1、- 1 -2018-2019 学年浙江省湖州市安吉、德清、长兴等三县高一（上）期中数学试卷一选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.已知集合 ，则下列关系式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据选项由元素与集合关系即可求解.详解:由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得 正确，故选 C.点睛：考查集合与元素，集合与集合之间的关系，属于基础题.2.下列函数中与 y=x 表示同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两个函数为同一函数，其定义域和对应法则完全相同，依次验证可得答案【详解】
2、对 A，函数 ，定义域为 xR，与已知函数定义域，对应法则相同，故 A正确，对 B，函数 的定义域为 x0，与函数的定义域不同，B 错误；对 C， ，与函数对应法则不同，C 错误；对 D，函数 ，的定义域为 x0，与函数的定义域不同，D 错误故选：A【点睛】本题主要考查了同一函数的判定问题，其中解答中熟记同一个函数的判定方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.幂函数 f（ x）的图象过点（27，3） ，则 f（8）=（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2- 2 -【答案】D【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数 y=f（x）的解析式，再计算 f（8）
3、的值，即可得到答案【详解】设幂函数 y=f（x）=x ，R，其图象过点（27，3） ，27 =3，解得 = ， ， 故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及其应用，其中解答中熟记幂函数的基本概念，利用待定系数法求得函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知 f（ x）= ，则 ff（-3）的值为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算 ff（-3），必须先计算 f（-3）进而即可得到答案【详解】由题意可得： ，所以 f（-3）=-3+4=1，所以 f（1）=1-4=-3，所以 ff
4、（-3）=f（1）=-3故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解决此类问题的关键是熟悉解析式特征与所求不等式的结构，此类题目一般出现在选择题或填空题中，属于基础题型，着重考查了推理与运算能力.5.三个数 a=0.52， b=log20.5， c=20.5的大小关系是（ ）A. B. C. D. - 3 -【答案】D【解析】【分析】利用对数函数与指数函数的性质，将 a，b，c 与 0 和 1 比较即可【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得 0a=0.5 21，c=2 0.52 0=1， 由对数函数的性质，可得 b=log20.5log 21=0， bac 故选：D【点睛】本题主
5、要考查了指数式与对数式大小的比较，其中解答中熟练掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.6.函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 单调递增，仅有一个零点又 ， , 故函数的零点位于区间 考点：函数的零点问题.7.函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：讨论函数 性质，即可得到正确答案.- 4 -详解：函数 的定义域为 ， ，排除 B，当 时， 函数在 上单调递增，在 上单调递减，故排除 A,D，故选 C点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用8.设函数 f（ x）=min|
6、x-2|， x2，| x+2|，其中 minx， y， z表示 x， y， z 中的最小值下列说法正确的是（ ）A. 函数 为奇函数B. 函数 既是奇函数又是偶函数C. 函数 为偶函数D. 函数 既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【解析】【分析】在同一直角坐标系中画出 y=|x-2|，y=x 2，y=|x+2|，求得 f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，即可得答案【详解】根据题意，在同一直角坐标系中画出 y=|x-2|，y=x 2，y=|x+2|的图象：则有 ，显然 f（-x）=f（x） ，可得 f（x）为偶函数；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的图象与性质的应用，其中解答中在同一坐标
7、系内做出各个函数的图象，结合图象判定是解答的关键，着重考查了数形- 5 -结合思想，以及推理与论证能力，属于中档试题.9.函数 f（ x）= ， （ a R） ，若函数 f（ x）在（1，+）上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】据题意，已知 f（x）在区间（1，+）上是减函数，即 在区间（1，+）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解【详解】由题意，函数 ， （aR） ，函数 f（x）在（1，+）上为减函数， 在（1，+）恒成立，a ,检验当 a=0 时不符合题意，故 a0.
8、故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，其中解答中熟记函数的单调性与函数的导数之间的关系，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数 ，若对 ，均有 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. -2 D. 0【答案】A【解析】由题意可知函数 f(x)的对称轴为 x=1,显然 f(0)=f(-1)=0，由对称性知 f(2)=f(3)=0,所以，所以 ， ,即f(x)= ,不妨令 ，函数为 ， ，所以当 ,时 y 取最小值 ，选 A.- 6 -【点睛】本题首先充分利用对称性的某些值相等，而没有利用定义，从而简化了运算，更重要采用了换元法求最值，而
9、不是利用求导求最值，更简化了运算。二.填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. =_，lg4+lg25=_【答案】 (1). 8 (2). 2【解析】【分析】利用实数指数幂的运算法则和对数的运算性质，准确运算，即可得到答案.【详解】由题意，根据实数指数幂的运算，可得 ；由对数的运算性质，可得 故答案为：8，2【点睛】本题主要考查了指数、对数的性质、运算法则化简求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算法则和对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.函数 f（ x）= ax-1-2（ a0 且 a1）恒过定点_， f（ x）的值域为_【答案】 (
10、1). (1,-1) (2). （-2，+）【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，令 ，即可得到答案.【详解】由题意，可得 x-1=0，解得 x=1，此时 f（1）=a 0-2=1-2=-1，即函数过定点（1，-1） ， a x-10， a x-1-22， f（x）的值域为（-2，+） 故答案为：（1，-1） ， （-2，+）【点睛】本题主要考查了指数函数的图象过定点问题，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，利用指数幂等于 0 求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.13.设 f（ x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f（ x）=1 og2（ x+2） 则 f（
11、0）=_，当 x0 时， f（ x）=_【答案】 (1). 0 (2). -1 og2（- x+2）- 7 -【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）=0，设 x0，则-x0，由函数的解析式可得 f（-x）=1og 2（-x+2） ，结合函数的奇偶性变形可得答案【详解】根据题意，f（x）为定义在 R 上的奇函数，则 f（0）=0， 设 x0，则-x0， 则 f（-x）=1og 2（-x+2） ， 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（x）=-f（-x）=-1og 2（-x+2） ， 故答案为：0，-1og 2（-x+2） 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质以及应用，其中解答中熟
12、记函数的奇偶性，合理利用奇偶性求解是解答的关键，特别属于函数的定义域是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14.函数 f（ x）= ，若 f（1）=2，则 k=_，若对任意的 x1， x2， （ x1-x2）（ f（ x1）- f（ x2） ）0 恒成立，则实数 k 的范围_【答案】 (1). 3 (2). 2，3【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（1）=-1+k=2，解可得 k 的值；结合函数单调性的定义分析可得函数 f（x）为 R 上的增函数，则有 1，解可得 k 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，函数 ，若 f（1）=2，则 f（1）=-
13、1+k=2，解可得 k=3；若对任意的 x1，x 2， （x 1-x2） （f（x 1）-f（x 2） ）0 恒成立，则函数 f（x）为 R 上的增函数，则有 ，解可得 2k3，则 k 的取值范围为2，3；故答案为：3，2，3本题考查【点睛】本题主要考查了分段函数解析式的计算以及单调性的性质，其中解答中注意分析恒成立的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，- 8 -属于中档试题.15.函数 f（ x）= x3，若 f（ a-2）+ f（4+3 a）0，则实数 a 的取值范围为_【答案】 （-，- ）【解析】【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，则 f
14、（a-2）+f（4+3a）0f（a-2）-f（4+3a）f（a-2）f（-4-3a）a-2-4-3a，解可得 a 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，函数 f（x）=x 3，则 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，若 f（a-2）+f（4+3a）0f（a-2）-f（4+3a） ，则 f（a-2）f（-4-3a）a-2-4-3a，解可得：a- ，即 a 的取值范围为：（-，- ） ；故答案为：（-，- ） 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用问题，其中解答中根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.函数
15、若存在 ，使得 ，则 的最大值为_【答案】【解析】绘制函数 的图象如图所示，观察可得： ，且： ，原问题等价于考查二次函数： 在区间 上的最大值，函数的对称轴 ，则函数的最大值为： .综上可得： 的最大值为 .- 9 -点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析17.设函数 f（ x）=| x-1|在 x t， t+4（ t R）上的最大值为 M（ t） ，则 M（ t）的最小值为_【答案】2【
16、解析】【分析】由题意，画出 f（x）的图象，讨论对称轴 x=1 与区间t，t+4的关系，结合单调性可得最小值【详解】作出函数 f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当 t+41 即 t-3 时，f（x）在t，t+4递减，可得最大值 M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由 M（t）在 t-3 递减，可得 M（t）4，即最小值为 4；当 t1 时，f（x）在t，t+4递增，可得最大值 M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由 M（t）在 t1 递增，可得 M（t）4，即最小值为 4；当 t1t+4，即-3t1 时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得 f（x）的最小值为
17、0；- 10 -当 t=-1 时，f（t）=f（t+4）=2；当-1t1 时，f（t）f（t+4） ，f（x）的最大值 M（t）=f（t+4）=t+3，且 M（t）（2，4） ；当-3t-1 时，f（t）f（t+4） ，f（x）的最大值 M（t）=f（t）=1-t，且 M（t）（2，4） ；综上可得 M（t）的最小值为 2故答案为：2【点睛】本题主要考查了函数的性质的应用，以及函数的最值问题的求解，其中解答中正确作出函数的图象，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题三.解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18.已知全集为
18、R，集合 P=x|2a x2 a+3， Q=x|-2 x5（）若 a= ，求 P Q， （ RP） Q；（）若 PQ，求实数 a 的取值范围【答案】 （） P Q=x|-2 x6， （ RP） Q=x|-2 x3；（） -1，1【解析】【分析】（）先简化集合 P，然后根据交并补的定义得结果；（）由 PQ，得 ，即可得到实数 的取值范围【详解】 （）a= 时，P=x|3x6， RP=x|x3 或 x6，PQ=x|-2x6， （ RP）Q=x|-2x3；（）PQ， ，-1a1，实数 a 的取值范围为-1，1【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及结合的包含关系的应用，其中解答中熟练运用集合的运算
19、和集合间的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.- 11 -19.已知函数 f（ x）= （ a R） （）若 f（1）=2，求函数 y=f（ x）-2 x 在 ，2上的值域；（）当 a（0， ）时，试判断 f（ x）在（0，1上的单调性，并用定义证明你的结论【答案】 （）- ， （）见解析【解析】【分析】（）根据题意，由 f（1）=2 可得 ，解可得 a 的值，即可得 y=f（x）-2x 的解析式，设 g（x）= -x，分析易得 g（x）在 ，2上为减函数，据此分析函数 g（x）的最值，即可得答案；（）设 0x 1x 21，由作差法分析，即可得答案【详解】 （）根据题意
20、，函数 f（x）= ，若 f（1）=2，则 =2，解可得 a= ，则 f（x）= =x+ ，则 y=f（x）-2x= -x，设 g（x）= -x，分析易得 g（x）在 ，2上为减函数，且 g（ ）=2- = ，g（2）= -2=- ；故 y=f（x）-2x 在 ，2上的值域为- ， ；（）f（x）= =2ax+ ，当 a（0， ）时，在（ 0，1上为减函数，证明：设 0x 1x 21，f（x 1）-f（x 2）=（2ax 1+ ）-（2ax 2+ ）=（2ax 1x2-1） ，又由 a（0， ）且 0x 1x 21，则（x 1-x2）0， （2ax 1x2-1）0，则 f（x 1）-f（x 2
21、）0，- 12 -即函数 f（x）在（0，1上为减函数【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及函数的值域的求解，其中解答中根据基本初等函数的性质得出函数的单调性，以及熟练应用函数的单调性的定义证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.已知函数 f（ x）=lg 的图象关于原点对称，其中 a 为常数（）求 a 的值，并求出 f（ x）的定义域（）关于 x 的方程 f（2 x）+21 g（2 x-1）= a 在 x ， 有实数解，求 a 的取值范围【答案】 （） a=-1，定义域（-，-1）（1，+） （） a0，lg7【解析】【分析】（）根据奇函数的定义即可求出
22、a 的值，根据对数函数的解析式，即可求出函数的定义域，（）关于 x 的方程 f（2 x）+21g（2 x-1）=a 在 x 有实数解，转化为 lg（2 2x-1）=a在 x 有实数解，根据函数的单调性，求出 y=lg（2 2x-1）的值域即可求出 a 的范围【详解】 （）函数 f（x）=lg 的图象关于原点对称，函数 f（x）=lg 为奇函数，即 f（-x）+f（x）=0， ，且 a1lg =0， =1，整理可得， （a 2-1）x 2=0 恒成立，a=1（舍）或 a=-1，f（x）=lg ，由 可得，x-1 或 x1，即函数的定义域（-，-1）（1，+） ，（）设 2x=t，则 t ，2 ，
23、关于 x 的方程 f（2 x）+21g（2 x-1）=a 在 x ， 有实数解，- 13 -lg +21g（2 x-1）=lg（2 x+1） （2 x-1）=lg（2 2x-1）=a 在 x ， 有实数解，设 u=22x-1，则 u（x）为增函数，y=lgu 为增函数，y=lg（2 2x-1）在 ， 上为增函数，0ylg7，a0，lg7【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数函数的基本运算性质，以及复合函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和对数函数的基本运算性质和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.21.设函数
24、f（ x）= x2+（2 a+1） x+a2+3a（ a R） （）若函数 f（ x）在0，2上单调，求 a 的取值范围；（）若 f（ x）在闭区间 m， n上单调递增（其中 m n） ，且 y|y=f（ x） ， m x n=m， n，求 a 的取值范围【答案】 （） （-， - ，+） （）- ，0）【解析】【分析】（）二次函数的对称轴 或 可解得 或 ；（）问题转化为方程 f（x）=x 在 ，+）上有两个不相等的实数根，然后构造函数G（x）=f（x）-x，利用二次函数的图象列式可解得【详解】 （）当- 0，即 a- 时，f（x）在0，2上单调递增，当- 2，即 a 时，f（x）在0，2上
25、单调递减；综上所述：a 的取值范围是（-， - ，+）（）因为 f（x）在m，n上递增，则满足，- 14 -即方程 f（x）=x 在- ，+）上有两个不相等的实数根，设 F（x）=f（x）-x=x 2+2ax+a2+3a，则 ，则- ，综上所述：实数 a 的取值范围是- ，0）【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用二次函数的图象与性质，以及二次函数的根的分布列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.22.已知函数 f（ x）= x|x-a|+bx（ a， b R） （）当 b=-1 时，函数 f（ x
26、）恰有两个不同的零点，求实数 a 的值；（）当 b=1 时，若对于任意 x1，3，恒有 f（ x）2 x2，求 a 的取值范围；若 a2，求函数 f（ x）在区间0，2上的最大值 g（ a） 【答案】 （） a=1（） a=0 g（ a）= 【解析】【分析】（）求得 b=-1 时，f（x）的解析式，由 f（x）=0，解方程即可得到所求 a 的值； （）当 b=1 时，f（x）=x|x-a|+x， 由题意可得|x-a|+12x，即|x-a|2x-1，即有 1-2xx-a2x-1，即 1-x-ax-1，由x 的范围，结合恒成立思想可得 a 的范围； 求得 f（x）的分段函数形式，讨论 2a3 时，
27、f（x）的单调性和最值，即可得到所求最大值【详解】 （）当 b=-1 时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1） ，由 f（x）=0，解得 x=0 或|x-a|=1，由|x-a|=1，解得 x=a+1 或 x=a-1由 f（x）恰有两个不同的零点且 a+1a-1，可得 a+1=0 或 a-1=0，得 a=1；- 15 -（）当 b=1 时，f（x）=x|x-a|+x，对于任意 x1，3，恒有 f（x）2x 2，即|x-a|+12x，即|x-a|2x-1，即有 1-2xx-a2x-1，即 1-x-ax-1，x1，3时，1-x-2，0，x-10，2，可得 0-a0，即 a=0；f（x）= = 当 2a3 时， 2a，这时 y=f（x）在0， 上单调递增，在 ，2上单调递减，此时 g（a）=f（ ）= ；当 a3 时， 2，y=f（x）在0，2上单调递增，此时 g（a）=f（2）=2a-2综上所述，g（a）= 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及恒成立问题的求解问题，其中解答中根据函数的解析式，合理应用函数的单调性和函数的零点零点的概念是解答的关键，着重考查了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题- 16 -
