1、- 1 -南康中学 20182019 学年度第一学期高三第五次大考数 学（理科）试 卷一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1.已知集合 ， ，则 （ ）1Ax=3sin1Byx=+AB=A. B. C. D. 1,2,)+(,2-0,【答案】A【解析】【分析】先求得集合 A 中绝对值不等式的解集，再求的集合 B 中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合 A， 或 ，对于集合 B，由于 ，所以 .1x-03sin14x+02y所以 .故选 A.1,2B=【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象
2、，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间” ，即的解是 ， 的解是 或 .在研究一个集合时，要注意集合xaxa-xa-的研究对象，如本题中集合 B，研究对象是函数的值域.2.已知复数 （ 为虚数单位） ，则 的虚部为（ ）32iz-=zA. B. C. D. -3i32i-【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数 ，然后求得其虚部.z【详解】依题意 ，故虚部为 ，所以选 B.()3i13ii222z-=-32-【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.- 2 -3.设 ， ， ，则
3、 的大小关系是（ 2018log9a=2019log8b=1209c=,abc）A. B. C. D. bcacab【答案】C【解析】【分析】先确定 ，然后将 利用对数的运算，求得 ，从而得到 的大1,cab，故 .综上所述 ，故选 C.20192lb=cab【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“ 和 ”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于 的，有一个是介于1和 之间的，还有一个是小于 的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到1212了对数和指数函数的性质.4.设函数 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ 540()3xf
4、+则点 到该抛物线的准线的距离为（ ）P- 4 -A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得 的值，根据抛物线的定义求m得 到准线的距离.P【详解】双曲线的右焦点为 ，故 ， ，故抛物线的准线为 ，点 的()2,024m=82x=-P横坐标为 ，故 到准线的距离为 .故选 D.2+【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查抛物线的方程的求解，考查抛物线的定义，属于基础题.7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬
5、至、立春、春分日影长之和为 尺,前九个节气日影长之和为 尺,则小满日影长为( 31.585.)A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺1.524.【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列 ， 是其前 项和，则 = = =85.5，所naSn9S19()2a+5以 =9.5，由题知 = =31.5，所以 =10.5，所以公差 =1，所以5a147a+434a4d-= =2.5，故选 B127d8.正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 13p43p【答案】B【解析】【分析】画出图像，得到该几何体是由两个四棱锥构成，利用锥体体积公式计算得几何体的
6、体积.【详解】画出图像如下图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥- 5 -体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为 ，故底面积为 ；四棱21+=()2=锥的高为 ，故四棱锥的体积为 .则几何体的体积为 .故选 B.113 423【点睛】本小题考查空间几何体的结构，考查锥体的体积计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.椭圆 （ ）的中心点在原点， ， 分别为左、右焦点， ， 分别21xyab+=0a1F2AB是椭圆的上顶点和右顶点， 是椭圆上一点，且 轴， ，则此椭圆的离心P1Px2率为（ ）A. B. C. D. 1325【答案】D【解析】如图所示,把 x=c
7、代入椭圆标准方程： .()210xyab+=则 ,解得 .21cyab+2bya取 ,又 A(0,b),B(a,0),F2(c,0)，2P- 6 - .22,ABPFbakc=-=- PF2 AB, ，化为： b=2c.4 c2=b2=a2c2,即 a2=5c2, .25e本题选择 D 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；cea=只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不
8、等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆21(0,)xyba-=12,F1的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为22xy+M1245=（ ）A. B. C. D. =3yx=yxyx【答案】A【解析】【分析】作 OA 于点 A， 于点 B，可得 ，1FM21F2aOAFBMa=， ，结合双曲线定义可得 从而得到双曲线的渐近线方程.2a=1Bbb【详解】如图，作 OA 于点 A， 于点 B，21- 7 - 与圆 相切，1FM22xya+=1245FM= ， ，2aOAB， a12Bb又点 M 在双曲线上， 122Fb-
9、=+-=整理，得 ，ba双曲线的渐近线方程为 2yx=故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于 a，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.11.函数 的定义域为 ，且 其中 ， 为常数，若对()yfx=R()()xffxj=-+0yfA. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】- 8 -条件 表示函数 为单调递增函数，对 求导后，利用导数大于()120xjj-()xj ()xj零，判断出 为单调递增函数，然后对选项利用对应的函数进行判断，从而得出正确选f项.【详解】因为对任意 ，都有 ，所以函数 为单调递()122,x()120xjj-()xj增函数，即
10、，所以 ，因为 ，故()0xffxaj=-+()fxfa+,xa+为单调递增函数，选项 A 为指数型函数，不妨设 ，满足题意，故选 Af xye=【点睛】本小题主要考查对 的理解，考查导数与单调性的对应关系. 是斜率21yx- 21yx-的公式，根据 或者 可以判断出函数的单调性，前者为增函数，后者为210yx-210-()21210yx-(),0Mal,AB（1）求 的取值范围；a（2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 面积的最大值。xNABD【答案】 （1） ；（2） .4p-=()211480,ABxpap=-F28yx=心率为 ，过 轴正半轴一点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点.
11、63,m3-l,AB（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数 使以线段 为直径的圆经过点 ，若存在，求出实数 的值；若不mABFm存在说明理由.【答案】 （1） ；（2）存在， .216xy+=3m=【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点可得 ,又根据离心率可求 ,利用 ，即可写出椭圆的方程ca22 bc=-（2）由题意可设直线 的方程为 ，联立方程组，消元得一元二次l()30yxm=- 19 -方程，写出 ，利用根与系数的关系可求存在 m.FAB【详解】解：（1） 抛物线 的焦点是28yx=()2,0， ，又 椭圆的离心率为 ，即()2,0c 63ca=， ，则6a=222bac=-故椭圆的
12、方程为 .1xy+（2）由题意得直线 的方程为l()30xm=-由 消去 得 .()2163xym+=- y226x-+-=由 ，解得 .2480D-3m-30(),0(1,+时， ，函数 在区间 上单调递减. f,所以当 时，取得极大值 ；当 时，取得极小值 . x=1=-x2ef=-（2） ，令 ，依题意，函数 在区间()234gax-+()2341aj-+()gx上单调递增，即 在区间 上恒成立. 当 时，显然成立；1, 0, 0a当 时， 在 上单调递增，只须 ，即 ，所以0xj1,2j=-1.当 时， 在 上单调递减，只须 ，即a()j, ()28j-+，所以 .14-0a-综上，
13、的取值范围为 . 1,4-（3） ，即 ，令()fxg()0fxg- 21 -= ， 因为()()3211xhxfgxeax=-+-()21xea-，所以只须 ，令 ， ，0,1 20j ()2xeaj=-，因为 ，所以 ，所以 ，即 单调递增， 2xeaj-e0xjj又 ，即 单调递增，所以 ，所()jj=-()xj 10ejj-以 ，又 ，1e-2所以 .a【点睛】本小题主要考查利用导数求具体函数的单调区间以及极值，考查利用导致求解参数的取值范围问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题.综合性较强，属于难题.利用导数研究函数的性质，主要是通过导数得出函数的单调区间等性质，结合恒成立问题或者存在性问题的求解策略来解决较为复杂的问题.- 22 -
