于点 ，连接 ，外接球的球心 在高 上，连接 ，则- 6 -四棱锥 的高为 ， ，即， ，又 为直角三角形，即 ，解得 .故选 B.【点睛】本题考查棱锥外接球的计算，考查正四棱锥的特征，考查推
8、理能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想.10.利用反证法证明：“若 ，则 ”时，假设为A. ， 都不为 0 B. 且 ， 都不为 0C. 且 ， 不都为 0 D. ， 不都为 0【答案】D【解析】原命题的结论是 都为零，反证时，假设为 不都为零.11.若两个正实数 满足 ,且 恒成立,则实数 的取值范围是A. B. C. (-4,2) D. (-2,4)【答案】D【解析】x2 y( x2 y) 2 28，当且仅当 ，即 4y2 x2时等号成立 x2 y m22 m 恒成立，则 m22 m8， m22 m80，解得4 m2，故选 D.12.设等差数列 的前 n 项和为 ，且满足
9、， ，则 ， ， ， ， 中最大项为 - 7 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 S190，S 200，所以 ，且所以，所以，当 时，所以， 中最大项为 ，故选 C考点：等差数列二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13.求经过圆 的圆心，且与直线 平行的直线的一般式方程为_【答案】【解析】【分析】由圆的方程求得圆心坐标，根据题意设所求直线为 ，代入圆心坐标，即可求解.【详解】由圆的方程 ，可得圆心坐标 ，又因为所求直线与直线 平行，可设所求直线为 ，代入圆心坐标，可得 ，解的 ，即所求直线的方程为 .【点睛】本题主要考查了直线的位置关系的应用，以及圆的标准
10、方程的应用，其中解答中根据两直线的位置关系，合理设出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.给出下列命题：- 8 -命题 1：点 是直线 与双曲线 的一个交点；命题 2：点 是直线 与双曲线 的一个交点；命题 3：点 是直线 与双曲线 的一个交点；观察上面命题，猜想出命题 是正整数 为：_【答案】点 ） 是直线 y=nx 与双曲线 的一个交点【解析】解：由题意命题 1：点(1,1)是直线 y = x 与双曲线 y = 的一个交点;命题 2：点(2,4)是直线 y = 2x 与双曲线 y = 的一个交点;命题 3：点(3,9)是直线 y = 3x 与双曲线 y = 的一个交点;则归纳猜
11、想可知，结论为 是直线 y=nx 与双曲线 的一个交点15.已知 中， ， ， ，则 面积为_【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得 sin（AB）=0，结合 A，B 的范围，可求AB，进而求得AB=0，可得 a=b=1，利用余弦定理可求 cosA，同角三角函数基本关系式可求 sinA，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】acosB=bcosA，由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（AB）=0，0A，0B，可得：AB，AB=0，可得：a=b=1，cosA= = = ，可得：sinA= ，S ABC = bcsinA= = - 9 -故答案为： 【点睛】本题主
12、要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题16.若 ， ， ，且 ， ，则的值为_【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得 的值，然后求解三角函数值即可.【详解】 ，(2 )32sincos 2 =0，即(2 )3+sin(2 )2 =0.由 可得 .故2 和 是方程 x3+sinx2 =0 的两个实数解.再由 ， ， ，所以 和 的范围都是 ，由于函数 x3+sinx 在 上单调递增，故方程 x3+sinx2 =0 在 上只有一个解，所以， ， ，则 的值为 .【点睛】本题
13、主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知函数 的最小正周期为 - 10 -求 的值；中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ， ， 面积 ，求b【答案】(1) (2)3【解析】【分析】（1）化简 ，根据函数的最小正周期 即可求出 的值2）由（1）知， .由 ，求得 ，再根据 的面积，解得 ，最后由余弦定理可求出 .【详解】 （1） 故函数的最小正周期 ，解得 . （2）由（1）知， .由 ，得 （ ）.所以（ ）.又 ，所以 . 的面积，解得 .由余弦定理可得 ，所以
14、.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题18.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4，且点 在椭圆 C 上求椭圆 C 的方程；若点 P 在第二象限， ，求 的面积【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）已知椭圆的焦点在 轴上且长轴为 ，则椭圆方程可设为 ，再利用- 11 -点 在椭圆上可求得 ，从而得椭圆方程；（2）由（1）求得 及 ，在 中，由余弦定理可得 ，然后代入三角形面积公式可得 面积试题解析：（1）因为 的焦点在 轴上且长轴为 ，故可设椭圆 的方程为 （
15、 ） ，因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ， 所以，椭圆 的方程为 （2）由（1）知， ， ，在 中，由余弦定理可得：，即 ， ，则. 19.如图，四棱锥 中，平面 底面 ABCD， 是等边三角形，底面 ABCD 为梯形，且 ， ， 证明： ； 求 A 到平面 PBD 的距离【答案】 （）见解析；（） .【解析】【分析】（1）由余弦定理得 ，从而 BDAB，由 ABDC，得 BDDC从而 BD平面 PDC，由此能证明 BDPC（2）设 A 到平面 PBD 的距离为 h取 DC 中点 Q，连结 PQ，由 VA-PBD=VP-ABD，能求出 A 到平面- 12 -PBD 的距离【详解】 （1）由余
16、弦定理得 ， ， ， .又平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ， 平面 ，又 平面 ， .（2）设 到平面 的距离为取 中点 ，连结 , 是等边三角形， .又平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ， 底面 ，且 ，由（）知 平面 ，又 平面 ， . ，即 2 1 .解得 .【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.已知等差数列 的公差为 2，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和 ，求使 成立的最大正整数 的值.【答案】 ， ；【解析】【分析】-
17、13 -（1）利用 得到 ，解出 可得通项公式（2）利用裂项相消法求 后解不等式 可得最大正整数 的值【详解】 （1）由题意知， ，即 ，解得 ，故 ， （2）由 ，得 ，由 ，解得 故所求的最大正整数 为 5【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21.己知二次函数 满足 ，且 求函数 的解析式令 ，若函数 在区间 上不是单调函数，求实数 m 的取值范围求函数 在区间 的最小值【答案】 （1）f
18、(x)x 22x15.（2）m0 或 m2. 见解析【解析】【分析】（1）据二次函数的形式设出 f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得（2）函数 g（x）的图象是开口朝上，且以 x=m 为对称轴的抛物线，若函数 g（x）在 x0，2上是单调函数，则 m0，或 m2；分当 m0 时，当 0m2 时，当 m2 时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案【详解】由已知令 ；（1）- 14 -又.（2） = 其对称轴为在 上不单调， ， .当 ，即 时，当 ，即 时，当 ，即 时， , 综上， .【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性
19、质，是解答的关键22.设公差不为 0 的等差数列 的首项为 1，且 ， ， 构成等比数列求数列 的通项公式，并求数列 的前 n 项和为 ；令 ，若 对 恒成立，求实数 t 的取值范围【答案】 （1） , (2) 【解析】【分析】（1）利用等差数列的首项 和公差 ,代入 ，求出 ，进而求出 ； 可看成是一个等差数列和一个等比数列的乘积，故可用错位相减法求和 .（2）通过分奇偶讨论求出 ，再利用参变分离求 的范围.【详解】 （）设等差数列 的公差为 ，首项 ，由题意 ，- 15 -则 ,解得 .则 . ， ， - 得，. (2) , 当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，综上所述，【点睛】错位相减法是求数列前 项和的一种基本方法，解题过程计算比较繁琐，特别要注意解题中符号的变化以及相减后消去哪些项，保留哪些项.处理数列与不等式相结合的恒成立问题，其方法与函数中恒成立问题相同，但是一定要注意数列中变量 的取值的特殊性.- 16 -
