1、- 1 -四川省棠湖中学 2019 届高三数学 4 月月考试题 理满分：150 分 时间：120 分钟第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则|12Ax12|logBxABA B C D|04x|02x|132.若 ，则2ziizA B C D15i125i215i215i3函数 的图像大致为 20)(xf4已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3 C2 D05.已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范22xymn围是A. B
2、. C. D.1,31,30,30,36.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是283A. B. C. D.1712028- 2 -7.在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 AB BC， AB=6， BC=8，AA 1=4，则 V 的最大值是A.4 B. C.6 D. 92 328.在 中， ， ，且 的面积为 ，则ABC03ABBCA. 2 B. C. D. 129.7 人乘坐 2 辆汽车，每辆汽车最多坐 4 人，则不同的乘车方法有A. 35 种 B.50 种 C.60 种 D. 70 种10.
3、双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线 的垂线，垂21xyEab： (0b， ） 5Fl足为 ，若 的面积是 1，则双曲线 的实轴长是MOFEA B C. 1 D22211. 中， ， ， ，点 是 内（包括边界）的一动BC50AC25PABC点，且 ，则 的最大值是 3PR（ ）A B C. D27394112.已知函数 满足 ，若函数 与 图()fx()2()fxf2sin)(xg()yfx像的交点为 则12,myy1iiiyA. B.2 C.3m D.m 4m第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 ，若 ，则 2()ln1)fxx()
4、3fa()fa14.已知离散型随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 21N，(3)0.968P(13)P15已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的正弦值为 ， 与圆锥底面所成角为SASB85SA- 3 -45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_SAB 5116.已知函数 为 的零点, 为()sin)(0),24fx+x， ()fx4图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为_yffx51836， 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和是 ，且 是等差数列，已知 ， .nanSn1a3246S（）求 的通项公式；（）
5、若 ，求数列 的前 项和 .12nbanbnT18.（本小题满分 12 分）有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取 5 天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 （ 精确到 0.1） ，若某天的气axby温为 15oC，预测这天热奶茶的销售杯数；（）从表中的 5 天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于 130 的概率.参考数据： ， .125079124 602947103124参考公式： ，21niiixybxba19（本小题满分 12 分）气温 （ oC
6、）x0 4 12 19 27热奶茶销售杯数 y150 132 130 104 94- 4 -如图所示的几何体中， 为三棱柱，且 平面 ，四边形1CBA1ABC为平行四边形， ABCD60,2D（）若 ，求证： 平面 ；111（）若 ，二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的12,AC1AC241CAD体积20.（本小题满分 12 分）如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 轴，直线2:1xyEab(0)12F、 Mx交 轴于 点， ， 为椭圆 上的动点， 的面积的最大值为 1.1MFyH4OQE12Q（）求椭圆 的方程；E（）过点 作两条直线与椭圆 分别交于 ，且使 轴，如图，(4,0)SABCD、 、
7、 、 Ax问四边形 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明ABCD理由. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 .ln1+lfxx（）讨论函数 的单调性；0Ffa（）若 对 恒成立，求 的取值范围.3()fxkx,1k- 5 -（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为xOy1C|2ykxx极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2 cos30（）求 的直角坐标方程；2C（）若 与
8、 有且仅有三个公共点，求 的方程.1 1C23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集()|2fxxM()2fx（）求 ；M（）证明：当 时， ,ab|1|ab- 6 -四川省棠湖中学高 2019 届四月月考数学(理)试题答案一、选择题1-5:CDBBA 6-10:ADADD 11-12:BB二.填空题13. 14. 15. 16.930.936402三、解答题17.解：（1）记 ， ，又 为等差数列，公差记为 ，nSc1cncd， ，得 ， ，得243c2d22nS时， ， 时也满足.综上 .6 分n1nnaSa（2）由（1）得 2b11()22nn (
9、)()(34nT.12 分1218. 解：（）由表格中数据可得， , 2 分4.12xy 5 分06125012 niiixyb 8.4.ya热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为 .6 分8.1460.2xy当气温为 15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为 (杯) 8 分178.6.1450.2y（）设 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120”， 表示事件“所选取该天A B的热奶茶销售杯数大于 130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120 时，销售杯数大于 130”应为事件 10 分B| ，53)(AP52)(- 7 - 32)(|(APB已知所选取该天的热
10、奶茶销售杯数大于 120 时，销售杯数大于 130 的概率为 .12 分3219.解：（1）证明：连接 交 于 ，因为 ，又 平面 ，C11EAC11ABCD所以 ，所以四边形 为正方形，A1 A所以 ，在 中， ，D60,2D由余弦定理得 ，22cosCC所以 ，所以 ，所以 ，又 ，3A2AACD1所以 平面 ，D1所以 ，又因为 从而 平面 5 分1C1,DC1B1（2）如图建立直角坐标系，则 (2,0)(,30),(,23),(0,23)AA11(,023),D设平面 的法向量为 ，由 CA1(,)nxyz即 解得10n111230z1113,0(3,0)xzyn设平面 的法向量为 8
11、 分D122(,)nxy由 得 解得210nCA2203z22,(0,1)xyzn10 分由 得 ，所以 11 分12221cos 4|3n 11,AC此时 所以1,CDA11(23)4CADCV12 分20.解：（）设 ，由题意可得 ，即 .(,0)Fc21cyab2Mba- 8 - 是 的中位线，且 ， .2OH12FM24OH分 ，即 ，整理得 .2|2ba24ab又由题知，当 在椭圆 的上顶点时， 的面积最大，.4 分QE12FM ，整理得 ，即 ，12cbbc()ab联立可得 ，变形得 ，解得 ，进而 .641242021b2a椭圆 的方程式为 6 分E2xy()设 ， ，则由对称性
12、可知 ， .1(,)Ay2(,)B1(,)Dxy21(,)Bxy设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，Cx0tAC0mt联立 ，消去 ，得 ，.8 分21myt22()myt ， ，12ty21ty由 三点共线 ，即 ，ABS、 、 ASBk124yx将 ， 代入整理得 ，1xmyt2xyt1221()(4)0mtyt.10 分即 ，从而 ，化简得 ，1212(4)0yty2()()tt2()mt解得 ，于是直线 的方程为 ， 故直线 过定点 .同理可得tAC1xmyAC1(,0)过定点 ，BD(,0)2直线 与 的交点是定点，定点坐标为 . 12 分(,0)2- 9 -21.解：（1）
13、，.11Fxax21xx分当 时， ， 在 上单调递增.20a0F,当 时， ，故当 或 时， 在 上单调递增.Fx2a0Fx1,当 时，令 ，得 或 ；2a021xa令 ，得 3 分0Fx2aa 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.(,) 2(1,)a(,1)a.5 分（2）设 ，则 ，3gxfkx2231kxgx当 时， ，或 ， ，则 ，0,120,1k200gx 在 上递增，从而 .gx0gx此时， 在 上恒成立.3fkx,若 ，令 ，当 时，2k0g210,13k2(0,1)3xk；0gx当 时， .2(1,)3k0gx ，则 不合题意.min()gx23k故 的取值范围为 12 分
14、k2,322.解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程cosxsiny2C为 .4 分2()4xy- 10 -（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A2由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ，1,Byy1l轴左边的射线为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于y2l2C12C与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有1l2Cl 1l2C两个公共点 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故1l2A1l22|1k或 43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点，1l2C43k1l2C与 有两个公共点2lC当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故2l A2l22|1k或 0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共1l2C43k2lC点10 分23.（I）12,(),12,.xfx当 时，由 得 解得 ；1x()f2,1x当 时， ；2x- 11 -当 时，由 得 解得 .12x()2fx,1x所以 的解集 5 分()f|M（II）由（I）知，当 时， ，,ab,ab从而 ，22222()(1)1()0ab因此 .10 分|.
