1、- 1 -2018 学年第一学期杭州高级中学高三期中考试数学学科试题考生须知：1本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题.1.已知集合 ，那么（ ）A. B. C. D. 0，1，2 A【答案】B【解析】【分析】通过题设条件与选项，直接判断元素与集合的关系，以及集合与集合的关系即可【详解】因为集合 A0，1，2，所以 0 A，选项 A 不正确，选项 B 正确，选项 C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系；选项 D 两个集合相等，
2、所以 D 错误故选： B【点睛】本题考查集合与集合之间的关系，元素与集合的关系的应用，考查基本知识的掌握情况2.复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可【详解】 ，则 - 2 -故选： A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.定义 在上的偶函数 满足：对任意的 ，有 .则当 时,有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因 f（x）满足：对任意的 x1, x2 （x 1x 2）, 有（x 1-x2）f（x 2）-f（x 1）0,可得函数 f（x）在 单调递
3、减，又 f（x）是偶函数，可得 f（x）在单调递增，当 时，有 ，则 ，即，故选 B.考点：函数的单调性及奇偶性.【此处有视频，请去附件查看】4.已知函数 （其中 ）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将 的图象（ ）A. 向右平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位 D. 向左平移 个长度单位【答案】A【解析】由图象可知，A1， ，即 T，故 2于是 f（x）sin（2x） ，且 f（ ）sin（ ）1，其中| ，可得 - 3 -要得到 g（x）sin2x 的图象，只需将 f（x）的图象向右平移 即可.考点：三角函数图象及其变换【此处有视频，请去附件查看
4、】5.钝角三角形 的面积是 , ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,若 B 为锐角，则不合题意；所以 B 为钝角，则 选 D.6.若 = ，则 的取值范围是( )A. B. C. D. (以上 )【答案】D【解析】【分析】利用平方关系化简分式，结合右侧式子，可判断出 cosx 的符号，从而得到结果【详解】sin 2x+cos2x1，即 cos2x1sin 2x（1+sin x） （1sin x） ， ， ，cos x0，- 4 - x 的范围为 2k x 2k（ kZ） 故选： D【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及余弦函数的性质，熟练掌握基本关系是解本题的关
5、键7.设 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当 时， ，当 一正一负时，当 时， ，所以 ，故选 C考点：充分必要条件【此处有视频，请去附件查看】8.有甲、乙、丙 3 项任务，甲需要 2 人承担，乙、丙各需要 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有( )A. 1260 B. 2520 C. 2025 D. 5040【答案】B【解析】【分析】首先分析题目求不同的选法种数，故可先从 10 人中选出 4 个人，再在这 4 个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或
6、丙任务，即可列出式子，求解得到答案【详解】分析题目先从 10 人中选出 4 个人，再在这 4 个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务故可列出： C104C42A222520故选： B【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免- 5 -计数的重复或遗漏9.已知函数 与函数 的图象的对称轴相同，则实数 的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数 进行变形求出其对称轴，再 ysin2 x+acos2x 用和角公式变形，求出用参数表示的对称轴，得到关
7、于参数的方程求参数【详解】 cos（2 x ） ，令 2x k，得 x， k Z故函数 的对称轴为 x ， k z函数 ysin2 x+acos2x sin（2 x+） ，tan a令 2x+ n ，可解得 x ， n Z，故函数 ysin2 x+acos2x 的对称轴为 x ， n Z，因为两函数的对称轴相同,此时有即 ， n、 k Z， atan 故选： D【点睛】本题考查二倍角公式以及三角函数的性质，考查正弦型函数的对称问题，考查计算能力，属于中档题10.定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若 时，恒成立，则实数 的取值范围是( )- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】分
8、析：根据题意首先得得到函数的具体表达式，再由 可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出 f（x）最小值解不等式即可.点睛：考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.二、填空题。11.已知随机变量 的的分布列为1 2 30.4 0.2 0.4则 的数学期望 为_， 的方差 为_.【答案】 (1). 2 (2). 0.8【解析】【分析】由题意及随机变量 x 的分布列，可以先利用期望定义求出期望 Ex 的值，最后根据方差的定- 7 -义求出其方差即可【详解】由已知中的分布列可得：E（）10.4+20.2+30.4
9、2D（）0.4 +0.2 +0.4 0.8故答案为：2，0.8【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望公式与方差公式，同时考查了分布列等知识，属于基础题12.函数 的定义域为_，值域为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据分式函数与指数函数的性质得到函数 的定义域与值域.【详解】 ， x210，即 x1，即函数的定义域为 x|x1 x21函数 的值域为故答案为：【点睛】本题考查分式函数与指数函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于基础题.13.函数 的图象在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求得 f（ x）的导数，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程.- 8 -【
10、详解】函数 f（ x） 的导数为 f（ x） 2 ，函数 y f（ x）的图象在点 处的斜率为 k ，即有函数 y f（ x）的图象在点 处切线方程为 .【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为：若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 14.如果 的展开式中各项系数之和为 128，则 的值为_,展开式中 的系数为_.【答案】 (1). 7 (2). 21【解析】【分析】给二项式中的 x 赋值 1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出 n；将 n 的值代入
11、二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为3，求出 r 的值，将 r 的值代入通项，求出展开式中 的系数【详解】令 x1 得展开式的各项系数之和 2n，2 n128，解得 n7展开式的通项为 ，令 7 r3，解得 r6所以展开式中 的系数是 3C7621故答案为：7,21- 9 -【点睛】本题考查通过给二项式中的 x 赋值求展开式的系数和、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题15.已知函数 ，则 _，若 ，则所有符合条件的 组成的集合为_.【答案】 (1). 0 (2). 【解析】【分析】根据函数 即可得到 作出函数 的图象，由 得到 的范围，进而得到 t 的
12、范围.【详解】 （1） ， ，（2）如图，作出函数 的图象，若 ，则 ，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的综合应用，二次函数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力16.在 中， 分别为 所对边， ， ，则边长 的值为_.【答案】4- 10 -【解析】【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理结合已知即可得解 c 的值【详解】在 ABC 中，（2cos A）tan sinA， a+b8，（2cos A） sinA，即 2sinCsin A+sinAcosC+cosAsinCsin A+sinB，由正弦定理可得：2 c a+b8， c4【点睛】本题考查了正弦定
13、理，三角函数化简在解三角形中的应用，属于中档题17.已知函数 . 设关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，在 ， 上，函数 y f（ x+a）的图象应在函数 y f（ x）的图象的下方当a0 或 a0 时，检验不满足条件当 a0 时，应有 f（ a） f（ ） ，化简可得 a2 a10，由此求得 a 的范围【详解】由于 f（ x） ，关于 x 的不等式 f（ x+a） f（ x）的解集为 M，若 ， A，则在 ， 上，函数 y f（ x+a）的图象应在函数 y f（ x）的图象的下方当 a0 时，显然不满足条件当 a0 时，函数 y f（
14、 x+a）的图象是把函数 y f（ x）的图象向左平移 a 个单位得到的，结合图象（右上方）可得不满足函数 y f（ x+a）的图象在函数 y f（ x）的图象下方当 a0 时，如图所示，要使在 ， 上，函数 y f（ x+a）的图象在函数 y f（ x）的图象的下方，- 11 -只要 f（ a） f（ ）即可，即 a（ a） 2+（ a） a（ ） 2 ，化简可得 a2 a10，解得 a ，故此时 a 的范围为（ ，0） 综上可得， a 的范围为（ ，0） ，故答案为：（ ，0） 【点睛】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题
15、的能力，注意排除法在解决选择题中的应用，属于中档题三：解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.已知函数 . - 12 -（1）求函数 的最大值及取得最大值时 的值.（2）若 ， ，求 的值.【答案】(1) 时， .（2） .【解析】【分析】（1）化简函数 ，结合正弦函数的图象与性质得到结果；（2）利用两角和余弦公式即可得到 的值.【详解】 （1）.时， .（2） ， ， ， ，又，即 .【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系19.如图
16、，在菱形 中， ，点 为 中点， 平面- 13 -（1）求证： 平面 .（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）要证 CD平面 PAN，可由 PA平面 ABCD 得出 CDPA；ACD 为正三角形，点 N 为 CD中点，得出 CDAN，且 PAAN=A 而证出（2）过 A 作 AHPN 于 H，则 AH平面 PCD，连接 CH，则 ACH 为直线 AC 与平面 PCD 所成角在 RTACH 中求解即可【详解】 （ 1）证明：因为四边形 ABCD 为菱形， BAD120，所以 ACD 为正三角形，所以AC AD，又因为点 N 为 CD 中点
17、，所以 CD AN PA平面 ABCD， CD平面 ABCD， CD PA PA AN A， CD平面 PAN（ 2）由（1）知， CD平面 PAN， CD平面 PCD，平面 PAN平面 PCD，且平面 PAN平面PCD PN，过 A 作 AH PN 于 H，则 AH平面 PCD，连接 CH，则 ACH 为直线 AC 与平面 PCD 所成角在 RT PAN 中， PA ， AN ，由勾股定理得出 PN ，根据面积相等法得 AH在 RT ACH 中，sin ACH 即直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值是 - 14 -【点睛】本题考查直线和平面位置关系的判断，线面角求解考查空间想象、推理论
18、证、转化、计算能力20.已知正数数列 的前 项和为 ， ，且 .（1）求 的通项公式（2）对任意 ，将数列 中落在区间 内的项的项数记为 ，求数列 的前项和 .【答案】(1) an4 n3( nN *) (2) 【解析】【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）对任意 mN +，4 m4 n34 2m，由 ，能求出数列 bm的前 m 项和Sm【详解】(1) ，8 Sn1 4an1 +3， （ n2） ， ， an0， an an1 4（ n2） ，数列 an是以 4 为公差的等差数列又 ， ，而 a13，- 15 - a11 an4 n3（ nN *） (2)对 mN *，
19、若 4m4 n34 2m则 4m34 n42m3.因此 .故得 bm .于是 Sm b1 b2 b3 bm(44 34 2m1 )(144 m1 ).【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的定义，考查数列的前 m 项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用21.已知椭圆 ： ，不经过原点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 、 ,直线 的斜率依次构成等比数列.（1）求 的关系式.（2）若离心率 且 ，当 为何值时，椭圆的焦距取得最小值？【答案】(1) (2) 当 时，焦距最小【解析】【分析】（1）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，运用等比数列的中项的
20、性质，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到 b ak；（2）运用离心率公式，可得斜率 k，再由弦长公式，结合条件，运用基本不等式即可得到所- 16 -求最值，以及 m 的取值【详解】 （1）设 ，由题意得由 可得故 ，即，即 ，又直线不经过原点，所以所以即（2）若 ，则 ， ，又 ，得，- 17 -，化简得 （ 恒成立） 当 时，焦距最小【点睛】本题考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用和等比数列的中项的性质，以及弦长公式和基本不等式的运用，属于中档题22.已知函数 .（1）若关于 的方程 在 内有两个不同的实数根，求实数 的取值范
21、围.（2）求证：当 时， .【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）关于 的方程 在 内有两个不同的实数根等价于 ，x 与 y=a有两个不同的交点；（2）要证当 时， 即证【详解】 （1）由 可得：即 ，x 与 y=a 有两个不同的交点。由 ,可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，（2）证明： ，由 得 在 上单调递增，又 ,- 18 -根据零点存在定理可知，存在 ，使得当 时， ，f（x）在 上单调递减；当 时， ， f（x）在 上单调递增；故 .由 ，得到 ，即 ， ，故 ，其中 ，令 ， ，由 ，得到 在 上单调递减，故 ，即 ，综上：有 当 时， .【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.- 19 -
