1、- 1 -习题课-直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A 组1.直线 y=x+b 交抛物线 y= x2于 A,B 两点, O 为抛物线顶点, OA OB,则 b 的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.2解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=x+b 代入 y= x2,化简可得 x2-2x-2b=0,故 x1+x2=2,x1x2=-2b,所以 y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又 OA OB,所以 x1x2+y1y2=0,即 -2b+b2=0,则 b=2 或 b=0,经检验b=0 时,不满足 OA OB,故 b=2.答案:D2.(2016全国丙高考)已知
2、O 为坐标原点, F 是椭圆 C: =1(ab0)的左焦点, A,B 分别为C 的左、右顶点, P 为 C 上一点,且 PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.解析:由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k0,分别令 x=-c 与 x=0,得 |FM|=k(a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G,由 OBG FBM,得 ,即 ,整理,得 ,故椭圆的离心率 e= ,故选 A.答案:A3.已知双曲线 =1(a0,b0)的渐近线均和圆 C:x2+y2-
3、6x+8=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A. =1 B. =1C. -y2=1 D.x2- =1- 2 -解析:圆 C:x2+y2-6x+8=0 可化为( x-3)2+y2=1, 圆心为(3,0),半径为 1.双曲线 =1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x. 双曲线的渐近线与圆 C 相切, =1.又双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,c= 3.结合 c2=a2+b2解得 b=1,a=2 . 双曲线的方程为 -y2=1.故选 C.答案:C4.已知双曲线 =1(a0,b0)与直线 y=2x 有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.(1, ) B.(1,
4、)( ,+ )C.( ,+ ) D. ,+ )解析:直线 y=2x 必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率 |k|2,即 2,则有 4,所以 e2= 5,所以 e .故选 C.答案:C5.若过椭圆 =1 内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 . 解析:设弦两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =1, =1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2 代入得, =- . 所求直线的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0.答案: x+2y-4=06.过原点的直线 l 与双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右两支分别相交于 A,B 两
5、点, F(-,0)是双曲线 C 的左焦点,若 |FA|+|FB|=4, =0,则双曲线 C 的方程为 . - 3 -解析: ,FA FB, AFB 为直角三角形 . 过原点的直线 l 与双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右两支分别相交于 A,B 两点, F(- ,0)是双曲线 C 的左焦点, |AB|= 2 .设 |FB|=x,则 |FA|=4-x,x 2+(4-x)2=12,x 2-4x+2=0,x= 2 ,|FB|= 2+ ,|FA|=2- , 2a=|FB|-|FA|=2 ,a= ,b= 1, 双曲线 C 的方程为 -y2=1.答案: -y2=17.设 O 为坐标原点, F 为抛物线
6、 y2=4x 的焦点, A 为抛物线上一点,且 =-4,则点 A 的坐标为 . 解析:设 A ,则 ,F (1,0), . =- =-4.整理得, +12 -64=0, =4,即 y0=2. 点 A 坐标为(1, 2).答案:(1, 2)8.焦点分别为(0,5 )和(0, -5 )的椭圆截直线 y=3x-2 所得弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程 .解设椭圆的方程为 =1(ab0),且 a2-b2=(5 )2=50, - 4 -由 消去 y,得 (a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.设弦两端点的横坐标分别为 x1,x2,则 x1+x2= . , ,即 a2=3b2, 此时
7、0.由 得 a2=75,b2=25, 椭圆的方程为 =1.9.抛物线 y2=x 上存在 P,Q 两点关于直线 y-1=k(x-1)对称,求 k 的取值范围 .解设 P(x1,y1),Q(x2,y2),- ,得( y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, y 1+y2=-k. -1=k= (y1+y2)2-2y1y2-2.-k- 2=kk2-2y1(-k-y1)-2, 2k +2k2y1+k3-k+2=0, =4k4-8k(k3-k+2)0,k (-k3+2k-4)0,k (k3-2k+4)0),则 =1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线
8、AB 的方程为 y=kx+1.由 消去 y,整理得x2-4kx-4=0,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.从而 |x1-x2|=4 .由 解得点 M 的横坐标 xM= .同理,点 N 的横坐标 xN=.所以 |MN|= |xM-xN|= =8 .令 4k-3=t,t0,则 k= .当 t0 时, |MN|=2 2 .当 t0),O 为抛物线的顶点, OA OB,点 A 在 x 轴上方,则 ABO 的面积是( )A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2解析:由抛物线的对称性及 OA OB 知直线 OA 的方程为 y=x,由 得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p),所以 |AB|=
9、4p,所以 S ABO= 4p2p=4p2.故选 B.答案:B- 6 -2.抛物线 y=2x2上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=- ,则 m 等于( )A. B.2 C. D.3解析:依题意知 kAB= =-1,而 y2-y1=2( ),x 2+x1=- ,且 在直线 y=x+m 上,即+m,y2+y1=x2+x1+2m, 2( )=x2+x1+2m,2(x2+x1)2-2x2x1=x2+x1+2m, 2m=3,m= .答案:A3.已知两直线 x=1 分别过椭圆 =1 的两个焦点,则直线 y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 . 解析
10、:由题意知椭圆的焦点坐标为( ,0), 两直线 x=1 分别经过椭圆的两个焦点, 4-b2=1,b 2=3. 椭圆方程为 =1.直线 y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后,所得一元二次方程的判别式 0,即方程(4 k2+3)x2+16kx+4=0 的判别式 162k2-16(4k2+3)0,即 k2 ,- k .答案: - k4.设 F1,F2分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,则 的最大值和最小值分别为 . - 7 -解析:易知 a=2,b=1,c= ,所以 F1(- ,0),F2( ,0),设 P(x,y),则 =(- -
11、x,-y)(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3= (3x2-8),因为 x -2,2,故当 x=0,即点 P 为椭圆的短轴端点时, 有最小值 -2.当 x=2,即点 P 为椭圆的长轴端点时, 有最大值 1.答案:1, -25.已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0,6 ).当 APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 解析:设双曲线的左焦点为 F1,如图 .由双曲线的定义知 |PF|=2a+|PF1|, APF 的周长为 |PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由
12、于 2a+|AF|是定值,要使 APF 的周长最小,则应使 |PA|+|PF1|最小,即 P,A,F1三点共线 .A (0,6 ),F1(-3,0), 直线 AF1的方程为 =1,即 x= -3.将其代入 x2- =1 得 y2+6 y-96=0,解得 y=2 或 y=-8 (舍去),因此点 P 的纵坐标为 2 .S APF= |F1F|yA- |F1F|yP= 66 62 =12 .答案:126.已知椭圆 +y2=1,求斜率为 2 的弦的中点轨迹方程 .- 8 -解设直线与椭圆相交所得弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为 M(x,y),则两式相减,得( x1-x2)(x
13、1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.因此 =- =- =2,所以 x+4y=0,由题意知点 M(x,y)落在椭圆内部,则有 +y20).(2)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,此时 A(x0, ),B(x0,- ), =2.当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程 =1 中,得(1 -k2)x2-2kbx-b2-2=0, 依题意可知方程 有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则得 |k|1,=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)- 9 -=(1+k2)x1x2+kb(
14、x1+x2)+b2= =2+ 2.综上可知 的最小值为 2.8. 导学号 90074087 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线 y2=2px(p0)上的两个动点, O 是坐标原点,向量 满足 | |=| |.设圆 C 的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)求证线段 AB 是圆 C 的直径;(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为 时,求 p 的值 .(1)证明因为 | |=| |,所以( )2=( )2,即 +2 -2 ,整理,得 =0,所以 x1x2+y1y2=0. 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的
15、任意一点,则 =0,即( x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.展开上式并将 式代入,得 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.从而可知线段 AB 是圆 C 的直径 .(2)解设圆 C 的圆心坐标为( x,y),则因为 =2px(p0), =2px2(p0),所以 x1x2= .由(1)知 x1x2+y1y2=0,所以 x1x2=-y1y2,所以 -y1y2= .因为 x1x20,所以 y1y20,所以 y1y2=-4p2.- 10 -所以 x= )= +2y1y2)- (y2+2p2),所以圆心的轨迹方程为 y2=px-2p2.设圆心 C(x,y)到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 d= .当 y=p 时, d 有最小值 ,由题设得 ,所以 p=2.
