1、- 1 -湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 ，所以 .故选 A.2.若复数 满足 ，在复数 的虚部为（ ）A. B. 1 C. -1 D. 【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得 ，从而可求出 z 的共轭复数 ，即可得出结果.【详解】由题意可知， ，故 ，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.
2、3.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 展开即可求出结果.- 2 -【详解】 .【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，由已知角表示所求角，即可求出结果，属于基础题型.4.以双曲线 的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知双曲线先求出所求双曲线的顶点坐标 ，再由所求双曲线的渐近线互相垂直，可得 ，从而可得双曲线方程.【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 ，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以 ，则该双曲线的方程为 .【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.5.若 满足约束条
3、件 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，又 表示可行域内一点 与点 连线的斜率，结合图像即可得出结果.【详解】画出可行域，如图所示， 表示可行域内一点 与点 连线的斜率，由图可知，当 ， 时， 取得最大值 3.- 3 -【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需掌握目标函数的几何意义，即可求解，属于基础题型.6.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧） ，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果.【详解】该几何体为一个
4、圆柱体的一半，所以表面积 .【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的表面、体积问题，属于基础题型.7.设 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D- 4 -【解析】【分析】利用对数的运算法则即可得出【详解】 ， ， ， ，则 .故选 D.【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题8.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的 等于A. 4 B. 8C. 16 D. 32【答案】C【解析】初如值 n=11,i=1,i=2,n=13,不满足模 3 余 2.i=4,n=17,
5、 满足模 3 余 2, 不满足模 5 余 1.i=8,n=25, 不满足模 3 余 2,i=16,n=41, 满足模 3 余 2, 满足模 5 余 1.输出 i=16.选 C。9.如图，已知函数 的图象关于坐标原点对称，则函数 的解析式可能是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数 是奇函数，排除 ， ；当 时， 显然大于 0，与图象不符，排除 D，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.10.设 ，把 的图象向左平移 个单位长度后，恰好得到函数的图象，则 的值可以为（
6、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得 ，再利用三角函数的图象与性质，得到，即可求解，得到答案。【详解】由题意，可知 ， ，则 ，即 ，当 时， ，故选 D。【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换的规则，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。- 6 -11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 两点（ 均不与坐标原点重合） ，已知抛物线的焦点 到直线 距离的最大值为 3，则 （ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】【分析
7、】先设直线 的方程为 ， ，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得， ，再由 ，即可求出 ，从而可确定结果.【详解】设直线 的方程为 ， ，把直线方程代入抛物线方程，得，所以 ， .因为 ，所以 ，即，解得 ，所以 ，所以直线恒过点 ，则抛物线的焦点 到直线 距离的最大值为 ，即 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常情况下要先设直线方程与交点坐标，联立直线与曲线方程，结合韦达定理和题中条件，即可得到参数之间关系，属于中档题型.12.若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数 求导，得 ，当 时，由 ，可得 ，从而极值点问题
8、转化为了 与 y=-2m 的交点问题,结合图像即可得出 m 范围；当，由 ，可得 0,可得 m 的范围.【详解】由题可知 ，当 时，令 ，可化为 ，- 7 -令 ，则 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 的图象如图所示，所以当 ，即 时， 有两个不同的解；当 ，令， ，解得 ，综上， .【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结合图像即可得出结果.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ，向量 ，若 ，则向量 与 的夹角为_【答案】 【解析】【分析】由向量的夹角公式可得 ，从而可得
9、夹角.【详解】 ，则向量 的夹角为 .【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.14. 的内角 所对的边分别为 ，已知 ， ，则 的最小值为_【答案】 【解析】【分析】先由正弦定理将 化为 ， ，可求出，再由余弦定理可得 ，即可的 a的最小值.- 8 -【详解】因为 ，所以 ，因为，所以 ，由余弦定理，得，即 .【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，结合基本不等式即可求三角形边的最值.15.某公司安排甲、乙、丙、丁 4 人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有_种【答案】24【解析】【分析】根据特殊问题优先考虑
10、原则，可先安排除甲以外的人去北京，因此分两种情况：一人去北京或两人去北京，即可求出结果.【详解】若安排一人去北京，共有 种；若安排两人去北京，共有 种，总共 24 种.【点睛】本题主要考查排列组合问题，排列组合的常用策略：（1）特殊位置特殊元素优先考虑；（2）相邻问题捆绑策略；（3）不相邻问题插空策略；（4）定序问题倍缩原则；（5）均分问题除法原则；（6）相同元素隔板策略等.属于中档试题.16.已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 ，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】【分析】先设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中
11、点为 ，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为 r,由勾股定理表示出 ，再由 ，即可求出 r，从而可得结果.【详解】设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中点为 ，因为球心到这两个平面的距离相等，则 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为 ， ，- 9 -，又 ， ， ， .这两个圆的半径之和为6.【点睛】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 的前 项和为 ，且 .（1）证明：数列 为等比数列；（2）若 ，求数列 的前 项和 .
12、【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由 可得 ，两式作差整理即可得到，从而可得数列 为等比数列；（2）先由（1）写出 ，从而可得，进而可直接求出数列 的前 项和 .【详解】解：（1）当 时， ，则 .当 时，因为 ，所以 ，则 ，即 .- 10 -从而 ，即 .因为 ，所以 .所以数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列.（2）由（1）可得 ，即 .因为 ，所以 .则 ，故 .【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第 n 项与第 n-1 项之比为非零常数即可;第二问主要考查裂项相消的方法求数列的前 n 项和;属于基础试题.18.在四棱锥 中，底面 是菱形，且
13、， ， ， ，.（1）证明： 平面 .（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】【分析】（1）先连接 ，AC 与 BD 交点为 E,连接 PE，先证直线 平面 ，进而可得 ，再由 ， ，即可得出 平面 ；（2）取 的中点 ，由题意可得 EB、EC、EF 两两垂直，因此以 E 点为坐标原点建立坐标系，分别求出两平面的一个法向量，进而求两法向量夹角余弦值，由题中图形判断二面角时锐角- 11 -还是钝角，即可求出二面角的余弦值.【详解】 （1）证明：连接 ，设 ，连接 .因为底面 是菱形，所以 ， .因为 ， ，所以 .因为 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .因为 ， ，
14、所以 平面 .（2）解：取 的中点 .因为 平面 ，所以 平面 .故以 为原点， 分别为 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .故 ， ， .设平面 的法向量为 .则 ，不妨取 ，则 .设平面 的法向量为 ，则 ，不妨取 ，则 .- 12 -记二面角 的平面角为 ，易知 为锐角，则 .故二面角 的余弦值为 .【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的判定定理，第二问考查空间向量的方法求二面角的余弦值，只需求出两平面的法向量的夹角余弦值，即可结合图像得出结果，属于中档试题.19.某工厂共有男女员工 500 人，现从中抽取 100 位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：每月完成
15、合格产品的件数（单位：百件）频数 10 45 35 6 4男员工人数 7 23 18 1 1（1）其中每月完成合格产品的件数不少于 3200 件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“生产能手”与性别有关？非“生产能手” “生产能手” 合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额 2600 件以内的，计件单价为 1 元；超出 件的部分，累进计件单价为 1.2 元；超出 件的部分，累进计件单价为 1.3 元；超出 400 件以上的部分，累进计件单价为 1.4元.将这 4 段中各段的频率
16、视为相应的概率，在该厂男员工中选取 1 人，女员工中随机选取2 人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少- 13 -于 3100 元的人数为，求的分布列和数学期望.附： ，.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】【分析】（1）利用列联表求得 的观测值 ，即可判断.（2）设 2 名女员工中实得计件工资不少于 3100 元的人数为 ，1 名男员工中实得计件工资在3100 元以及以上的人数为 ，则 ， ,根据 X、Y 的相应取值求得 Z 的相应取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【详解】 （1）非“生产能手” “生产能手” 合计男员工 48
17、2 50女员工 42 8 50合计 90 10 100因为 的观测值 ，所以有 的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为 3000 件时，得计件工资为 元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于 3100 元的概率为 ，女员工实得计件工资不少于 3100 元的概率为 ，- 14 -设 2 名女员工中实得计件工资不少于 3100 元的人数为 ，1 名男员工中实得计件工资在 3100元以及以上的人数为 ，则 ， ，的所有可能取值为 ， ， ， ，所以 的分布列为0 1 2 3故 .【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查转化思想以及计
18、算能力20.已知点 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于不同的 两点，且 （ 为坐标原点） ，求直线 斜率的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，利用椭圆的定义，求得 ，再理由椭圆中，求得 的值，即可得到椭圆的方程；- 15 -（2）设 直线的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，在由 ，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。【详解】 （1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，所以点 到两焦点的距离之和为 .所以 .又因为 ，所以 ，则椭圆 的方程为 .（2）当直线 的斜率不存在时，结合椭圆
19、的对称性可知， ，不符合题意.故设 直线的方程为 ， ， ，联立 ，可得 .所以而 ，由 ，可得 .所以 ，又因为 ，所以 .综上， .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。21.已知函数 ，其中为自然对数的底数. （1）求函数 的极值点；（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围.- 16 -【答案】 （1）当 时，无极值点；当
20、时，极值点为 ；当 且 时，极值点为 和 ；（2） .【解析】【分析】(1)先求出函数的导数 ，讨论 、 且 即可求出函数的极值点;(2)由题意可将 ， 恒成立转化为 时， 恒成立，然后构造函数 ，分 ， 与两种情况讨论，分别用导数的方法研究其在上的单调性和值域，即可筛选出符合题意的 的取值范围.【详解】 （1） ,当 时， ，故无极值点；当 时，函数 只有一个极值点，极值点为 ；当 且 时，函数 有两个极值点，分别为 和 .（2） ，依题意，当 时， ，即当 时， .设 ，则 .设 ，则 .当 时， ， ，从而 （当且仅当 时，等号成立） ，在 上单调递增.又 ， 当 时， ，从而当 时，
21、，- 17 -在 上单调递减，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， .当 时，令 ，得 ， .故当 时， ，在 上单调递减.又 ， 当 时， ，从而当 时， ，在 上单调递增，又 ，从而当 时， ，即 ，于是当 时， ，不符合题意.综上所述：实数 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值、最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可 )； 讨论最值 或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做
22、的第一题记分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程，并指出曲线 是什么曲线；（2）若直线 与曲线 相交于 两点， ，求 的值 .【答案】(1) 曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为半径的圆. (2) 【解析】- 18 -【分析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论；（2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可求解。【详解】 （1）由 （ 为参数） ，消去参数得 ，故曲线 的普通方程为 .曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为
23、半径的圆.（2）由 ，展开得 ，的直角坐标方程为 .则圆心到直线 的距离为 ，则 ，解得 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.设函数 .（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集；（2）因为 ，得 ，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。【详解】 （1）因为 ，所以 的解集为 .（2）因为 ，所以 ，- 19 -即 ，则 ，所以 .【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 20 -
