1、- 1 -江苏省苏州市 2017-2018 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1.已知集合 ，则 _【答案】【解析】，填 2.函数 的定义域是_【答案】【解析】由题设有 ，解得 ，故函数的定义域为 ，填 3.若 ，则 的值等于_【答案】【解析】，填 4.已知角 的终边经过点 ，则 的值等于_【答案】【解析】，所以 ， ，故 ，填 5.已知向量 ， ， ，则 的值为_【答案】8【解析】，所以 ，所以 ，故 ，填 6.已知函数 则 的值为_【答案】【解析】- 2 -，所以 ，填
2、 27.九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20 米，径长（两段半径的和）为 24 米，则该扇形田的面积为_平方米【答案】120【解析】扇形的半径为 ，故面积为 （平方米） ，填 8.已知函数 则函数 的零点个数为_【答案】【解析】的零点即为 的解当 时，令 ，解得 ，符合；当 ，令 ，解得 ，符合，故 的零点个数为 29.已知函数 在区间 上的最大值等于 8，则函数的值域为_【答案】【解析】二次函数的对称轴为 ，故 ，所以 且，对称轴为 ，故所求值域为 ，填 10.已知函数 是定义
3、在 R 上的偶函数，则实数 的值等于_【答案】-1【解析】因为 为偶函数，故 ，所以 ，整理得到 ，即 ，又当 时，有 ， ，故 ， 为偶函数，故填 11.如图，在梯形 ABCD 中， ， P 为线段 CD 上一点，且 ， E 为 BC 的中点，若 ，则 的值为_- 3 -【答案】 【解析】，整理得到，又 ，所以 ，也就是， ，填 12.已知 ，则 的值等于_【答案】【解析】令 ，则 ，所以 ，因为 ，所以故 ，填 点睛：三角变换中，对于较为复杂的角，可用换元法去处理角与角的关系13.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象，若
4、函数 在区间 上有且仅有一个零点，则 的取值范围为_【答案】 .【解析】由题设 ，令 ，解得 ，取 ，分别得到- 4 -，它们是函数在 轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以 ，故，故填 点睛：因为 ，所以该函数的图像必过定点 且在 轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在 内，第二个对称中心的横坐标不在 中，从而得到 14.已知 为非零实数， ，且同时满足： ， ，则 的值等于_【答案】【解析】由题设有 ， ，所以 ，解得 或者 而 ，故 ，所以 ，所以 ，填 点睛：题设中有 3 个变量，两个等式，注意到两个方程都与 相关，故把 看成一个整体，把代入另一个方程就能构建关于 的方程，解出 就能得到 的
5、值，注意 只有一个解二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知全集 ,集合 （1）若 ，求 CUB 和 ；（2）若 ，求实数 m 的取值范围；（3）若 ，求实数 m 的取值范围【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 或 .【解析】试题分析：（1）当 时，求出 ， ，借助数轴可求得- 5 -， （2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为 ，解得 （3）依据交集为空集，得到区间的端点的大小关系为或 ，也即是 或 解析：（1）当 时， ，由 得， ，所以 , ； （2）因为 ，则 ，解得 （3）因为 因为 或 ，
6、 所以 或 16.已知函数 的图象过点 （1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） 为偶函数，理由见解析；（2） 。【解析】试题分析：（1）因为 的图像过 ，代入后得到 ，这样 可化简为，依据奇函数的定义可判断其为奇函数 （2）不等式 可化简为，从而不等式的解为 解析：（1）因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ，所以的定义域为 因为 ，所以 是奇函数 （2）因为 ， 所以 ，所以 ， 所以，所以 ， 解得 17.如图，在四边形 中， - 6 -（1）若 为等边三角形，且 ， 是 的中点，求 ；（2）若 ， ， ，求 【答案】 （1）11；（2） 。【解析
7、】试题分析：（1）由题设可以得到 ，故 就是一组基底，通过线性运算可以得到 ，而 ，故 可以转化基底向量之间的数量积计算另一方面，因为有等边三角形，图形较为规则，故可以建立直角坐标系来计算数量积 （2）要计算 ，关键在于计算 ，可把已知条件 变形为 ，再利用可得 ，最后利用 计算 解析：（1）法一：因为 为等边三角形，且 所以 又所以 ，因为 是 中点，所以 又 ，所以 法二：如图，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，因为- 7 -为等边，且 所以 又 所以 ，所以 因为 是 中点，所以 所以 , 所以 （2）因为 所以 ,因为 所以所以 又 所以所以 所以 18.某地为响
8、应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形 的半径为 200 米，圆心角 ，点 在 上，点 在 上，点 在弧上，设 .（1）若矩形 是正方形，求 的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从 点处向 修建两条观赏通道 和 （宽度不计） ，使 ， ，其中 依 而建，为让市民有更多时间观赏，希望 最长，试问：此时点 应在何处？说明你的理由.【答案】 （1）矩形 是正方形时， （2）当 是 的中点时， 最大【解析】试
9、题分析：（1）因为四边形 是扇形的内接正方形，所以- 8 -，注意到 ，代入前者就可以求出 . （2）由题设可由 ， ，利用两角差的正弦和辅助角公式把 化成 的形式，从而求出 的最大值.解析：（1）在 中， ， ，在 中， ， 所以 ，因为矩形 是正方形， ，所以，所以 ，所以 （2）因为 所以 ， ， 所以, 即 时， 最大，此时 是 的中点 答：（1）矩形 是正方形时， ；（2）当 是 的中点时， 最大 19.已知 ， ，函数 .（1）求 在区间 上的最大值和最小值；（2）若 ， ，求 的值；（3）若函数 在区间 上是单调递增函数，求正数 的取值范围.【答案】 （1） ， （2） （3）【
10、解析】试题分析：（1）利用数量积的计算得到 ，再利用二倍角公式和辅助角公式得到 ，从而可求 在 上的最值 （2） 等价于，把 变形为 ，利用两角差的余弦可以得到 （3）先求出单调增区间为 ，因此存在 ，使得 ，从- 9 -而 ，根据不等式的形式和 可得 ，因此 解析：（1） ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 （2）因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以，所以 ， 所以 （3） ，令 得 ，因为函数 在 上是单调递增函数， 所以存在 ，使得 ，所以有 即 ，因为 所以 又因为 ， 所以 , 所以 从而有 ，所以 ，所以 （另解：由 ，得 .因为 ，所以 ，所以或 ，解得 或 .又 ，所以 ）点睛：
11、对于函数 ，如果它在区间 上单调，那么基本的处理方法是先求出 单调区间的一般形式，利用 是单调区间的子集得到 满足的不等式组，利用 和不等组有解确定整数 的取值即可20.已知函数 （1）当 时，函数 恰有两个不同的零点，求实数 的值；（2）当 时， 若对于任意 ，恒有 ，求 的取值范围； 若 ，求函数 在区间 上的最大值 【答案】(1) ；(2). ；.【解析】- 10 -试题分析：（1）当 时，考虑 的解，化简后得到 或者 ，它们共有两个不同的零点，所以 必有解 ，从而 （2） 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，因此考虑在 上的最小值和 在 上的最大值即可得到 的取值范围（3） 可化为 ，则
12、当 或 时， 在 上递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，比较 的大小即可得到 的表达式解析：（1）当 时， ，由 解得 或 ，由解得 或 因为 恰有两个不同的零点且 ，所以 ，或 ，所以 （2）当 时， ，因为对于任意 ，恒有 ， 即 ，即 ，因为 时， ，所以 ， 即恒有 令 ， 当 时， ， ，所以， 所以 ，所以 当 时， ，这时 在 上单调递增，此时 ； 当 时， ，- 11 -在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， ，而 ，当 时， ; 当 时， ； 当 时， ，这时 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ； 当 时， ， 在 上单调递增，此时 ； 综上所述， 时，点睛：（1）若 对任意的 恒成立，则有 对任意的 恒成立（2）对于含有绝对值符号的函数，我们可以考虑先去掉绝对值符号，把它转化分段函数且不同范围上的解析式是熟悉的形式（如二次函数等） ，然后依据对称轴和分段点的大小关系分类讨论即可，最后再根据单调性的变化进一步细分，从而完成问题的讨论- 12 -
