1、- 1 -四川省泸县第二中学 2019 届高三数学三诊模拟试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 ，集合 ，则 2log1Mx210NxNMA B C D1x0x2已知复数 （ 为虚数单位） ，那么 的共轭复数为 21izzA B C D3i3i132i32i3等差数列 中， ，则 的前 9 项和等于 na682naA B27 C18 D18 74 的展开式中 项的系数为 5)2(x3xA80 B C D485已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，2:10,yab:4310lxy且双
2、曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 24xA B 2196xy2169yC D243234x6设函数 ，则下列结论错误的是 sin24fxA 的一个周期为 B 的图形关于直线 对称f fx8xC 的一个零点为 D 在区间 上单调递减fx8xf0,47.执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 1，则输出 aS- 2 -A B C. D25631857107128.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 A B C. D2323524(31)4(51)9.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则角 的BC ACabc2cosabBC大小为 A B C D 63
3、35610.用半径为 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半R径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为 A B C. D383732832711.定义在 上的偶函数 （其中 为自然对数的底） ，记 ，()cosxkfee12(log3)af， ，则 ， ， 的大小关系是 2(log5)bf2cabA B C Dacabc12.已知直线 ： 与抛物线 ： 相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，l1ykx2xyAByE点 满足 ， ，过点 作抛物线的切线 ， 与直线 相交于点M/OE/Ml1，则 的值 N2A等于 8 B等于 4 C等于 2 D与 有关k
4、第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知函数 ，则曲线 在点 处切线的倾斜角的余弦值为 lnfxyfxe14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.xy31xy2zxy- 3 -15. 已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与1F22:1(0)xyEab2Fl交于 、 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为_.EPQ22PQF123FE16.在三棱锥 中，底面为 ，且 ，斜边 上的高为 ，三棱锥ABCDRtBCDB1的外接球的直径是 ，若该外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积6ACD的最大值为 三、解答题：共 70 分.解答应写出
5、文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.(本大题满分 12 分)正项等比数列 中，已知 ， .na3426a(I)求 的前 项和 ；S（II）对于 中的 ，设 ，且 ，求数列 的通项公式. n1b1nnbSNnb18(本大题满分 12 分)在某单位的食堂中，食堂每天以 10 元/斤的价格购进米粉，然后以 4.4 元/碗的价格出售，每碗内含米粉 0.2 斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以 2 元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了 80 斤米粉
6、，以 （斤） （其中 ）表示米粉的需求量， （元）表示利润.x501xT(I)估计该天食堂利润不少于 760 元的概率；（II）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的分布列和数学期望.- 4 -19. (本大题满分 12 分)如图，在三棱台 中， 平面 ， ， ， 分别为 ，1ABC1CAB112CMNAC的中点.BC(I)求证： 平面 ；1 1MN（II）若 且 ，求二面角 的大小.ABC1MCN20. (本大题满分 12 分)已知 ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 . 2,0A(,BPA1kPB2k123
7、4(I)求点 的轨迹 的方程；PC（II）设 ， ，连接 并延长，与轨迹 交于另一点 ，点 是 中点，1(,)F2(,0)1FCQR2PF是坐标原点，记 与 的面积之和为 ，求 的最大值. O1QOPRS21.(本大题满分 12 分)已知函数 （其中 为自然对数的底， ）的导函数为32(xfeabce,abcR- 5 -.()yfx(I)当 时，讨论函数 在区间 上零点的个数；0ac()fx(0,)（II）设点 ， 是函数 图象上两点，若对任意的 ，割线(,)Af,Bmfx0m的斜率都大于 ，求实数 的取值范围.B2a请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22
8、 （10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线xOyl2xtyt的参数方程为 （ 为参数） ，在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正C2my x半轴重合的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 .0a(I)若直线 与圆 相切，求 的值；lOa（II）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.CAB、23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 .2()4fxa(I)当 时，求不等式 的解集；3a2()fx（II）若不等式 的解集为实数集 ，求实数 的取值范围.()0fRa- 6 - 7 -四川省泸县第二中学高 2019 届三诊模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-
9、5:DBBBC 6-10:DDDBC 11-12:AC二、填空题13 14. 4 15. 16.5343三、解答题17.解： 设正项等比数列 的公比为 ，则 na0q由 及 得 ，化简得 ，解得 或 （舍34a264q232q1去）.于是 ，所以 ， .12aq12nnSN由已知 ， ，所以当 时，由累加法得 1b11nnb 2n 11222nnn b.12n又 也适合上式，所以 的通项公式为 ， .1bnb2nbN18解：（1）一斤米粉的售价是 元.4.5当 时， .508x2108064Txx当 时， .9故 264,5,9081.Tx设利润 不少于 760 元为事件 ，A利润 不少于 7
10、60 元时，即 .206470x解得 ，即 .70x1- 8 -由直方图可知，当 时，701x.1.35.2065PA（2）当 时， ；x4T当 时， ；6506当 时， ；727580当 时， .8x4所以 可能的取值为 460， 660，860，960.T，460.150.P，2，8.3.T.96015035P故 的分布列为.460.150.286.3ET90.57919.解析：（1）证明：连接 ， ，1BNC设 与 交于点 ，连 ，在三棱台 中， ，则 ，1CGM1ABC12AB12CB则 是 的中点， ，N1则 ， 所以四边形 是平行四边形， 是 的中点，1B NC1NG1- 9 -在
11、 中， 是 的中点，则 ，1ABC MA1MGAB又 平面 ， 平面 ，1N1CN所以 平面 .1（2）解：由 平面 ，可得 平面 ，而 ， ，则1CAB1MABCABC，所以 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点， ， ， 所在MBA M1的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.xyz设 ，则 ，211C， ， ， ， .AC(02)B(20)，1(20)C2(0)N，则平面 的依法法向量为 ，11n设平面 的法向量为 ，则 ，即1CMN22()xyz，210nMC，220xyz，取 ，则 ， ， ，2x2y2z2(1)n，易得二面角 为锐角，1cos1n， 1N所以二面角 的
12、大小为CMN6020.解：（1）设 ， ， ， ， ，(,)Pxy(2,)A(,)B1k2yxykx又 ， ， ，1234k2342xy轨迹 的方程为 （注： 或 ，如不注明扣一分）. C21()xy0y（2）由 ， 分别为 ， ， 的中点，故 ，OR1F2P1/ORPF故 与 同底等高，故 ， ，1P11FRPS11QPFEQOSS当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，此时 ；Qx3()22PO当直线 的斜率存在时，设其方程为： ，设 ， ，()yk1(,)xy,- 10 -显然直线 不与 轴重合，即 ；PQx0k联立 ，解得 ，2(1)43yk22(34)8410xk，故 ，21()0k21
13、2234kx故 ，212|PQk21212()()43kkxx点 到直线 的距离 ，O2|d，令 ，21(1)|6234kSPQ234(,)uk故 ，2u21(0,)2u故 的最大值为 . S321.解：（1） 时，由 ，记 ，0ac()0fxexbe()xg，当 时， ，当 时， ，所以当 时，2e()xg 1()g1x()0x1x取得极小值 ， (当 即 时，函数 在区间 上无零点；eb()fx(0,)当 即 时，函数 在区间 上有一个零点；当 即 时，函数 在区间 上有两个零点； e()fx(,)（2） ，2()3xfab， ，22e4mf m322eemmABabck ab- 11 -
14、依题意：对任意的 ，都有 ，(0,)m2 223ee4mmababm即 ， 221ee4ma记 ， ，()h22m221()ee4mha记 ，则 . 记 ，() 2231()e48ma()r则 ，22221 1()e()e()06662m mr所以 时， 递增，所以 ，0,()r(04ra当 即 时， ，即 ，所以 在区间 上单调142a12()()(0,)递增，所以 ，得到 ，从而 在区间 上单调递增，()0mhm(h,所以 恒成立； h当 即 时，因为 时， 递增，所以 ，142a12(0,)()r1(0)042ra所以存在 ，使得 时， 即 ，所以 在区间 上单0x0mxr0m,)x调递
15、减，所以 时， 即 ，0()()h所以 时， 在区间 上单调递减，所以 时，0xh0,x0x，从而 不恒成立。综上：实数 的取值范围是()hm()ma1,)222解：（1）圆 的直角坐标方程为 ，O22xy直线 的一般方程为 ，l20xy ， ；0541d5a（2）曲线 的一般方程为 ，代入 得 ，C2yx20y20x ， ，12x12x- 12 - .124ABx2541523. 解：（1）当 时， . 3a()3fx. 2() 0fx或 或01231x7x或 或 或 .x3当 时，不等式 的解集为 .a2()fx1(-,)(7,)3（2） 的解集为实数集 对 恒成立.()0fx24RaxxR又 ，2 22 4,(1),45xg .max()(1)-3 .故 的取值范围是 .-,+
