1、- 1 -第三章 圆锥曲线与方程测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程 x2+(x2+y2-1)2=0 所确定的曲线是( )A.y 轴或圆 B.两点(0,1)与(0, -1)C.y 轴或直线 y=1 D.以上都不正确答案:B2.如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A(-6,0),M 为圆 O 上任一点, AM 的垂直平分线交 OM于点 P,则点 P 的轨迹是( )A.圆 B.抛物线C.椭圆 D.两条直线解析: P 为 AM 垂直平分线上的点,|P
2、M|=|PA|.又 |OP|+|PM|= 10,|PA|+|PO|= 106=|AO|.故 P 点的轨迹是以 A,O 为焦点,长轴长为 10 的椭圆 .答案:C3.双曲线 =1(mn0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为( )A. B. C. D.解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0), 双曲线 =1 的焦点在 x 轴上 .m0,n0,a= ,b= ,c= =1,e= =2,- 2 - mn= .答案:A4.若抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 10,则 P 点坐标为( )A.(9,6) B.(9,6)C.(6,9) D.(6,
3、9)解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为 x=-1.P 到 F 的距离为 10,设 P 为( x,y),x+ 1=10,x= 9.又 P 在抛物线上,y 2=36,y=6,P 点坐标为(9, 6).答案:B5.以双曲线 =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:椭圆的顶点和焦点分别是 =-1 的焦点和顶点, 椭圆的长半轴长为 4,半焦距为 2,且焦点在 y 轴上,故所求方程为 =1.答案:D6.若点 P 是以 F1,F2为焦点的椭圆 =1(ab0)上一点,且 =0,tan PF1F2= ,则此椭圆的离心率 e=( )A. B. C
4、. D.解析:由 =0 得 .则 tan PF1F2= .设 |PF2|=m,则 |PF1|=2m,|F1F2|= m.- 3 -所以 e= .答案:A7.已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= k,则双曲线方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:由题意,知 k= .又 e= k= ,所以 ,即 c= b.易知 a2=5b2-b2=4b2.答案:C8.抛物线 y=x2上到直线 2x-y-4=0 的距离最近的点的坐标是( )A. B.(1,1)C. D.(2,4)解析:设 P(x,y)为抛物线 y=x2上任意一点,则 P 到直线 2x-
5、y-4=0 的距离 d=, 当 x=1 时 d 最小,此时 y=1,故选 B.答案:B9.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 相切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则点 P 的轨迹方程为( )A.x2- =1(x1) B.x2- =1(x0) D.x2- =1(x1)解析:设圆与直线 PM,PN 分别相切于 E,F,则 |PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.|PM|-|PN|=|PE|+|ME|- (|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2, 点 P 的轨迹是以 M(-3,0),N(3,0)为焦点
6、的双曲线的右支,且 a=1,c=3,b 2=8.故双曲线的方程是 x2- =1(x1).答案:A- 4 -10.若点 P 为共焦点的椭圆 C1和双曲线 C2的一个交点, F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,若 =0,则 = ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:设椭圆的方程为 =1(a1b10),双曲线的方程为 =1(a20,b20),它们的半焦距为 c,不妨设 P 为它们在第一象限的交点,因为 =0,故 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.由椭圆和双曲线的定义知,解得 |PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入 式,
7、得( a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即 =2c2,所以 =2.答案:B11.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点, O 为坐标原点,则 OAB 的面积为( )A. B. C. D.解析:由已知得 F ,故直线 AB 的方程为 y=tan 30 ,即 y= x- .设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立将 代入 并整理得 x2- x+ =0,x 1+x2= , 线段 |AB|=x1+x2+p= =12.- 5 -又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d= ,S OAB= |AB|d= 12 .答案:D12. 导学号
8、90074088 在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L -距离”定义为 |P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的“L -距离”之和等于定值(大于 |F1F2|)的点的轨迹可以是( )解析:不妨设 F1(-a,0),F2(a,0),其中 a0,点 P(x,y)是其轨迹上的点, P 到 F1,F2的“L -距离”之和等于定值 b(大于 |F1F2|),所以 |x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即 |x-a|+|x+a|+2|y|=b.当 xa,y0 时,上式可化为 x+y= ;当 xa,y1 或 kb
9、0),则 e=.因为 c=1,所以 a= .所以 b= =1.故所求椭圆的方程为 +y2=1.答案: +y2=115.在抛物线 y2=16x 内,通过点 M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 . 解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A,B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=16x1, =16x2,两式相减得( y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即 ,又 M (2,4)是 A,B 的中点, y 1+y2=24=8,k AB= =2. 所求直线方程为 y=2x.答案: y=2x16. 导学号 90074089 已知双曲线 C1: =1(a0,b
10、0)与双曲线 C2: =1有相同的渐近线,且 C1的右焦点为 F( ,0),则 a= ,b= . 解析:与双曲线 =1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 = ( 0) .C 1的右焦点为( ,0), 0.a 2=4 ,b2=16 ,c 2=20= 5.= ,即 a2=1,b2=4,a= 1,b=2.- 7 -答案:1 2三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分 10 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为 y=x,且过点(4, - ).(1)求双曲线方程;(2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求
11、.解(1) 双曲线的一条渐近线方程为 y=x,a=b , 设双曲线方程为 x2-y2= ( 0) .把(4, - )代入双曲线方程得 42-(- )2= ,= 6, 所求双曲线方程为 x2-y2=6,即 =1.(2)由(1)知双曲线方程为 x2-y2=6, 双曲线的焦点为 F1(-2 ,0),F2(2 ,0). 点 M 在双曲线上, 32-m2=6,m 2=3, =(-2 -3,-m)(2 -3,-m)=(-3)2-(2 )2+m2=-3+3=0.18.(满分 12 分)如图,已知抛物线 C1:x2+by=b2经过椭圆 C2: =1(ab0)的两个焦点 .(1)求椭圆 C2的离心率;(2)设点
12、 Q(3,b),又 M,N 为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若 QMN 的重心在抛物线 C1上,求C1和 C2的方程 .解(1)因为抛物线 C1经过椭圆 C2的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),所以 c2+b0=b2,即 c2=b2.由 a2=b2+c2=2c2,得椭圆 C2的离心率 e= .(2)由(1)可知 a2=2b2,则椭圆 C2的方程为=1.- 8 -联立抛物线 C1的方程 x2+by=b2得 2y2-by-b2=0,解得 y=- 或 y=b(舍去),所以 x= b,即 M ,N .所以 QMN 的重心坐标为(1,0) .因为重心在抛物线 C1上,所以 12+b0
13、=b2,得 b=1.所以 a2=2.所以抛物线 C1的方程为 x2+y=1,椭圆 C2的方程为 +y2=1.19.(满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x2-y2=1.(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 |MF|=2 ,求点 M 的坐标;(2)设斜率为 k(|k|0)交于 A,B 两点, O 为坐标原点, =(-4,-12).(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程;(2)抛物线上一动点 P 从点 A 到点 B 运动时,求 ABP 面积的最大值 .解(1)由 得 x2+2pkx-4p=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2
14、=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.因为 =(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),所以 解得所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y.(2)设点 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与直线 l 平行时, ABP 的面积最大 .设切线方程是 y=2x+t,由 得 x2+4x+2t=0, =42-42t=0,t= 2.此时,点 P 到直线 l 的距离为两平行线间的距离,- 11 -d= .由 得 x2+4x-4=0,|AB|= |x1-x2|= =4 , ABP 面积的最大值为 4 =8 .
15、22. 导学号 90074090(满分 12 分)如图, O 为坐标原点,双曲线 C1: =1(a10,b10)和椭圆 C2: =1(a2b20)均过点 P,且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形 .(1)求 C1,C2的方程;(2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B 两点,与 C2只有一个公共点,且 | |=| |?证明你的结论 .解(1)设 C2的焦距为 2c2,由题意知,2 c2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1.因为点 P 在双曲线 x2- =1 上,所以 =1.故 =3.- 12 -由椭圆的定义知 2a2= =2 .于是 a2
16、= =2.故 C1,C2的方程分别为 x2- =1, =1.(2)不存在符合题设条件的直线 . 若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x= 或x=- .当 x= 时,易知 A( ),B( ,- ),所以 | |=2 ,| |=2 .此时, | | | |.当 x=- 时,同理可知, | | | |. 若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.由 得(3 -k2)x2-2kmx-m2-3=0.当 l 与 C1相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2= ,x1x2= .于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .由 得(2 k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线 l 与 C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式 =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得 2k2=m2-3,因此 =x1x2+y1y2= 0,于是 +2 -2 ,即 | | | |,故 | | | |.- 13 -综合 可知,不存在符合题设条件的直线 .
