1、- 1 -习题课-抛物线方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A 组1.设 AB 为过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦,则 |AB|的最小值为( )A. B.pC.2p D.无法确定解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当 x= ,y=p 时, |AB|min=2p.答案:C2.以抛物线 y2=2px(p0)的焦半径 |MF|为直径的圆与 y 轴的位置关系是( )A.相交 B.相切C.相离 D.不确定解析:由抛物线定义知 |MF|=xM+ ,所以半径 r= ,而圆心为 MF 的中点 ,圆心到 y 轴的距离为 =r,故该圆与 y 轴相切 .答案:B3.已知 F 为抛物线 y2
2、=8x 的焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,则 |FA|-|FB|的值等于 ( )A.8 B.8 C.4 D.4解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2,联立得 消去 y 得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AF|-|BF|=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|= =8 .答案:A4.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到y 轴的距离为( )A. B.1 C. D.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 |AF|+|BF
3、|=3,得 x1+x2+ =3,所以 x1+x2= ,所以线段 AB 的中点到y 轴的距离为 .答案:C5.如图,- 2 -抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F,过抛物线上一点 A(3,y)向准线作垂线,垂足为 B,若 ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )A.y2= x B.y2=xC.y2=2x D.y2=4x解析:设抛物线方程为 y2=2px,取 AB 的中点为 D,由 A(3,y),B ,得 D .因为 ABF 为等边三角形,所以 FD AB.又 F ,所以 ,解得 p=2,故抛物线方程为 y2=4x.答案:D6.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交
4、抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p= . 解析:直线 y=x- ,则 所以 x2-3px+ =0,|AB|=8=x1+x2+p,所以 4p=8,p=2.答案:27.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 的最小值是 . 解析:设直线方程为 x=ky+4,与抛物线的方程联立得 y2-4ky-16=0,y 1+y2=4k,y1y2=-16.=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.故最小值为 32.答案:328.过抛物线 y2=8x 的焦点作直线 l,交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为
5、 3,求 |AB|的值 .解由抛物线 y2=8x 知, p=4.设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,所以 |AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,所以 x1+x2=|AB|-p.由条件知 =3,则 x1+x2=6,所以 |AB|-p=6.又因为 p=4,所以 |AB|=10.- 3 -综上可知, |AB|的值是 10.9.设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC x 轴 .证明:直线 AC 经过坐标原点 O.证明抛物线的焦点为
6、 F .设直线 AB 的方程为 x=my+ ,代入抛物线方程,得 y2-2pmy-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-p2.BC x 轴,且点 C 在准线上,C ,则 kCO= .又由 =2px1,得 kAO= ,故 kCO=kAO,即直线 AC 经过坐标原点 O.10.导学号 90074072 如图,已知动圆 M 过定点 F(0,1)且与 x 轴相切,点 F 关于圆心M 的对称点为 F,动点 F的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程;(2)设 A(x0,y0)是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线 C 相交于另外两点 P,Q.
7、证明:直线 PQ 的斜率为定值 .(1)解设点 F的坐标为( x,y). 点 F与点 F(0,1)关于点 M 对称, 点 M 的纵坐标为 . M 与 x 轴相切, M 的半径长为 . 线段 FF是 M 的直径,|FF|= 2 =y+1,即 =y+1,整理,得 x2=4y,即曲线 C 的方程为 x2=4y.(2)证明设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),如图 .根据题意,知直线 AP 的斜率存在,设为 k1,则直线 AP 的方程为 y-y0=k1(x-x0).将其与 x2=4y 联立并消去 y,得 x2-4k1x+4k1x0-4y0=0,该方程有两个根 x0,x1,则x0+x1=4k1,x
8、1=4k1-x0. 直线 AP,AQ 的倾斜角互补, 直线 AQ 的斜率为 -k1.- 4 -同理,可得 x2=-4k1-x0,x 1+x2=-2x0, 直线 PQ 的斜率 kPQ= =- .根据题意,知 x0为定值, 直线 PQ 的斜率为定值 .B 组1.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角为 的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交于点 A,则AF 的长为( )A.2 B.4 C.6 D.8解析:过点 A 作 AA1准线 l,则 AA1=AF,过点 F 作 FB AA1,则 BFA=30.所以 BA= |AF|.A 1B= |AF|=p=2,|AF|= 4.答案:B2.抛物线 y
9、2=4x 的焦点弦被焦点分成长是 m 和 n 的两部分,则 m 与 n 的关系是( )A.m+n=mn B.m+n=4C.mn=4 D.无法确定解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的轴垂直时, m=2,n=2,m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为 y=k(x-1)(k0) .把 y=k(x-1)代入 y2=4x 并整理,得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,x 1x2=1.m=x 1+1,n=x2+1,x 1=m-1,x2=n-1,代入 x1x2=1,得( m-1)(n-1)=1,即 m+n=mn.答案:A3. 导学号 9007407
10、3 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,则= . 解析:由题意知,抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0), 直线 AB 的方程为 y=k(x-1).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.- 5 -设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=1,y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1, =x1x2+y1y2=1+k2 =-3.答案: -34.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,对称轴为 x 轴,焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 2,且 |FA|OA|=10.(1)求此抛物线 C 的方
11、程;(2)过点(4,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,求证: OA OB.(1)解设抛物线 C:y2=2px(p0),点 A(2,y0),则有 =4p.F , =4-p+ =4+3p=10,p= 2, 抛物线 C 的方程为y2=4x.(2)证明当直线 l 斜率不存在时,此时 l:x=4,联立 解得 A(4,4),B(4,-4),满足 =0,OA OB.当直线 l 斜率存在时,设 l:y=k(x-4),联立方程 消去 y 得 k2x2-(8k2+4)x+16k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2=16,则 =x1x2+y1y2=(1+k2)x
12、1x2-4k2(x1+x2)+16k2=16(1+k2)-32k2-16+16k2=0,即有 OA OB.综上, OA OB 成立 .5.如图,过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 的一条直线与抛物线交于两点 P,Q,过点 P 和抛物线顶点 O 的直线交抛物线的准线于点 M,求证直线 MQ 平行于抛物线 C 的对称轴 .- 6 -证明设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),由题意设直线 PQ 的方程为 y=k ,由 y2=2px 及 y=k消去 x,得到 ky2-2py-kp2=0,则有 y1y2=-p2,即 y2= .由直线 OP 的方程为 y= x,x3=- ,得y3= .因为 P(x1,y1)在抛物线上,所以 2x1= .从而可知 y3=- =(-py1) =- =y2.所以直线MQ 平行于 x 轴,因为抛物线 C 的对称轴为 x 轴,所以直线 MQ 平行于抛物线 C 的对称轴 .
