1、1海南中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题卷（考试范围：选修 21）考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1、若命题 p： ，则命题 为（ ）2sin,xRpA.不存在 B.2sin,xRC. D.si,x2、 “ ”是 “直线 和直线 互相垂直”的（ ）a1y032ayxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、已知椭圆 C 的方程为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）1692yxA. B. C. D.16737474
2、34、已知向量 (0,1,-1)， （2,1,0） ，且 +k 与 2 互相垂直，则 k 的值为( )arbrarb-rA. 1 B. -1 C. D.121-5、已知双曲线 的焦点为 F1、 F2，点 M 在双曲线上，且 M x 轴，则 到直542yx 1F1线 M 的距离为（ ）2FA. B. C. D.3101301301306、已知四面体 ABCD 的各棱长均为 1，E、F、G 分别是 BC、AD、DC 的中点，则 的GFE值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 4827、在正方体 中，E 是 AB 的中点，则直线 与平面 所成角的1DCBA1BAEC1正弦值为（ ）A. B. C.
3、 D.313552328、已知点 P 是抛物线 上的一个动点，设点 P 到 y 轴的距离为 d，点 A(3,4)，则xy42|PA|+d 的最小值为（ ）A3 B C D15521529、在直三棱柱 1CA中，已知 AB=AC=1， ， ，M、N、分别是1A90B、AC 的中点，则直线 MN 与 所成角的余弦值为( )B1 1A. B. C. D.033663010、已知双曲线21(0b)xyab ， 的两条渐近线均和圆 C： 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的42方程为（ ）A. B. 132yx 132yxC. D.2 5211、在三棱锥 P-ABC 中，已知 AB=AC
4、=BC=2，PA=4，且 PA 底面 ABC，若点 D 满足：，则二面角 P-AC-D 的余弦值为（ ）DBP2A. B. C. D.727272112、已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ xy0yx）A. B. C. D. 561523二、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。)13、若命题 是真命题，则实数 的取值范围是 .”“axxln),1 a14、若双曲线 的一个焦点在抛物线 y2=8x 的准线上，则双曲线的渐近线方程为 .32ya15、已知长方体 中， ，E 为 CD 的中点，则1DCBA141AD，点 到平面 的距离为 .1B
5、E116、若椭圆 的焦点在 x 轴上，过点 P(1,2)作圆 的切线，切点分别2byax 42yx为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 3、解答题：(本题共 6 小题，共 70 分。)17、 （10 分）已知双曲线 . 192yx（1）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程；（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程18.（12 分）长方体 中， ， 1DCBA1,2ABC（1）求直线 与 所成角；1D（2）求直线 与平面 所成角的正弦值119. （12 分）若直线 与椭圆 相交，mxy12yx（1）求 的范围；m（2）当截得弦长最大时，求 的值，
6、并求出最大弦长值。420、 （12 分）如图，四边形 为矩形，且 ， ，ABCD1,2ABABCDP平 面为 上的动点EBC（1）当 为 的中点时，求证： ；EP（2）设 ，在线段 上存在这样的点 ，使得PA二面角 的平面角大小为 ，试确定点 的4位置21、 （12 分）如图，正方形 与梯形 所在平面互相垂直， ，ADEFBCADC，21，点 在线段 上且不与 重合。/ABCDME,（1）当点 是 中点时，求证： /平面 ；MADF（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 6时，求三棱锥 的ABFMBE体积.22、(12 分)给定椭圆 C： 1( ab0)，称圆心在原点 O，半径为 的圆是
7、椭圆x2a2 y2b2 a2 b2C 的“海中圆” 若椭圆 C 的一个焦点为F( ，0)，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 .2 3(1)求椭圆 C 的方程和其“海中圆”方程；(2)点 P 是椭圆 C 的“海中圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1， l2，使得 l1， l2与椭圆 C都只有一个交点求证： l1 l2.5海南中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题参考答案1、选择题D C C A B A D B D B A C2、填空题13、 14、 15、 16、)0,(xy361420yx三、解答题17、 （满分：10 分）已知双曲线 . 1962（1）求该双曲线的焦点
8、坐标，离心率，渐近线方程；（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程6【答案】解： ， (1) 5,34cba. 2 分焦点坐标为 和 ， )0,5(),. 3 分离心率为 ， 4e. 4 分渐近线方程为 . xy3. 5 分（2） ， ， 5p10. 8 分 所以抛物线方程为 或 . xy2x02. 10 分 【解析】本题考查双曲线，抛物线的标准方程与几何性质由题可得 ，进而得出双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；5,34cba根据已知可得 ，求得抛物线中的参数 p，进而求出抛物线的方程18.（满分：12 分）长方体 中， ， 1DCBA1,2ABC（1）求直线 与 所成角；1A
9、DB（2）求直线 与平面 所成角的正弦值1解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则， )1,0(),(DA)0,1(),2(DB.2 分， ， ),(1),(1.4 分， 0)1()2(01 DBA.5 分7，即直线 与 所成角为 。 DBA11ADB90.6 分（2）设平面 的法向量 则1),(zyxn)1,()0,2(DB.8 分所以 ，即 ，可取 ， 01DBn02yxz)0,12(n.10 分则 512|,cos11An.11 分直线 与平面 所成角的正弦为 1D1B510.12 分【解析】本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键（1）建立空间直角坐标系，求出直线
10、 与 的方向向量，利用向量的夹角公式，即1ADB可求直线 与 所成角；1ADB（2）求出平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线 与平面1 1AD所成角的正弦.119.若直线 与椭圆 相交， （1）求 的范围；（2）当截得弦长最大时，mxy2yxm求 的值，并求出最大弦长值。解：由 消去 得：12yx，2 分043m， 28.3 分8（1）若直线 与椭圆 相交，则 ，4 分mxy12yx0824m所以 ， 的范围为 。 3)3,(.6 分（3）设直线 被椭圆 截得的弦长为 ，则mxy12yxl， |12akl.8 分即 = ， 38422ml2.10 分所以当 时弦长最大，最大值为 03
11、4.12 分【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式。20、如图，四边形 为矩形，且 ， ， 为 上ABCD1,2ABABCDP平 面E的动点（2）当 为 的中点时，求证： ；EEP（2）设 ，在线段 上存在这样的点 ，使得1P二面角 的平面角大小为 ，试确定点 的A4位置【答案】证明：以 为原点， 所在直线为AAPDB,，建立空间直角坐标系，如图.zyx,. 1 分（1）不妨设 则 ， ， ,aP),0(),(E)0,2(. 2 分从而 ， , ),(E),1(D4 分9于是 ， 5 分0)(1 aDEP所以 ，所以 . 6 分EP解：设 ，则 则xB),2(),(),0(Dx )
12、0,21(),1(xDExP.7 分向量 为平面 的一个法向量 设平面 的法向量为 ，)1,0(APAE ),(cban则应有 即 解之得 令 则 从而Dn0)2(xbac,2bc,1xc2,)2,1(x. 10 分 依题意 = ，即 ，解之得 （舍去）|4cosAPn225)(2x321x所以点 E 在线段 BC 上距 B 点的 处.32x 312 分【解析】 建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点与向量，证明，即可证；设，求得向量 为平面 AED 的一个法向量，平面 PDE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，建系设点是关
13、键21 （12 分）如图，正方形 与梯形 所在平面互相垂直， ，ADEFBCADC，21C，点 在线段 上且不与 重合。/ABCDME,（1）当点 是 中点时，求证： /平面 ；MADF（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 6时，求三棱锥 的ABFMBE体积.1021、解：（1）以 DACE、 、 分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系. 1 分 则 (2,0)(,)(0,4)(,2)(0,1)BM . 3 分 (,1)MAEF面的一个法向量 (,4)DC. 4 分 0BDC， B。即 /AEF面 . 5 分 （2）依题意设 (,2)(4)t，设面 BDM的法向量 1(,)nxyz则 0
14、nxy， (20tntyz. 7 分 令 1y，则 2(,1)4t，面 AF的法向量 2(1,).n.8 分 1212 2|16|cos, (4)nt，解得 t.10 分 (0,21)M为 EC 的中点， 1DEMCDES， B到面 EM的距离 2h433BDEEVh. 12 分 22(12 分)给定椭圆 C： 1( ab0)，称圆心在原点 O，半径为 的圆是椭圆x2a2 y2b2 a2 b2C 的“海中圆” 若椭圆 C 的一个焦点为F( ，0)，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 .2 3(1)求椭圆 C 的方程和其“海中圆”方程；(2)点 P 是椭圆 C 的“海中圆”上的一个动点，过点 P
15、 作直线 l1， l2，使得 l1， l2与椭圆 C都只有一个交点求证： l1 l2.解：(1)因为 c ， a ，所以 b1，2 3所以椭圆的方程为 y21， “海中圆”的方程为x23x2 y24. 4 分 11(2)当 l1， l2中有一条无斜率时，不妨设 l1无斜率，因为 l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为 x 或 x . 5 分3 3当 l1方程为 x 时，此时 l1与“海中圆”交于点( ，1)，( ，1)，3 3 3此时经过点( ，1)(或( ，1)且与椭圆只有一个公共点的直线是 y1(或 y1)，即3 3l2为 y1(或 y1)，显然直线 l1， l2垂直；同理可证 l1方程为
16、x 时，直线 l1， l2垂直. 8 分 3当 l1， l2都有斜率时，设点 P(x0， y0)，其中 x y 4，20 20设经过点 P(x0， y0)，与椭圆只有一个公共点的直线为 y t(x x0) y0，则 ，132t消去 y 得到 x23 tx( y0 tx0)230，即(13 t2)x26 t(y0 tx0)x3( y0 tx0)230， 6 t(y0 tx0)24(13 t2)3(y0 tx0)230，化简得：(3 x )t22 x0y0t1 y 0，20 20因为 x y 4，所以有(3 x )t22 x0y0t( x 3)0，20 20 20 20设 l1， l2的斜率分别为 t1， t2，因为 l1， l2与椭圆都只有一个公共点，所以 t1， t2满足上述方程(3 x )t22 x0y0t( x 3)0，20 20所以 t1t21，即 l1， l2垂直 . 12 分
