1、12018-2019 学年江西省南昌市八一中学九年级（下）第二次联考数学试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1方程 x24 x 的根是（ ）A x4 B x0 C x10， x24 D x10， x242如图，是二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c0； b2 a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1； a2 b+c0其中正确的命题是（ ）A B C D3下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D4小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛 4 次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第 5 次，那么硬币正面朝上的概率为（
2、）A1 B C D5下列各式属于最简二次根式的是（ ）A B C D6在 O 中， P 为其内一点，过点 P 的最长弦的长为 8cm，最短的弦的长为 4cm，则 OP 的长为（ ）A cm B cm C2 cm D1 cm7如图，在四个均由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，形状与众不同的是（ ）2A BC D8如图，两个半圆，大半圆中长为 16cm 的弦 AB 平行于直径 CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）A34 cm2 B128 cm2 C32 cm2 D16 cm2二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9方程（
3、x+5）（ x7）26，化成一般形式是 ，其二次项的系数和一次项系数的和是 10选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）（）计算： （）用计算器计算： （保留三位有效数字）11将抛物线 y5 x2先向左平移 5 个单位再向下平移 3 个单位，可以得到新的抛物线是： 12如图，在 Rt ABC 中， AB3， BC4， ABC90，过 B 作 A1B AC，过 A1作 A1B1 BC，得阴影 Rt A1B1B；再过 B1作 B1A2 AC，过 A2作 A2B2 BC，得阴影 Rt A2B2B1；如此下去请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 313已知抛物线 y2
4、x25 x+3 与 y 轴的交点坐标是 14如图，在 ABC 中， CAB75，在同一平面内，将 ABC 绕点 A 旋转到 AB C的位置，使得 CC AB，则 BAB 15如图所示： AP、 PB、 AB 分别是三个半圆的直径， PQ AB，面积为 9 的圆 O 与两个半圆及 PQ都相切，而阴影部分的面积是 39，则 AB 的长是 16如图， ABC 是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点 P、 A、 B 为顶点的三角形与 ABC 相似但不全等，则格点 P 的坐标是 三解答题（共 9 小题，满分 72 分）17（6 分）已知 a ， b ，（1）求 ab， a+b 的值
5、；（2）求 的值18（6 分）已知： ABC 的两边 AB、 BC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2（2 k+2） x+k2+2k0 的两个实数根，第三边长为 10问当 k 为何值时， ABC 是等腰三角形？19（6 分）如图，已知矩形 OABC 的两边 OA， OC 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，且点 B（4，3），反比例函数 y 图象与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 E，其中 D（1，3）（1）求反比例函数的解析式及 E 点的坐标；4（2）若矩形 OABC 对角线的交点为 F，请判断点 F 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由20（6 分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸
6、爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的 4 个小球，上面分别标有数字 1，2，3，4一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由21（8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1）（1）把 ABC 向上平移 5
7、 个单位后得到对应的 A1B1C1，画出 A1B1C1，并写出 C1的坐标；（2）以原点 O 为对称中心，再画出与 A1B1C1关于原点 O 对称的 A2B2C2，并写出点 C2的坐标22（8 分）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是 O 的切线，切点为 B AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、 C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E（1）求证： CB 平分 ACE；5（2）若 BE3， CE4，求 O 的半径23（8 分）某小区在绿化工程中有一块长为 20m、宽为 8m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 56m2，两块绿地之间及
8、周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度24（12 分）已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且a b（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围25（12 分）如图，点 E 在菱形 ABCD 的对角线
9、 BD 上，连接 AE，且 AE BE， O 是 ABE 的外接圆，连接 OB（1）求证： OB BC；6（2）若 BD ，tan OBD2，求 O 的半径72018-2019 学年江西省南昌市八一中学九年级（下）第二次联考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1方程 x24 x 的根是（ ）A x4 B x0 C x10， x24 D x10， x24【分析】原式利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程整理得： x（ x4）0，可得 x0 或 x40，解得： x10， x24，故选： C【点评】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方
10、法是解本题的关键2如图，是二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c0； b2 a； ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1； a2 b+c0其中正确的命题是（ ）A B C D【分析】根据抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）对进行判断；根据对称轴方程为x 1 对进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0），由此对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，得到 c0，而a+b+c0，则 a2 b+c3 b，由 b0，于是可对进行判断【解答】解： x1 时， y0， a+b+c0，所以正确； x 1，
11、b2 a，所以错误；8点（1，0）关于直线 x1 对称的点的坐标为（3，0），抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0）， ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，所以正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0，而 a+b+c0， b2 a， c3 a， a2 b+c3 b， b0，3 b0，所以错误故选： C【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0， c）3下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的
12、概念求解【解答】解： A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选： B【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合4小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛 4 次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第 5 次，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A1 B C D9【分析】直接利用概率的意义分析得出答案【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，故选： B【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键5下
13、列各式属于最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案【解答】解： A、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；B、 符合最简二次根式的定义，故本选项正确；C、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；D、 被开方数含分母，故本选项错误；故选： B【点评】此题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件，属于基础题，难度一般6在 O 中， P 为其内一点，过点 P 的最长弦的长为 8cm，最短的弦的长为 4cm，则 OP 的长为（ ）
14、A cm B cm C2 cm D1 cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是 8cm；最短弦即是过点 P 且垂直于过点 P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得 CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP 的长【解答】解：如图所示， CD AB 于点 P根据题意，得： AB8 cm， CD4 cm CD AB， CP CD2根据勾股定理，得OP 2 （ cm）10故选： A【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理解题关键是正确理解圆中过一点的最长的弦和最短的弦7如图，在四个均由 16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这四个三角形中，形状与众不同的是（ ）A
15、BC D【分析】分别求 A、 B、 C、 D 选项中各边长，可以判定 B、 C、 D 中三角形为直角三角形， A 为钝角三角形，即可解题【解答】解：图 A 中三角形各边长为 、 、 ，故该三角形为钝角三角形；图 B 中各边长 2、4、 ，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为 1：2；图 C 中各边长长 、 、 ，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为 1：2；图 D 中各边 、2 、5，故该三角形为直角三角形，且两直角边的比值为 1：2，故 B、 C、 D 选项中的三角形均相似，故选： A【点评】本题中考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，考查了相似三角形的证明，考查了勾股定理在直角
16、三角形中的运用，本题中求证 B、 C、 D 选项中的直角三角形相似是解题的关键8如图，两个半圆，大半圆中长为 16cm 的弦 AB 平行于直径 CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）11A34 cm2 B128 cm2 C32 cm2 D16 cm2【分析】作辅助线，连接 OE 和 OB，根据已知条件，可知 OEB 为直角三角形，根据勾股定理可将直角三角形的各边长表示出来，阴影的面积等于以 OB 和 OE 为半径的半圆的面积差【解答】解：若大半圆的圆心为 O，过点 O 作 OE AB 于点 E，连接 OB，弦 AB 与小半圆相切， AB CD，小圆半径为 OE， OE AB， EB
17、 AB8 cm，在 Rt OBE 中，OB2 OE2+EB2， OB2 OE2 EB264，S 阴影 32 cm2；故图中阴影部分的面积为 32 cm2故选 C【点评】注意：不规则图形面积的求法可用几个规则图形面积相加或相减求得二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9方程（ x+5）（ x7）26，化成一般形式是 x22 x90 ，其二次项的系数和一次项系数的和是 1 【分析】一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c0（ a， b， c 是常数且 a0）特别要注意 a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项， bx 叫一次项， c 是常数项，其
18、中 a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：由方程（ x+5）（ x7）26，得x22 x3526，即 x22 x90；12 x22 x90 的二次项系数是 1，一次项系数是2，所以其二次项的系数和一次项系数的和是 1+（2）1；故答案为： x22 x90；1【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化10选做题（从下面两题中任选一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分）（）计算： 0.1 （）用计算器计算： 0.316 （保留三位有效数字）【分析】（1）此题需根据二次根式的乘法法则进行计算，再把所得结
19、果进行化简即可得出答案（2）此题须先把 转化成 ，再与 进行相乘，即可求出答案【解答】解：（） 0.1；（） 0.316，故答案为：0.1，0.316【点评】此题考查了二次根式的乘除法，此题较简单，在解题时要注意最后结果要化简11将抛物线 y5 x2先向左平移 5 个单位再向下平移 3 个单位，可以得到新的抛物线是： y5 x250 x128 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可【解答】解：抛物线 y5 x2先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，新抛物线顶点坐标为（5，3），所得到的新的抛物线的解析式为 y5（ x+
20、5） 23，即 y5 x250 x128，故答案为 y5 x250 x128【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便12如图，在 Rt ABC 中， AB3， BC4， ABC90，过 B 作 A1B AC，过 A1作 A1B1 BC，得13阴影 Rt A1B1B；再过 B1作 B1A2 AC，过 A2作 A2B2 BC，得阴影 Rt A2B2B1；如此下去请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 2 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 16：25，那么所有的阴影部分
21、面积之和可求了【解答】解：易得 ABA1 BA1B1，相似比为 A1B： ABsin A4：5，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 16：25，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和应等于342 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方13已知抛物线 y2 x25 x+3 与 y 轴的交点坐标是 （0，3） 【分析】 y 轴上点的坐标特点为横坐标为 0，纵坐标为 y，把 x0 代入即可求得交点坐标为（0，3）【解答】解：当 x0 时， y3，即交点坐标为（0，3）【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确 y
22、轴上点的坐标横坐标为 014如图，在 ABC 中， CAB75，在同一平面内，将 ABC 绕点 A 旋转到 AB C的位置，使得 CC AB，则 BAB 30 【分析】首先证明 ACC AC C；然后运用三角形的内角和定理求出 CAC30即可解决问题14【解答】解：由题意得：AC AC， ACC AC C； CC AB，且 BAC75， ACC AC C BAC75， CAC18027530；由题意知： BAB CAC30，故答案为 30【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC AC， BAC ACC75是解题关键15如图所示： AP、 PB、 AB 分别是三个半圆的直径，
23、PQ AB，面积为 9 的圆 O 与两个半圆及 PQ都相切，而阴影部分的面积是 39，则 AB 的长是 32 【分析】设最大圆的圆心 O1，中园圆心 O2，小圆 O3，小圆半径 y，中圆半径 x，过 O 点作ON AB 于 N，根据相切两圆的性质求出则 OO1、 OO3、 O1N、 O3N 的长，由勾股定理得到方程求出xy3（ x+y），根据已知求出 xy48，代入即可求出 AB【解答】解：设最大圆的圆心 O1，中园圆心 O2，小圆 O3，小圆半径 y，中圆半径 x，过 O 点作ON AB 于 N，则 OO1 x+y3 OO3 y+3 O1N O1P+PN X Y+3， O3N Y3，由勾股定
24、理根据ON2 OO12 O1N2 OO32 O3N2，（ x+y3） 2（ x y+3） 2（ y+3） 2（ y3） 2，解方程得： xy3（ x+y），因为图中阴影部分的面积是 39，所以 （ x+y） 2 x2 y2939， xy48， x+y16， AB32，故答案为：3215【点评】本题主要考查对相切两圆的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能推出xy3（ x+y）和 xy48 是解此题的关键16如图， ABC 是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点 P、 A、 B 为顶点的三角形与 ABC 相似但不全等，则格点 P 的坐标是 （1，4）或（3，4） 【分析】根
25、据题意作图，因为不全等，可以作相似比为 1：2 的相似三角形，根据图形即可得解【解答】解：如图：此时 AB 对应 PA 或 PB，且相似比为 1：2故点 P 的坐标为：（1，4）或（3，4）【点评】此题考查了相似三角形的性质解题的关键是数形结合思想的应用即根据题意作图解此题还要注意别漏解三解答题（共 9 小题，满分 72 分）17（6 分）已知 a ， b ，（1）求 ab， a+b 的值；16（2）求 的值【分析】（1）直接利用平方差公式分别化简各式进而计算得出答案；（2）利用（1）中所求，结合分母有理化的概念得出有理化因式，进而化简得出答案【解答】解：（1） a + ， b ， ab（ +
26、 ）（ ）1，a+b + + 2 ；（2） +（ ） 2+（ + ） 252 +5+210【点评】此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键18（6 分）已知： ABC 的两边 AB、 BC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2（2 k+2） x+k2+2k0 的两个实数根，第三边长为 10问当 k 为何值时， ABC 是等腰三角形？【分析】因为方程有两个实根，所以0，从而用 k 的式子表示方程的解，根据 ABC 是等腰三角形，分 AB AC， BC AC，两种情况讨论，得出 k 的值【解答】解法一：（2 k+2） 24（ k2+2k）4 k2+8k+44 k28 k0，（2 分）
27、 x x1 k+2， x2 k，（4 分）设 AB k+2， BC k，显然 AB BC而 ABC 的第三边长 AC 为 10（1）若 AB AC，则 k+210，得 k8，即 k8 时， ABC 为等腰三角形；（2）若 BC AC，则 k10，即 k10 时 ABC 为等腰三角形（9 分）解法二：由已知方程得：（ x k2）（ x k）0 x1 k+2， x2 k（4 分）以下同解法一【点评】解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解 k 的值，从而证得 ABC 为等腰三角形1719（6 分）如图，已知矩形 OABC 的两边 OA， OC 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，且点 B（4，3）
28、，反比例函数 y 图象与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 E，其中 D（1，3）（1）求反比例函数的解析式及 E 点的坐标；（2）若矩形 OABC 对角线的交点为 F，请判断点 F 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由【分析】（1）把已知点代入反比例函数的解析式，求出其解析式；再进一步把当 x4 时代入，从而求出 E 点的坐标（2）利用矩形及相似三角形的性质，判断出 F 点与反比例函数图象的关系【解答】解：（1）把 D（1，3）代入 y ，得 3 ， k3 y 当 x4 时， y ， E（4， ）（2）点 F 在反比例函数的图象上理由如下：连接 AC， OB 交于点 F，过 F 作 FH
29、 x 轴于 H四边形 OABC 是矩形， OF FB OB又 FHO BAO90， FOH BOA， OFH OBA ，18 OH2， FH F（2， ）即当 x2 时， y ，点 F 在反比例函数 y 的图象上【点评】本题比较复杂，把反比例函数 y 的图象、矩形的性质及相似三角形的性质相结合，考查了学生对所学知识的综合运用能力20（6 分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的 4 个小球，上面分别标有数字 1，2，3，4一人先从袋中随机摸出一个小球
30、，另一人再从袋中剩下的 3 个小球中随机摸出一个小球若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意可列表或树状图如下：第一次第二次1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4）2 （2，1） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，4）4 （4，1） （4，2） （4，3） 19（5 分）从表可以看出所有可能结果共
31、有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有 8 种， P（和为奇数） ；（2）不公平（8 分）小明先挑选的概率是 P（和为奇数） ，小亮先挑选的概率是 P（和为偶数） ，不公平（10 分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1）（1）把 ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的 A1B1C1，画出 A1B1C1，并写出 C1的
32、坐标；（2）以原点 O 为对称中心，再画出与 A1B1C1关于原点 O 对称的 A2B2C2，并写出点 C2的坐标【分析】根据平移作图的方法作图即可根据图形特征或平移规律可求得坐标为 C1（4，4）； C2（4，4）【解答】解：根据平移定义和图形特征可得： C1（4，4）； C2（4，4）20【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形作旋转后的图形的依据是旋转
33、的性质，基本作法是：先确定图形的关键点；利用旋转性质作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意旋转中心，旋转方向和角度中心对称是旋转 180 度时的特殊情况22（8 分）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是 O 的切线，切点为 B AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、 C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E（1）求证： CB 平分 ACE；（2）若 BE3， CE4，求 O 的半径【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是0 的切线，得到 OB AB，由于 CE 丄 AB，的OB CE，于是得到13，根据等腰三角形的性质得到12，通过等
34、量代换得到结果21（2）如图 2，连接 BD 通过 DBC CBE，得到比例式 ，列方程可得结果【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB， AB 是0 的切线， OB AB， CE 丄 AB， OB CE，13， OB OC，1223， CB 平分 ACE；（2）如图 2，连接 BD， CE 丄 AB， E90， BC 5， CD 是 O 的直径， DBC90， E DBC， DBC CBE， ， BC2 CDCE， CD ， OC ， O 的半径 22【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键23（8 分）某小
35、区在绿化工程中有一块长为 20m、宽为 8m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度【分析】根据矩形的面积和为 56 平方米列出一元二次方程求解即可【解答】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，（203 x）（82 x）56，解得： x12， x2 （不合题意，舍去）答：人行道的宽为 2 米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为 56m2得出等式是解题关键24（12 分）已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0
36、），且a b（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线23段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解
37、析式，消去 y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a b，判断 a0，确定 D、 M、 N的位置，画图 1，根据面积和可得 DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一个公共点时， t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时， t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 y ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0）， a+a+b0，即 b2 a， y ax2+ax+b ax2+ax2 a a（ x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为
38、（ ， ）；（2）直线 y2 x+m 经过点 M（1，0），021+ m，解得 m2， y2 x2，则 ，得 ax2+（ a2） x2 a+20，（ x1）（ ax+2a2）0，24解得 x1 或 x 2， N 点坐标为（ 2， 6）， a b，即 a2 a， a0，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x ， E（ ，3）， M（1，0）， N（ 2， 6），设 DMN 的面积为 S， S S DEN+S DEM |（ 2）1| （3）| ，（3）当 a1 时，抛物线的解析式为： y x2 x+2（ x+ ） 2+ ，有 ， x2 x+22 x，解得： x12， x21，
39、G（1，2），点 G、 H 关于原点对称， H（1，2），设直线 GH 平移后的解析式为： y2 x+t， x2 x+22 x+t，x2 x2+ t0，14（ t2）0，t ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入 y2 x+t，t2，25当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点， t 的取值范围是 2 t 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线
40、一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大25（12 分）如图，点 E 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上，连接 AE，且 AE BE， O 是 ABE 的外接圆，连接 OB（1）求证： OB BC；（2）若 BD ，tan OBD2，求 O 的半径26【分析】（1）根据圆周角定理求出 AOE BOE，求出 OE 平分 AB 且垂直于 AB，即可得出结论；（2）解直角三角形求出 CG 和 EF，根据勾股定理得出方程，求出 r 即可【解答】（1）证明：连接 OA、 OE，设 OE 交 AB 于 F， AE BE， AOE BOE， OA OB， AF BF
41、， OE AB， OFB BFE90， BEF+ EBF90，四边形 ABCD 是菱形， CBD ABD， OB OE， OBE CEB， OBE+ CBD90， OBC90， OB BC；（2）解：连接 AC 交 BD 于 G，27四边形 ABCD 是菱形， AB BC， AC BD， BG BD ， BGC90， GCB+ GBC90， OBD+ CBG90， GCB OBD，在 Rt BCG 中，tan GCBtan OBD2， 2， CG ， BC 8， AB8， BF4，在 Rt BEF 中，tan BEFtan OBD2， 2， EF2，设 O 的半径为 r，在 Rt BOF 中， OF2+BF2 OB2，（ r2） 2+42 r2，解得： r5，即 O 的半径为 5【点评】本题考查了菱形性质、解直角三角形、勾股定理、圆周角定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键28
