1、- 1 -河北省大名县第一中学 2018-2019 高二数学下学期第九周考试试题 理一选择题（每题 6 分）1已知复数 z 满足 ，i 是虚数单位，则复数 A B C D2用演绎法证明函数 是增函数时的小前提是（ ）A函数 满足增函数的定义 B增函数的定义C若 ，则 D若 ，则3利用定积分的的几何意义，可得 ( )A BC D4在 的展开式中， 项的系数等于 264，则 等于A B C D5若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）A BC D6将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（ ）A252 种 B112 种 C70 种 D56 种7
2、已知随机事件 和 互斥，且 ， ，则 （ ）A0.5 B0.1 C0.7 D0.88某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到- 2 -甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A72 种 B36 种 C24 种 D18 种9某学生参加一次选拔考试,有 5 道题,每题 10 分.已知他解题的正确率为 ,若 40 分为最低分数线,则该生被选中的概率是( )ABCD10用数学归纳法证明“ 能被 3 整除”的第二步中，当 时，为了使用假设，应将 变形为( )ABCD11已知函数 ，且 ），若 ，则 （
3、）A B C D12将多项式 分解因式得 ，则 （ ）A B C D13已知奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，- 3 -， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A B C D二、填空题（每题 6 分）14已知 ,设 ，则_.15下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程 ，若变量 增加一个单位时，则 平均增加 5 个单位；线性回归方程 所在直线必过 ；曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；在一个 列联表中，由计算得 ，则其两个变量之间有关系的可能性是 .其中错误的是_16已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ，则 114 分以上的成绩所占的百分比为
4、_（附： ， ，）17已知函数 ，若 ，但 不是函数的极值点，则 的值为_.三、解答题（每题 12 分）185 名师生站成一排照相留念，其中教师 1 人，男生 2 人，女生 2 人.（1）求两名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.- 4 -19如图，直三棱柱 中， ， ， 分别为 、 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）已知 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.20已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的标准方程；（2）过 轴上一点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，设直线 ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ，若对任意实数 ，存在 ，使
5、得 ，求实数 的取值范围.- 5 -21选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ， 是曲线 上任意一点，求点 到曲线 的距离的最大值.参考答案1D【解析】【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由 ，- 6 -得 故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2A【解析】【分析】大前提提供了一个一般性的原理，小前提提出了一个特殊的对象，两者联系，即可得出
6、结果.【详解】证明函数 是增函数，依据的原理是增函数的定义，因此， 用演绎法证明函数 是增函数时，大前提是：增函数的定义；小前提是函数 满足增函数的定义.故选 A【点睛】本题主要考查演绎推理，熟记概念即可，属于基础题型.3B【解析】【分析】函数 表示单位圆位于 轴上方的部分，结合定积分的几何意义可得答案 .【详解】解：函数 表示单位圆位于 轴上方的部分，结合定积分的几何意义可得： .故选 B.【点睛】本题主要考查定积分的计算与几何意义，相对简单.4B【解析】- 7 -【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 5 求得 r,则可求得 a 值，再求解定积分得答案【详解】（ a ） 12的展开
7、式的通项为 由 ，得 r10 ，解得 a2 （舍）或 a2 （ 2x） dx （ lnx+x2） ln2+4 ln11 ln2+3故选： B【点睛】本题考查二项式系数的性质，考查定积法的求法，是基础题5A【解析】【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意 ， ，由点斜式得 ，即切线方程为，故选 A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.6B【解析】【分析】因为 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把 7 名学生分成 2 组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排 2 名学生，所以可按一组 2 人
8、，另一组 5 人分，也可按照一组 3 人，令一组 4 人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就- 8 -是两组的全排列【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，一种是：一组 2 人，另一组 5 人，有 C7221 中分法； 另一种是：一组 3 人，另一组 4 人，有 C7335 中分法，共有 21+3556 种分组法第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有 A222 种分配方法，最后，把两步方法数相乘，共有（ C72+C73） A22（21+35）2112 种方法，故选： B【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题7A【解析
9、】【分析】由 ，可求出 ，进而可求出 .【详解】因为事件 和 互斥，所以 ,则 ，故 .故答案为 A.【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题。8B【解析】【分析】根据条件 2 名内科医生，每个村一名，3 名外科医生和 3 名护士，平均分成两组，则分 1 名外科，2 名护士和 2 名外科医生和 1 名护士，根据排列组合进行计算即可【详解】- 9 -2 名内科医生，每个村一名，有 2 种方法，3 名外科医生和 3 名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分 1 名外科，2 名护士和 2 名外科医生和 1 名护士，若甲村有 1 外科,
10、2 名护士,则有 ，其余的分到乙村，若甲村有 2 外科,1 名护士,则有 ，其余的分到乙村，则总共的分配方案为 2(9+9)=218=36 种，故选：B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.9C【解析】【分析】学生被选上，分数为 分或者 分，也即要答对 个题或者 个题，根据二项分布概率计算公式，得出正确选项.【详解】依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，学生必须答对 个题或者 个题才能够被选上，答对 个题的概率为 ，答对 个题的概率为 ，故该生被选中的概率是.故选 C.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别以及二项分布概率的计算，考查分析和
11、解决问题的能力，属于基础题. 识别二项分布主要看题目所给条件是否 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数10B【解析】【分析】- 10 -由 = 5 2 进一步转化为含有 的式子并使其它项是 3 的倍数.【详解】 5 2【点睛】数学归纳法中式子变形时必须要使用假设结论推导.11B【解析】【分析】求出 ，将 代入即可得结果.【详解】函数 且 ，故选 B.【点睛】本题主要考查对数函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于中档题.12A【解析】【分析】首先
12、将题中的条件转化为 ，从而能够准确的判断出 5 次项出现的情况，之后用二项式定理求解，从而求得结果.【详解】- 11 -，所以 展开式中的三次项系数为 ，所以 ，故选 A.【点睛】该题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目.13D【解析】【分析】构造函数 g（x）xf（x），求导得，g（x）为增函数，利用单调性和奇偶性可比较出大小【详解】令 g（x）xf（x），x（0，+），则 g（x）f（x）+xf（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 g（x）为（0，+）上的递增函数，又 g（-x）-xf（-x）= xf（x）= g（x）,所以 g（x）为偶函数.因为 e1 ，g（e
13、）g（1）g（ ），ef（e）f（1） f（ ），又 g（x）为偶函数，所以ef（e）ef（e），故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数，准确构造函数并判断奇偶性是关键，属难题148【解析】【分析】- 12 -对所给等式两边同时求导，再令 ，可得结果。【详解】因为 ，两边同时求导得，令 ，可得 。【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，即为已知等式求导所得，再对 x进行赋值，即可求各项系数和，属中档题。15【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知正确；由线性回归方程的特点知正确； 回归方
14、程 若变量 增加一个单位时，则 平均减少 5 个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个 列联表中，由计算得 ，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以均错误点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.16【解析】【分析】本题可以通过变量在 内取值的概率约为 得到成绩在 内的考生所占的百分比约为 ，即可求出 分以上的考生所占的百分比。【详解】因为数学考试的成绩服从正态分布 ，所以 ，因为变量在 内取值的概率约为 ，- 13 -所以成绩在 内的考生所占的百分比约为 ，所以成绩在 114 分以上的考生所占的百分比为 。【点睛】本题
15、考查了正态分布的相关性质，考查了正态分布中 值的确定以及正态分布的实际应用，提高了学生对于正态分布的理解，是简单题。179【解析】【分析】由题意可得 ， ，且 有两个相等的实数根，据此可得实数 a,b,c 的值，然后求解其乘积即可.【详解】，又 ，由 不是 的极值点，得 有两个相等的实数根，由解得： ，故答案为： .【点睛】本题主要考查导数的性质与运算，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18（1） .（2） . - 14 -【解析】分析：（1）两名女生站在一起有 种站法，视为一个元素与其余 个全排，有 种排法，共有不同站法 种，根据古典概型概率公式可得结果（2）教
16、师站两侧之一，另一侧由男生站，有 种站法； 两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外 个位置之一，有 种站法，共有种不同站法 ，利用古典概型概率公式可得结果.详解：5 名师生站成一排照相留念共有 种站法， （1）记“两名女生相邻而站”为事件 ， 两名女生站在一起有 种站法，视为一个元素与其余 3 个全排，有 种排法，所以事件 有不同站法 种， 则 ，答：两名女生相邻而站的概率为 .（2）记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 ， 事件 分两类：教师站两侧之一，另一侧由男生站，有 种站法； 两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外 2 个位置之一，有 种站法， 所以，事件 有种不同站法 ，则
17、 . 答：教师不站中间且女生不站两端的概率为 . 点睛：本题主要考查元素有限制的排列问题，以及古典概型概率公式的应用，常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的- 15 -全排列数.19（1）见证明（2）【解析】【分析】解法 1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设 ，利用 与平面 所成的角为 得到 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法 2：（1）取 中点 ，连接 、 ，易证 平面 ，再证明
18、 ,可得平面（2）设 ，利用 与平面 所成的角为 得到 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法 3：（1）同解法 2（2）设 ，利用三棱锥 等体积转化，得到 到面 的距离，利用 与平面 所成的角为 得到 与 的关系，解出 ，在两个平面分别找出 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法 1：（1）以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 - 16 -设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 因为 ， ，所以 ， ， 面 ， 面 ，于是 平面 （2）设平面 的法向量 ，则 ， ，又 ， ，故 ，取 ，得 因为 与平面 所成的角为 ， ，
19、所以 ， ，解得 ， 由（1）知平面 的法向量 ，所以二面角 的余弦值为 解法 2：（1）取 中点 ，连接 、 ,，平面 ， 平面- 17 -，而 平面 , 平面 ,平面 为 中点， ， ， ，四边形 为平行四边形，平面 （2）以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 设 ， ， ，则 ， ， 设平面 的法向量 ，则 ， ，又 ， ，故 ，- 18 -取 ，得 因为 与平面 所成的角为 ， ，所以 ， ，解得 ， 由（1）知平面 的法向量 ，所以二面角 的余弦值为 解法 3：（1）同解法 2（2）设 ， ，则 ， , ， ，到平面 距离 ，设 到面 距离为 ，由得 ，即因
20、为 与平面 所成的角为 ，- 19 -所以 ，而在直角三角形 中 ，所以 ，解得 因为 平面 ， 平面 ,所以 ，平面 ， 平面 所以 ，所以 平面 ，平面 , 平面所以 为二面角 的平面角，而 ,可得四边形 是正方形，所以 ，所以二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.- 20 -20（1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得 ， （2）利用坐标表示 ，设直线 的方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理代入化简可得 ，最后根据 ，解得 的取值范围【详解】（1）椭圆 的离心率 ， ，
21、又点 在椭圆上，得 ， ， 椭圆 的标准方程为 .（2）由题意得，直线 的方程为 ，由 ，消元可得，设 ， ，则 ， ，由 ，得 ，即 ，又 ， ， .【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，通常抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数性质的探求来使问题得以解决.21（1） 的普通方程为： ， 的直角坐标方程为： ；（2）.【解析】- 21 -【分析】（1）直接消参可得曲线 的普通方程，整理 可得 ，将代入即可求得曲线 的直角坐标方程，问题得解。（2）利用伸缩变换 求得曲线 ： ，利用椭圆的参数方程可设，结合点到直线距离公式及辅助角公式即可解决问题。【详解】解：（1） ，消参可得曲线 的普通方程为： ， ， ，又 ,代入可得： .故曲线 的直角坐标方程为： .（2）曲线 ： ，经过伸缩变换 得到曲线 的方程为： ，曲线 的方程为： .设 ，根据点到直线的距离公式可得（其中 ），点 到曲线 的距离的最大值为 .【点睛】本题主要考查了化参数方程为普通方程及化极坐标方程为直角坐标方程知识，还考查了伸缩变换及椭圆的参数方程应用，考查点到直线距离公式、辅助角公式及计算能力，属于中档题。- 22 -
