1、- 1 -江西省南昌市 2018 届高三数学第二轮复习测试题（二）理（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 其中 为虚数单位，则 的虚部为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到 ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】 虚部为-1，故选 A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.集合 ，
2、,若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求出 ， ，要使 ，则 .【详解】根据题意 ，可得 ，- 2 -，要使 ，则，故选 B.【点睛】本题考查集合的综合运算，属中档题.3.直角 的外接圆圆心 O，半径为 1，且 ，则向量 在向量 方向的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心 O 点在 BC 的中点处，且ABC= ，由向量投影的定义，利用已知条件求出即可【详解】直角 外接圆圆心 O 落在 BC 的中点上，根据题意画出图像，又 O 为ABC 外接圆的圆心，半径为 1，BC 为直径，且 BC=2，OA=
3、AB=1，ABC= ；向量 在向量 方向的投影 |cos = 故选：A【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。4. 的展开式中， 的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 3 -试题分析：由 求展开式中 的系数，由通项公式；， 则系数为； 考点：二项式定理的运用及整体思想5.在圆 内，过点 的最短弦的弦长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，
4、过点 的最短弦长是过点 M 和 OM 垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.【详解】圆 ，化简为： 点 在圆的内部，记圆心为O 点，则最短弦长是过点 M 和 OM 垂直的弦，OM= 根据垂径定理得到弦长为： =故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的，很少联立；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.6.为了得到函数 的图像，可以将 的图像向A. 右平移 个单位 B. 左平移 个单位C. 右平移 个单位 D. 左平
5、移 个单位【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原则进行平移即可.【详解】 = 将函数图像向右平移 个单位得到，- 4 -.故答案为：A.【点睛】点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.7.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆
6、术设计的程序框图，则输出的 n 值为 (参考数据： ， ， )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60= ，不满足条件 S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件 S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：C【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为-
7、5 -止.8.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径 圆心设为 M半径为 r，球心到底面距离为 设球心为 O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为 3，4，5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径 圆心设为 M 半径为 r，球心到底面距离为 设球心为 O，
8、由勾股定理得到 故选 A.- 6 -【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。9.已知实数 满足： .若目标函数 （其中 为常数）仅在 处取得最大值，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用 为目标函数 取得最大值时的唯一最优解，讨论目标函数的斜率满足的条件，从而求出 a 的取值范围【详解】构造二次函数 单调性可知
9、， 得到自变量离轴越远函数值越大，故，且 得到可行域为如图所示，直线斜率为-a,由图像可得到满足-1-a1 即-1a1.故答案选 A.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型）和距离型（ 型） - 7 -(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。10.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着.
10、 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有 种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有 种，共 种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选11.已知各项均为正数的递增数列 的前 项和为 满足 ， ，若 成等差数列，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题 ，可求出 ，由 成等差数列可得 ，由此可得 ，故 ，可求 的最大值【详解】由题 ，则 ，作差得 ， ，由 成等差数列，可得 ，- 8 -分离 化简得 ，故 ， ，选 D.【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的
11、函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题12.已知函数 ，若 和 图象有三条公切线，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设公切线与 分别相切于点 ,对 ， ，根据题意可得，即 ，解得 ，代入化简得 .【详解】设公切线与 分别相切于点 , ，解得 ，代入化简得 ，函数 在区间 递增，在区间 递减，在区间 递增，且 ， 可知 无上界，即 时，方程 有三解，故选 A.【点睛】本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题.二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设函数 （ ） ，若 ， ，则 _【答案】- 9 -【解析】, ，=9a+
12、3b，则 9a+3b=3a +3b， =3,解得： = ，故答案为： .14.若满足 , ， 的 有两个，则实数 的取值范围为_【答案】 （3，6）【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，将 sinABC，AC，BC 代入表示出 sinBAC，根据BAC 的范围确定出 sinBAC 的值域，分类讨论得出 t 的范围即可【详解】ABC= ，AC=3，BC=t，由正弦定理得: 0A .若 ，只有一解；若 1，即 3m6 时，三角形就有两解；综上，m 的范围为(3,6).故答案为：3m6【点睛】此题考查了正弦定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键解三角形问题的技巧：作为三角形问题
13、，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口- 10 -15.已知抛物线 的准线与双曲线 交于 、 两点，点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】 .【解析】试题分析：抛物线焦点 ，由题意 ，且 并被 轴平分，所以点 在双曲线上，得 ，即 ，即 ，所以， ，故 . 故应填 .考点：抛物线；双曲线.16.国务院批准从 2009 年起，将每年 8
14、 月 8 日设置为“全民健身日”,为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所.如图，有一个长方形地块 ，边 为 ，为 地块的一角是草坪（图中阴影部分） ，其边缘线 是以直线 为对称轴，以 为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 ， ， 分别在边 ， 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计） ，将隔离出的 作为健身场所则 的面积为 的最大值为_（单位： ） 【答案】 【解析】【分析】根据题意，目的是求三角形 BEF 的面积的最值，建立坐标系，设出点 P 的坐标，通过求曲线- 11 -的切线方程，将点 B，E，F 的坐标均写出来，再表示出 BE，BF 的长度，
15、即可得到面积的表达式，在对表达式求导研究单调性，进而得到最值.【详解】如图，以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 C 点坐标为(2,4),设边缘线 所在抛物线的方程为 ,把(2,4)代入，得 a=1，所以抛物线的方程为 过 的切线 方程为 ,令 ，得 令 x=2，得,故 ,所以 ,定义域为 ，由 得 所以 S(t)在 上是增函数，由 ，得 在 上是减函数，所以 S 在 上有最大值 故答案为： .【点睛】这个题目考查了函数的实际应用，以及导数在函数最值中的应用，一般实际应用题目，先通过读题理解题意，将实际问题转化为数学模型，用数学表达式将要求的表示出来，再借助
16、数学工具解决最值或者其它问题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.记 为各项为正数的等比数列 的前 项和，已知 .（）求数列 的通项公式;（）令 ，求 的前 n 项和 .【答案】 （） ;（） 。- 12 -【解析】【分析】(1)由等比数列的通项公式得到 = ，又因为 ，代入数据可求得通项；（2）将第一问得到的通项代入可得到 ，裂项求和即可.【详解】 （） = ， ，= 或-4（舍去）故 , ， （） ， 故 .【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是
17、写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18.如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平面平面 为 的中点，连接 （如图 2）.图 1 图 2（）求证： ；（）求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】 （）证明见解析；（） .【解析】【分析】（I）证明 ，结合平面 平面 ，推出 平面 ，然后证明 - 13 -（II）取 AC 中点 F，连接 EF、EC E，设 E 点到平面 BCD 的距离为 ， ，,利用则 求解直线 DE 与平面 BCD 所成的角的正弦值即可【详解】 （） , 则, ，又因为平面 平面且平面 平
18、面 ，所以 平面 ，从而 （）取 AC 中点 F，连接 EF、EC. ，设 E 点到平面 BCD 的距离为 ， ,DE 与平面 BCD 所成角为 ，则 .【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19.我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 （吨） ，用水量不超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨） ，将数据按照分成 9
19、 组，制成了如图所示的频率分布直方图.- 14 -（）若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，试估计全市有多少居民？并说明理由；（）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取 7 户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数学期望【答案】 （）30 万；（） .【解析】【分析】（1）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为 ，解出即可得出（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1，频率 ， ，
20、可得，得 a 据题意可知随机变量 的取值为 0，2，4利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出【详解】 （）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为所以假设全市的人数为 （万人） ，则有 ，解得所以估计全市人数为 30 万.（）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1，因为频率 ，所以 ，得 ，用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7 户居民，所以用水量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户据题意可知随机变量 的取值为 0,2,4- 15 -，其分布列为：0 2 4期望为： 【点睛】本题考查了相互独立、互斥事件的概率计
21、算公式及其数学期望计算公式、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.已知椭圆 的顶点坐标分别为 、 ，且对于椭圆上任意一点（异于 、 ） ，直线 与直线 斜率之积为 .（I）求椭圆的方程；（II）如图，点 是该椭圆内一点，四 边形 的对角线 与 交于点 .设直线 ，记 .求 的最大值.【答案】 （I） ；（II） .- 16 -【解析】【分析】（） , ，可得椭圆的方程；（）通过直线 方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、三角形面积公式，利用基本不等式计算即得结论【详解】 （） , ，椭圆方程为： .（）(注：直线 斜率为 1 可确保 CD/AB)联
22、立 与椭圆方程 ，整理得： , ，又直线 不过点 ，得， ，(当且仅当 时取等号)，所以. .【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及基本不等式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知函数 ,直线 为曲线 的切线（ 为自然对数的底数）.()求实数 的值； () 用 表示 中的最小值，设函数 ，若函数为增函数，求实数 的取值范围.【答案】()1；() .【解析】【分析】- 17 -()根据直线 为曲线 的一条切线，设切点为 ，求导得到方程组求实数的值；（2）设 与 相交于点 ， ，分类讨论，利用导数的正负，即可得出结论【详解】 （）
23、，设切点为 ， 解得（） ， ，知 在区间 递减，在区间 递增，在区间 递减且设 与 相交于点 ，在区间 ，在区间 ，若 ， ， ，与 递增不符时，在区间 ， ，不符时，在区间 ， 恒成立在区间 ， ，所以所以 .【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选做部分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。- 18 -选修 4-4：坐标系与参数方程22.已知直线 l 经过点 ，倾斜角 ，圆 C 的极坐标方程为 .()写出直线 l 的参数方程，并把圆 的方程
24、化为直角坐标方程；()设 l 与圆 相交于 两点，求点 到 两点的距离之积【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（）利用 可求出直线 的参数方程，可利用将极坐标方程转化为直角坐标方程；（）将直线的参数方程代入圆的方程，整理可得 ，由参数的几何意义 ，可得.试题解析：（）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数） 2 分由 ，得 ，所以 ， 4 分得 ，即 5 分（）把 代入 ，得 ， 8 分 10 分考点：1、直线的参数方程；2、极坐标方程化为直角坐标方程；3、参数的几何意义.选修 4-5：不等式选讲23.已知函数()求关于 的不等式 的解集；() ，使得 成立，求实数 的取值范围- 1
25、9 -【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：(1)将函数 写出分段函数，分三种情况讨论分别解得不等式，从而求得不等式的解集；(2)将问题转化为 ，由(1)知 ，且当 时，故 ，从而求得实数 的取值范围.试题解析：(1) ,由 得: 或 或 ,解得: 或 ，所以不等式的解集为: .(2) ,使得 成立,等价于 ,由(1)知 ，当 时 , (当 时取等号 ),所以 ，从而 ,故实数 的取值范围为 .点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 20 -
