1、12019 届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答
2、 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知 是虚数单位，复数 是实数，则实数 = (1+)(+) A0 B C D12 12已知 ，集合 ， ，若 ，则 =, =2,7 =, =1 A1 B7 C2 D83已知 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，则() () 0,+)A B(0)(32)(23) (23)(32)(0)C D(0)(23)(32) (32)(0)(23)4若等比数列 的前
3、 项和为 ，且 ， ，则 3=141=2 4=A16 B C16 或 D 或 5454 54 165若 a、 b 表示直线， 表示平面，则以下命题为正确命题的个数是若 ，则 ； 若 ，则 ；/, / /,/若 ，则 ； 若 ，则 ；/,/ /, /A0 B1 C2 D36已知变量 满足约束条件 ，若 的取值集合为 M，则, +1 =2+3A B C D3 5 17 147椭圆 的焦点为 ， P 为椭圆上一点，若 ，则 的面积是225+216=1 1,2 12=60 12A B C D1633 3233 163 3238已知底面半径为 1，高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，则此球
4、的表面积3为A B C D32327 12 4 1639已知曲线 关于直线 对称，则 的最小值为=(+3) (0) = A B C D23 12 13 1610已知点 P(1，2)和圆 C： ，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的2+2+2+2=0取值范围是A B CR D( ， 233) (233 ， 233) (233 ， 0)11设椭圆 与直线 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，若 是直角22+22=1(0) =2 三角形，则椭圆的离心率为A B C D63 33 12 2212已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是()= 4,A B C D12,
5、14 (14,12) 14,12) 12,12)二、填空题13已知两个单位向量 的夹角为 ，则 的值为_, 120|2|14已知 ，则 _.(4)=35 (+4)=15一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是_16设 ， b0，则 的最小值为_.+2=412|+|三、解答题17数列 的前 项和为 n=322+2,()（I）求数列 的通项公式； 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2（II）求数列 的前 项和 +12 18已知 ， ()=32+ （1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；()（2）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，且 面积为 ， , ,(2
6、6)=3 =2 23求 19如图， AB 为圆 O 的直径，点 E、 F 在圆 O 上， AB EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在平/面垂直，已知 AB2， EF1（I）求证：平面 DAF平面 CBF；（II）若 BC1，求四棱锥 F ABCD 的体积20已知椭圆 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 AF 与直线:22+22=1(0)垂直，垂足为 B，且点 A 是线段 BF 的中点 .+32=0（I）求椭圆 C 的方程；（II）若 M，N 分别为椭圆 C 的左，右顶点，P 是椭圆 C 上位于第一象限的一点，直线 MP 与直线 交于点 Q，且 ,求点 P 的坐标.=4 =921已知函数
7、 ， .()=+ （1）讨论函数 的单调性；()（2）当 时，证明 .0()2122选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点， =1+ 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I）求圆 的普通方程及其极坐标方程；（II）设直线 的极坐标方程为 ，射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交(+3)=2 :=6 点为 Q，求线段 PQ 的长.23选修 4-5：不等式选讲已知不等式 的解集为 M.|2+3|+|21|22=33320数在 单调递减，故 .所以选 A.0,+) (0)(32)(23)【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查
8、函数的单调性，以及对数比较大小等知识，属于中档题.考查奇偶性方面，若函数为奇函数，则满足 ，若函数为偶函数，则满足 .奇()=() ()=()函数在 轴两侧的单调性相同，偶函数在 轴两侧的单调性相反. 4C【解析】【分析】将 用 来表示，求得 的值，进而求得 的值.3 1, 4【详解】由于数列是等比数列，所以有 ，解得 或 ，当3=1(13)1 =2(13)1 =14 =3 =2时， ；当 时， .故选 C.=3 4=13=2(3)3=54 =2 4=13=223=16【点睛】本小题考查利用基本元的思想求解等比数列的公比，考查等比数列的通项公式及前 项和公式.要注意有两个解，属于基础题.5A【
9、解析】【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，对四个命题逐一进行判断，由此得出正确的选项.【详解】对于，直线 可能在平面 内，故错误.对于， 两条直线可以相交，故错误 .对于，直 ,线 可能在平面 内，故错误. 对于， 两条直线可以异面 .故没有正确的命题，所以选 A. ,【点睛】本小题主要考查空间直线和直线平行、直线和平面平行的位置关系的判断.可以举出反例，证明命题是错误命题.属于基础题.6D【解析】【分析】画出可行域，通过平移直线 ，求得 的取值范围，由此判断正确选项.2+3=0 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 处取得最大值为 ，在点 处取(1,5) 17 (1,1)
10、得最小值为 .但是由于三条不等式都是没有等号的，故 ，故 ，选 D.5 (5,17) 14【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的取值范围.画出可行域后，可将目标函数 对=3+2应的基准直线 平移到可行域边界的位置，注意是纵截距的边界位置，由此求得最大值或2+3=0者最小值.要注意的是，如果对应的不等式没有等号，则可行域的边界为虚线，不能取到边界值.7A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为 ，直接代入公式可求得面积.=22【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为 ，故所求面积为 ，故选 A.=22 1630=1633【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为
11、，将题目所=22给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8D【解析】【分析】画出圆锥的轴截面对应的三角形 ，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，故球心为三角形 的外心，球的半径为三角形 外接圆半径 .通过正弦定理求得三角形 外接圆半 径，进而求得球的表面积.【详解】画出圆锥的轴截面对应的三角形 如下图所示，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，故球心为三角形 的外心，球的半径为三角形 外接圆半径.依题意 ， =3,=1所以 ,即三角形 为等边三角形，内角为 ，由正弦定理得=2 3，故球的表面积为 .故选 D.2=23,=23 42=443=163【点睛】本小题主要考查求解几何
12、体外接球的表面积.此类问题的关键在于找到球心的位置.本题是通过对圆锥轴截面三角形的分析得到球心的位置.属于中档题.9D【解析】【分析】三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即 ，对选项逐一排()=(+3)=1除，可得到正确选项.【详解】由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即 ，显然，当()=(+3)=1时， 符合题意，其它选项不符合 .故选 D.=16 (6+3)=2=1【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值.属于基础题.10B【解析】【分析】二元二次方程是圆的方程，要满足 .由于过 可以做圆的两条切线，故 点在圆2+240 外.将
13、 点的坐标代入圆的方程，变为关于 的一元二次不等式，解这个不等式可求得 的取值范围. 【详解】由于过 可以做圆的两条切线，故 点在圆外.将 点的坐标代入圆的方程得， ，即 ，由于其判别式为负数，故恒成立. 另外二元二次方程是1+4+4+20 2+90圆的方程，要满足 ，即 ，即 ，解得 .故选 B.2+240 2+2242020圆的位置关系，可将点的坐标代入圆的方程，根据所得的结果来进行判断.11A【解析】【分析】根据椭圆的对称性可知， ，由此可求得 两点的坐标，将坐标代入椭圆的=4 ,方程，化简后可求得椭圆的离心率.【详解】根据椭圆的对称性可知， ，故 点的坐标为 ，代入椭圆方程得=4 (2
14、,2)，故椭圆离心率为 .故选 A.14+242=1,22=3 =1()2=113=63【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的对称性.椭圆是中心对称图形和轴对称图形.要求椭圆的离心率只需要得到 或者 的一个方程，化简后可以得到离心率.这个属于方程的思想，, ,是三个参数，而椭圆中 是固定的，所以再加上一个条件，就可以求得任意两个参数, 2=2+2的比值，也可以求得离心率.12C【解析】【分析】令 ，得到 ，令 ，利用导数求得函数在区间 上的单调区间，求得最()=0=2 ()=2 14,值和端点的函数值，由此求得 的取值范围.【详解】函数的定义域为 ，令 ，得到 ，令 ， ，当(0,
15、+) ()=0=2 ()=2 ()=123时， ，即在 上单调递增. 当 时， ，即在 上单调递减.14,12 ()0 14,12 12, ()0 0.当 时，代入12|+|=+28| +|=18+4|+|18+2 4|=98 0,00)由（I）易得顶点 M、 N 的坐标为 (2,0),(2,0)直线 MP 的方程是： = 00+2(+2)由 得： = 00+2(+2)=4 (4,600+2)又点 P 在椭圆上，故024+022=1 02=2022=(0+2,0)(2,600+2)=2(0+2)+6020+2=02+80+200+2 =9 或 （舍） 0=1 2 0=62,(00)点 P 的坐
16、标为(1,62)【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.21(1)见解析.(2)证明见解析.【解析】【试题分析】（1）先求函数的定义域，然后求导通分，对 分成两类，讨论函数的单调区间.（2）结合（1）的结论，将原不等式转化为 ，构造函数 ，利用导+110 ()=+11数求得 的最小值为 ，由此证得原不等式成立.() 0【试题解析】（1）函数 的定义域为 ，且 .() (0,+)(
17、)=12=2当 时， ， 在 上单调递增；0 ()0 ()(0,+)当 时，若 时，则 ，函数 在 上单调递增；若 时，则0 ()0 ()(,+) 00 ()=()=+1要证 ，只需证 ，()21 +121即只需证+110构造函数 ，则 .()=+11 ()=112=12所以 在 单调递减，在 单调递增.()(0,1) (1,+)所以 .()=(1)=0所以 恒成立，+110所以 . ()21【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查构造函数的思想，考查分类讨论的数学思想.在求导后，一般要进行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考虑，另外要注意在定义域内研究单调性
18、.通过构造函数法证明不等式恒成立问题过程中，要注意变形要是等价变形.22（I）普通方程为： ，极坐标方程为： . 2+(1)2=1 =2（II） |=1【解析】【分析】（I）利用 消去参数，求得圆的普通方程，将 代入，可求2+2=1 =,=得对应的极坐标方程.（II）分别将 代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减，可求得 的=6 长.【详解】（I）圆 的参数方程为 ( 为参数) =1+ 消去参数 得普通方程为： 2+(1)2=1又 =,= ()2+(1)2=1化简得圆 的极坐标方程为： . =2（II）射线 与圆 的交点为:=6 把 代入圆的极坐标方程可得： =6 =26=1又射线 与直线 的交点为 Q:=6 把 代入直线 极坐标方程可得：=6 (6+3)=2 =2线段 PQ 的长 |=|=1【点睛】本小题主要考查极坐标、直角坐标和参数方程相互转化，考查利用极坐标的几何意义来解问题的方法，属于基础题.23（I） .（II）=|22 24 (4,+)【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的解法.属于中档题.
