1、- 1 -7 向量应用举例课后篇巩固探究1.在四边形 ABCD 中, =0, ,则四边形 ABCD 是 ( )A.直角梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形解析 由 =0 知 .由 知 BC=AD,且 BC AD,故四边形 ABCD 是矩形 .答案 C2.在直角梯形 ABCD 中, AB CD,AB AD, B=45,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点,则 =( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 以 A 为原点, AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系(图略),则 A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1), 中点 M 的坐标为 , . =2.答案 B3.已知两
2、个力 F1,F2的夹角为 90,它们的合力大小为 20 N,合力与 F1的夹角为 30,那么 F1的大小为( )A.10 N B.10 NC.20 N D.10 N答案 A4.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,ac, |a|=|c|,则|bc|的值一定等于( )A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积C.以 a,b 为两边的三角形的面积D.以 b,c 为两边的三角形的面积解析 设 a 与 b 的夹角为 ,则 |bc|=|b|c|cos(90- )|=|b|a|sin | ,则 |bc|的值一定等于以
3、a,b 为邻边的平行四边形的面积 .答案 A5.已知 ABC 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),( ,0),(0,-2),O 为坐标原点,动点 P 满足 | |=1,则 | |的最小值是( )A.4-2 B. -1 C. +1 D.解析 设 P(x,y),由 | |=1 可知 x2+(y+2)2=1,所以点 P 的轨迹是以 C(0,-2)为圆心,1 为半径的圆,- 2 -又 | |= 的最小值表示点 P 与点( - ,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知, | |的最小值为-1= -1.答案 B6.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P
4、的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为 |v|个单位) .设开始时点 P 的坐标为( -10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为 .解析 设 P 点坐标为( x,y),则有 P (10,-5).答案 (10,-5)7.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P 在线段 AB 的中垂线上,则 x= . 解析 设 AB 的中点为 M,则 M =(x-1,-1),由题意可知 =(-4,-3), ,则=0,所以 -4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得 x= .答案8.如图所示,在倾斜角为 37(sin 37=0.6),高为 2 m 的斜面上,质量为 5 kg 的物体 m 沿斜面下滑,物体
5、 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍,则斜面对物体 m 的支持力所做的功为 J,重力对物体 m 所做的功为 J(g=9.8 m/s2). 解析 物体 m 的位移大小为 |s|= (m),则支持力对物体 m 所做的功为W1=Fs=|F|s|cos 90=0(J);重力对物体 m 所做的功为W2=Gs=|G|s|cos 53=59.8 0.6=98(J).答案 0 989. 导学号 93774084 设 O 为 ABC 的外心,已知 AB=3,AC=4,非零实数 x,y 满足=x +y ,且 x+2y=1,求 cos BAC 的值 .解 设 AC 的中点为 D,则 =x +y =x +2
6、y ,x+ 2y=1,O ,B,D 三点共线,由 O 为 ABC的外心知 OD AC,即 BD AC,在 Rt ADB 中, AB=3,AD= AC=2,所以 cos BAC= .- 3 -10. 导学号 93774085 在重 300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为 30,60(如图 所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小 .解 如图 所示,两根绳子的拉力之和 ,且 | |=| |=300 N, AOC=30, BOC=60.在 OAC 中, ACO= BOC=60, AOC=30,则 OAC=90,从而 | |=| |cos 30=150 (N),| |=| |sin 30=150(N),| |=| |=150 N.故与铅垂线成 30角的绳子的拉力大小是 150 N,与铅垂线成 60角的绳子的拉力大小是 150 N.
