1、- 1 -6 距离的计算课后训练案巩固提升A组1.已知向量 n=(1,0,-1)与直线 l垂直,且 l经过点 A(2,3,1),则点 P(4,3,2)到 l的距离为( )A. B. C. D.解析: n=(1,0,-1)与直线 l垂直, n的单位向量 n0= .又 l 经过点 A(2,3,1), =(2,0,1), 在 n上的投影 n0=(2,0,1) . 点 P到 l的距离为.答案:B2.已知平面 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在平面 内,则点 P(-2,1,4)到 的距离为( )A.10 B.3 C. D.解析: 的一个法向量为 n=(-2,-2,1), n0
2、= .又点 A(-1,3,0)在 内, =(-1,-2,4), 点 P到平面 的距离为 | n0|= .答案:D3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,则点 A1到对角线 BC1所在的直线的距离为( )A. a B.a C. a D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,- 2 -则 A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a). =(0,a,-a), =(-a,0,a).| |= a,| |= a. 点 A1到 BC1的距离d= a.答案:A4.导学号 90074046 如图,在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M,N分别是线段BB1,B1C1的中
3、点,则直线 MN与平面 ACD1间的距离是( )A. B. C. D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D1(0,0,1),M ,N ,C(0,1,0).所以 =(-1,0,1), .所以 .又直线 AD1与 MN不重合,所以 MN AD1.又 MN平面 ACD1,所以 MN平面 ACD1.因为 =(-1,0,1), =(0,1,-1),设平面 ACD1的法向量 n=(x,y,z),则 所以- 3 -所以 x=y=z.令 x=1,则 n=(1,1,1).又因为 -(1,0,0)= ,所以点 M到平面 ACD1的距离 d=.故直线 MN与平面 ACD1间的距离为 .答案:D5
4、.如图,在长方体 ABCD-ABCD中, AB=2,BC=3,AA=4,则点 B到直线 AC的距离为 . 解析: AB= 2,BC=3,AA=4,则 B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4), =(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4), =(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0), 上的投影为= . 点 B到直线 AC的距离d= .答案:6.- 4 -如图,已知 ABC是以 B为直角的直角三角形, SA平面 ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点 A到平面 SND的距离为 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 N(0
5、,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0), =(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面 SND的法向量为 n=(x,y,1). n =0,n =0, n=(2,1,1). =(0,0,2), 点 A到平面 SND的距离为 .答案:7.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB= ,BC=1,PA=2,E为 PD的中点 .在侧面 PAB内找一点 N,使 NE平面 PAC,并分别求出点 N到 AB和 AP的距离 .解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有- 5 -A(0,0,0),C( ,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E .
6、所以 =( ,1,0), =(0,0,2).因为点 N在侧面 PAB内,故可设点 N的坐标为( x,0,z),则 .由 NE平面 PAC,可得即化简,得 所以即点 N的坐标为 ,从而点 N到 AB和 AP的距离分别为 1, .8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1是各条棱长均为 a的正三棱柱, D是侧棱 CC1的中点 .求点 C到平面AB1D的距离 .解(方法一)如图,连接 A1B,交 AB1于点 M,连接 DM,则 DM平面 AA1B1B,所以 A1B DM.又 =()( )=| |2-| |2=0,A 1B AB1.A 1B平面 AB1D.即 是平面 AB1D的一个法向量 .故点 C到平面
7、AB1D的距离- 6 -d= a.(方法二)如图,以 B为原点,过点 B与 BC垂直的直线为 x轴, BC所在的直线为 y轴, BB1所在的直线为 z轴,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A ,A1 ,B1(0,0,a),D ,C(0,a,0).可知 .取 AB1的中点 M,则 M . , a +0(-a)=0.DM A1B.又 a2+ -a2=0,A 1B AB1.A 1B平面 AB1D.即 是平面 AB1D的一个法向量 ,故点 C到平面 AB1D的距离 d= a.- 7 -B组1.已知 ABCD-EFGH是棱长为 1的正方体,若点 P在正方体内部且满足 ,则点 P到 AB的距离为(
8、 )A. B. C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 (1,0,0)+ (0,1,0)+ (0,0,1)= .又=(1,0,0), 上的投影为 , 点 P到 AB的距离为 .答案:A2.如图,在直二面角 D-AB-E中,四边形 ABCD是边长为 2的正方形, AEB是等腰直角三角形,其中 AEB=90,则点 D到平面 ACE的距离为( )A. B.C. D.2解析:取 AB的中点 O,以 O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而 =(0,0,2), =(1,1,0), =(0,2,2).设平面
9、ACE的法向量为- 8 -n=(x,y,z),则 令 y=1,则 x=-1,z=-1, n=(-1,1,-1)为平面 ACE的一个法向量 .故点 D到平面 ACE的距离 d= .答案:B3.如图, BCD与 MCD都是边长为 2的正三角形,平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=2 ,则点 A到平面 MBC的距离为 . 解析:取 CD的中点 O,连接 OB,OM,则 OB CD,OM CD.又平面 MCD平面 BCD,则 MO平面 BCD.以 O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得 OB=OM= ,AB=2 ,所以 C(1,0,0),M(0,0, ),B(0,- ,0),A(0,
10、- ,2 ).设 n=(x,y,z)是平面 MBC的法向量,则 =(1, ,0), =(0, ),由 取 n=( ,-1,1).又 =(0,0,2 ),则点 A到平面 MBC的距离 d= .答案:4.- 9 -如图,正方体的棱长为 1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面 A1EF与平面 B1NMD1间的距离为 .解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(1,0,0),B1(1,1,0),E ,F ,D1(0,0,0),M ,N .E ,F,M,N分别是所在棱的中点, MN EF,A1E B1N. 平面 A1EF平面 B1NMD1. 平面 A1EF与平面 B1NMD1间的距离即为 A1
11、到平面 B1NMD1的距离 .设平面 B1NMD1的法向量为 n=(x,y,z), =(1,1,0), , n =0,且 n =0.即( x,y,z)(1,1,0)=0,且( x,y,z) =0.x+y= 0,且 - x+z=0,令 x=2,则 y=-2,z=1. n=(2,-2,1),n0= . =(0,1,0),A 1到平面 B1NMD1的距离为 d=| n0|= .答案:5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1=AB=BC=3,AC=2,D是 AC的中点 .(1)求证: B1C平面 A1BD;(2)求点 B1到平面 A1BD的距离 .(1)证明连接 AB1交 A1B于 E,
12、连接 DE.- 10 -B1C平面 A1BD.(2)解建立如图所示的坐标系,则 B1(0,2 ,3),B(0,2 ,0),A1(-1,0,3),所以 =(0,2 ,3), =(0,2 ,0), =(-1,0,3).设平面 A1BD的法向量为 n=(x,y,z),所以即 取 n=(3,0,1).所以所求距离为 d= .6.导学号 90074047 如图,平面 PAD平面 ABCD,ABCD为正方形, PAD=90,且 PA=AD=2,E,F分别是线段 PA,PD的中点 .问:线段 CD上是否存在一点 Q,使得点 A到平面EFQ的距离为 ?若存在,求出 CQ的值;若不存在,请说明理由 .解由题意知
13、 PA,AD,AB两两垂直,以 A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,- 11 -则 A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段 CD上存在一点 Q满足题设条件 .令 CQ=m(0 m2),则 DQ=2-m. 点 Q的坐标为(2 -m,2,0), =(2-m,2,-1).而 =(0,1,0),设平面 EFQ的法向量为 n=(x,y,z),则令 x=1,则 n=(1,0,2-m)是平面 EFQ的一个法向量 .又 =(0,0,1), 点 A到平面 EFQ的距离 d= ,即(2 -m)2= ,m= 2,不合题意,舍去 .故存在点 Q,且 CQ= 时,点 A到平面 EFQ的距离为 .
