1、1民族中学 2018-2019 学年第二学期第一次月考高一数学试题第 I 卷（选择题 60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在锐角 ABC 中，角 A、 B 所对的边长分别为 a、 b. 若 2asinB b，则角 A 等于( )A B C D2. ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B2 A， a1， b ，则 c 等于( )A 2 B 2 C D 13.已知在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2b22 a2 ac2 c2，则 sinB等于( )A B C D4.已知等差数列 an的公差为
2、 d(d0)，且 a3 a6 a10 a1332，若 am8，则 m 为( )A 12 B 8 C 6 D 45.如图， ADC 是等边三角形， ABC 是等腰直角三角形， ACB90， BD 与 AC 交于 E点若 AB2，则 AE 的长为( )A B ( ) C D ( )6.已知 ABC 的三边长为 a3， b4， c ，则 ABC 的最大内角为( )A 120 B 90 C 150 D 607.数列 an的通项公式为 an3 n228 n，则数列 an各项中最小项是( )A 第 4 项 B 第 5 项 C 第 6 项 2D 第 7 项8.在数列 an中， a12， an1 anln ，
3、则 an等于( )A 2ln n B 2( n1)ln n C 2 nlnn D 1 nln n9.等比数列 an各项均为正数，且 a1， a3， a2成等差数列，则 ( )A B C D 或10.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )A 240( 1) m B 180( 1) m C 120( 1) m D 30( 1) m11.一个等差数列的项数为 2n，若 a1 a3 a2n1 90， a2 a4 a2n72，且a1 a2n33，则该数列的公差是( )A 3 B 3 C 2 D 112.已知
4、等比数列 an满足 an0， n1,2，且 a5a2n5 2 2n(n3)，则当 n1 时，log2a1log 2a3log 2a2n1 的值为( )A n(2n1) B (n1) 2 C n2 D ( n1) 2第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a2 b20， 0)， x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定 MNP120.(1)求 A、 的值和 M， P 两点间的距离(2)应如何设计，
5、才能使折线段赛道 MNP 最长？20. （12 分）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 bn中的 b3、 b4、 b5.(1)求数列 bn的通项公式；(2)数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列 是等比数列21. （10 分）某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为 6 000 元的电脑商店规定，4购买时先支付货款的 ，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息已知欠款的月利率为 0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店 a 元，写出在第 i(i1,2，36)个月末还款后，
6、货主对商店欠款数的表达式22. （12 分）已知数列 an中， a15 且 an2 an1 2 n1 ( n2 且 n N*)(1)求 a2， a3的值；(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由(3)求通项公式 an.答案1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C 11.B 12.C13. 14.7 15. 20 16.(1) n1 17.解 ， ， b2 a2 ab.cos( A B)cos C1cos 2 C，cos( A B)cos( A B)2sin 2C.cos AcosBsin AsinBcos Ac
7、osBsin AsinB2sin 2C.2sin AsinB2sin 2C.sin AsinBsin 2C. ab c2. b2 a2 c2，即 a2 c2 b2. ABC 为直角三角形(2)由(1)知 ABC 中， B ， A C ，sin Ccos A. 5 sin Acos A， sin(A )0 A ， A . sin(A )1.1 sin(A ) ，即 的取值范围为(1， 18. 解(1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d.因为 a37， a5 a726，所以解得 所以 an32( n1)2 n1，Sn3 n 2 n22 n.所以， an2 n1， Sn n22 n.(2)由
8、(1)知 an2 n1，所以 bn ，所以 Tn (1 ) (1 ) ，即数列 bn的前 n 项和 Tn .19.解 (1)如图，连接 MP，依题意，有 A2 ， 3，又 T ， ， y2 sin x.6当 x4 时， y2 sin 3， M(4,3)又 P(8,0)， MP 5.(2)在 MNP 中， MNP120，MP5.设 PMN ，则 0 60，由正弦定理，得 ， NP sin ， MN sin(60 )，故 NP MN sin sin(60 ) ( sin cos ) sin( 60)0 60，当 30时，折线段赛道 MNP 最长，故将 PMN 设计为 30时，折线段赛道 MNP 最
9、长20. 解(1) 设成等差数列的三个正数分别为 a d， a， a d，依题意，得 a d a a d15，解得 a5.所以 bn中的 b3， b4， b5依次为 7 d,10,18 d.依题意，有(7 d)(18 d)100，解得 d2 或 d13(舍去)故 bn的第 3 项为 5，公比为 2.由 b3 b122，即 5 b122，解得 b1 .所以 bn是以 为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn 2n1 52 n3 .(2)证明 数列 bn的前 n 项和 Sn 52 n2 ，即 Sn 52 n2 .所以 S1 ， 2.因此 是以 为首项，2 为公比的等比数列21.(1) 4
10、020(元) ；(2) yi4 000(10.5%) i a (i1,2，36)7解 (1) 因为购买电脑时，货主欠商店 的货款，即 6 000 4 000(元)，又按月利率 0.5%到第一个月底的欠款数应为 4 000(10.5%)4 020(元)(2)设第 i 个月底还款后的欠款数为 yi，则有 y14 000(10.5%) a，y2 y1(10.5%) a(10.5%) 2 a(10.5%) a，y3 y2(10.5%) a4 000(10.5%) 3 a(10.5%) 2 a(10.5%) a，yi yi1 (10.5%) a4 000(10.5%) i a(10.5%) i1 a(1
11、0.5%) i2 a，由等比数列的求和公式，得 yi4 000(10.5%) i a (i1,2，36)22.(1)a213， a333；(2) 存在实数 1，使得数列 为等差数列；(3)an( n1)2 n1.解 (1) a15， a22 a12 2113， a32 a22 3133.(2) 假设存在实数 ，使得数列 为等差数列设 bn ，由 bn为等差数列，则有 2b2 b1 b3.2 ， . 解得 1.事实上， bn1 bn (an1 2 an)1 (2n1 1)11.综上可知，存在实数 1，使得数列 为首项是 2、公差是 1 的等差数列(3) 由(2)知，数列 为首项是 2，公差为 1 的等差数列 2( n1)1 n1， an( n1)2 n1.8
