1、- 1 -4 平面向量的坐标课后篇巩固探究A组 基础巩固1.设向量 a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若 a+b= c( R),则 +x 的值是( )A.- B. C.- D.答案 C2.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c= 1a+ 2b,则 1, 2的值分别为( )A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2解析 c= 1a+ 2b, (3,4)= 1(1,2)+ 2(2,3). 解得 1=-1, 2=2.答案 D3.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与 同方向的单位向量是( )A. B.C. D.解析 易得 =(4-1,-1-3)
2、=(3,-4),所以与 同方向的单位向量为 (3,-4)= ,故选A.答案 A4.在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是 ( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析 设 a=k1e1+k2e2,A选项, (3,2)=(k2,2k2), 无解 .B选项, (3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), 解得故 B中的 e1,e2可把 a表示出来 .同理,C,D 选项同 A选项,无解 .答案 B5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1
3、,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d=( )A.(2,6) B.(-2,6)- 2 -C.(2,-6) D.(-2,-6)解析 设 d=(x,y),由题意知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得 x=-2,y=-6,所以 d=(-2,-6).答案 D6.在 ABCD中,若 =(1,3), =(2,5),则 = , = . 解析 =(1,2),=(0,-1).答案 (1,2) (0,-1)7.已知 e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-
4、1,2),以 e1,e2为基底将 a分解为 a1e1+a2e2的形式为 .解析 设 a=a1e1+a2e2(a1,a2R),则( -1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),所以 解得所以 a= e1+ e2.答案 a= e1+ e28.设 =(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a0,b0,O为坐标原点,若 A,B,C三点共线,则 a+ 的值是 . 解析 A ,B,C三点共线, 共线, 存在实数 ,使( a-1,1)= (-b-1,2),解得 = ,a+ .答案9.已知边长为 2的等边三角形 ABC,顶点 A在坐标原点, AB边在 x轴上,点
5、C在第一象限, D为AC的中点,分别求向量 的坐标 .解 如图,等边三角形 ABC的边长为 2,则顶点 A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),C (1, ),D , =(2,0), =(1, ),- 3 - =(1-2, -0)=(-1, ),.10.设 A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当 x为何值时, 共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?解 设点 O为坐标原点,则根据题意有 =(2x,2)-(x,1)=(x,1),=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2), =(5,3x)-(1,2x)=(4,x).由 共
6、线,得 x2-4=0,即 x=2.又 方向相同, x= 2.此时, =(2,1), =(-3,2),而 22-1(-3)=70, 不共线,A ,B,C三点不在同一直线上 . 点 A,B,C,D不在同一直线上 .11.已知点 O是 ABC内一点, AOB=150, BOC=90,设 =a, =b, =c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量 的坐标 .解 (1)设点 A(x,y),B(x0,y0),| a|=2,且 AOx=45,x= 2cos 45= ,且 y=2sin 45= .又 |b|=3, xOB=90+30=120,x 0=3cos 120=- ,y0=3sin 120= .故
7、 a= =( ),b= .(2)如图所示,以点 O为原点, 所在直线为 x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系 .| |=1, AOB=150,B (-cos 30,sin 30),B .| |=3,C (-3sin 30,-3cos 30),- 4 -即 C .又 A(2,0), -(2,0)= ,.B组 能力提升1.设 m=(a,b),n=(c,d),规定两向量 m,n之间的一个运算“” 为 m n=(ac-bd,ad+bc),若已知 p=(1,2),p q=(-4,-3),则 q等于( )A.(-2,1) B.(2,1)C.(2,-1) D.(-2,-1)解析 设 q=(x,y),由题设中运
8、算法则,得p q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即 解得故 q=(-2,1).答案 A2.已知向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量 c都可以唯一地表示为c= a+ b( , R),则实数 m的取值范围是( )A.(- ,0)(0, + )B.(- ,3)C.(- ,-3)( -3,+ )D.-3,3)解析 因为平面上任意向量 c都可以用 a,b唯一表示,所以 a,b是平面向量的一组基底,即 a,b为不共线的非零向量,则 3m2 m-3,即 m -3,故选 C.答案 C3.平面上有 A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C在直线 AB上,且 ,连接
9、 DC延长至点E,使 | |= |,则点 E的坐标为 . 解析 ,A 为 BC 中点, 点 C的坐标为(3, -6).又 | |= |,且 E在 DC的延长线上, =- .设 E(x,y),则( x-3,y+6)=- (4-x,-3-y).于是 解得故点 E坐标是 .答案- 5 -4.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 + ( R),试求当点 P在第三象限时 的取值范围 .解 由题意得 =(3+5 ,1+7 ).设点 P(x,y),则 =(x-2,y-3).于是( x-2,y-3)=(3+5 ,1+7 ),所以又点 P在第三象限,所以 解得 - 1.所以 的取值范围为( -
10、 ,-1).5.导学号 93774073 如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC和 OB的交点P的坐标 .解 (方法一)设 =t =t(4,4)=(4t,4t),则 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由 共线的条件知(4 t-4)6-4t(-2)=0,解得 t= , =(4t,4t)=(3,3), 点 P的坐标为(3,3) .(方法二)设 P(x,y),则 =(x,y), 共线, =(4,4), 4x-4y=0. 又 =(x-2,y-6),=(2,-6),且向量 共线,- 6(x-2)+2(6-y)=0. 解
11、由 组成的方程组,得 x=3,y=3, 点 P的坐标为(3,3) .6. 导学号 93774074 已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示 .- 6 -(1)证明:对于任意向量 a,b及常数 m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)及 f(b)的坐标;(3)求使 f(c)=(3,5)成立的向量 c.(1)证明 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2).则 f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又 mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),所以 mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),所以 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)解 f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).(3)解 设向量 c=(x3,y3),则解得 所以 c=(1,3).
