1、- 1 -4.3 直线与圆锥曲线的交点课后训练案巩固提升1.给出下列曲线,其中与直线 y=-2x-3有交点的所有曲线是( ) 4x+2y-1=0;x 2+y2=3; +y2=1; -y2=1.A. B. C. D.解析:如果不深入思考,采用直线方程 y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法 .y=- 2x-3可变形为 4x+2y+6=0,显然与直线 4x+2y-1=0平行,故排除选项 A,C;将 y=-2x-3代入 +y2=1,并整理,得 9x2+24x+16=0,即(3 x+4)2=0,解得 x=- ,y=- .故已知直线与曲线 有交点
2、,可排除选项 B.故选 D.答案:D2.已知抛物线 y2=4x与直线 x-y=2交于 A,B两点,则线段 AB的中点坐标是( )A.(4,2) B.(2,4)C.(-4,-2) D.(-2,-4)解析:设 A,B两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),把直线 y=x-2代入抛物线方程 y2=4x中,得x2-8x+4=0,x 1+x2=8, =4, -2=2.AB 的中点坐标为(4,2) .答案:A3.已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A,B,则 |AB|等于( )A.3 B.4 C.3 D.4解析:设直线 AB的方程为 y=x+b,由 x2+x+b-
3、3=0x1+x2=-1,得 AB的中点 M ,又 M 在直线 x+y=0上,b= 1,x 2+x-2=0,|AB|= =3 .答案:C4.直线 y-kx-1=0(kR)与椭圆(或圆) =1恒有公共点,则 m的取值范围是( )- 2 -A.1,+ ) B.(0,5)C.(0,k) D.(1,5)解析:直线 y=kx+1过定点(0,1) .依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部, 1,且m0.m 1 .答案:A5.曲线 y=- 与曲线 y+|ax|=0(aR)的交点个数一定是 . 解析:曲线 y=- 即 x2+y2=1(y0),而 y=-|ax|.当 a0 时, y= 当 a0,y20. 抛
4、物线 y2=6x的准线方程为 x=- ,M .A 到准线 x=- 的距离为 2,x 1= ,y1= . 直线 AB的方程为 y= .由 得 x2-5x+ =0,x 1+x2=5,x 2= .y 2=3 .- 3 - =2.答案:27.直线 l:ax+by-3a=0与双曲线 =1只有一个公共点,则 l共有 条,它们的方程是 .解析:当 b=0时, l:x=3, =1,y= 0,此时, l与双曲线只有一个公共点;当 b0 时,消去 y,得(4 b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0.(*)若 4b2-9a2=0,即 = 时,方程( *)为 x=3,只有一个公共点,此时 l:y=
5、(3-x),即 2x3y-6=0;若 4b2-9a20,即 时,二次方程( *)的判别式 =542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36(81a4+16b4-81a4)=3616b40,此时直线 l与双曲线必有两个交点 .综上所述, l共有 3条,其方程为 x-3=0或 2x3y-6=0.答案:3 x-3=0或 2x3y-6=08.在抛物线 y2=4x上恒有两点关于直线 y=kx+3对称,求 k的取值范围 .解设抛物线 y2=4x上的 B,C两点关于直线 y=kx+3对称,则直线 BC的方程为 x=-ky+m(k0),代入 y2=4x,得 y2+4ky-4m=0. 设点 B(x1
6、,y1),C(x2,y2),BC的中点 M(x0,y0),则 y0= =-2k,则 x0=2k2+m. 点 M(x0,y0)在直线 y=kx+3上,- 2k=k(2k2+m)+3.m=- . 又 直线 BC与抛物线交于不同的两点, 方程 中, =16k2+16m0.把 式代入化简,得 1,定点 A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点 S与 A,B两点连线斜率之积为 - .(1)求动点 S的轨迹 C的方程,并指出它是哪一种曲线;(2)若 m= ,问 t取何值时,直线 l:2x-y+t=0(t0)与曲线 C有且只有一个交点 .解(1)设 S(x,y),则 kSA= ,kSB= .由题意,得
7、=- ,即 +y2=1(x m).m 1, 轨迹 C是中心在坐标原点,焦点在 x轴上的椭圆(除去 x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为 2.(2)若 m= ,则曲线 C的方程为 +y2=1(x ).由 消去 y,得 9x2+8tx+2t2-2=0.令 =64t2-362(t2-1)=0,得 t=3.t 0,t= 3.此时直线 l与曲线 C有且只有一个交点 .10.导学号 90074083 如图,设椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点D在椭圆上, DF1 F1F2, =2 , DF1F2的面积为 .(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在 y轴上的圆与椭圆在 x轴的上方有
8、两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径 .解(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2.由 =2 得 |DF1|= c.- 5 -从而 |DF1|F1F2|= c2= ,故 c=1.从而 |DF1|= ,由 DF1 F1F2得 |DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此 |DF2|= .所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故 a= ,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1.(2)如图,设圆心在 y轴上的圆 C与椭圆 +y2=1相交, P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y2
9、0,F1P1,F2P2是圆 C的切线,且 F1P1 F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知, x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(-x1-1,y1).再由 F1P1 F2P2得 -(x1+1)2+ =0.由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3 +4x1=0.解得 x1=- 或 x1=0.当 x1=0时, P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在 .当 x1=- 时,过 P1,P2分别与 F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C.由 F1P1,F2P2是圆 C的切线,且 F1P1 F2P2,知 CP1 CP2.又 |CP1|=|CP2|,故圆 C的半径 |CP1|= |P1P2|= |x1|= .- 6 -
