1、- 1 -第三章 变化率与导数测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1 + x,1+ y),则 等于( )A.4 B.4 xC.4+2 x D.4+2( x)2解析: =4+2 x.答案:C2.若 f(x0)=-3,则 =( )A.-3 B.-12 C.-9 D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为 f(x0)= =-3,所以= +3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0)=-12,故选 B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为 f(
2、x0)= =-3,所以- 2 -=4 =4f(x0)=-12,故选 B.答案:B3.数列 cn为等比数列,其中 c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)(x-c8),f(x)为函数 f(x)的导函数,则 f(0)=( )A.0 B.26 C.29 D.212解析: c 1=2,c8=4,c 1c2c8=84=212,f(x)=(x-c1)(x-c2)(x-c8)+x(x-c1)(x-c2)(x-c8),则 f(0)=c1c2c8=212.答案:D4.已知函数 f(x)的导函数 f(x),且满足 f(x)=2xf(1)+ln x,则 f(1)=( )A.-e B.-1 C.1 D
3、.e解析: f (x)=2xf(1)+ln x,f (x)=2xf(1)+(ln x)=2f(1)+ ,f (1)=2f(1)+1,即 f(1)=-1.答案:B5.函数 f(x)=excos x 的图像在点(3, f(3)处的切线的倾斜角为( )A. B.0 C.钝角 D.锐角解析: f (x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)= excos ,f (3)= e3cos ,又 cos 0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 loa= . 解析:求导得 f(x)=-2x-3,所以在点( a,a-2)处的切线方程为 y-a-2=-2a-3(x-a).令
4、x=0,得y=3a-2;令 y=0,得 x= .所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积 S= 3a-2 a=3,解得 a=, lo a=2.答案:2三、解答题(本大题共 6 小题,需写出演算过程与文字说明,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)设 t0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点,两函数的图像在点 P 处有相同的切线 .试用 t 表示 a,b,c.解因为函数 f(x),g(x)的图像都过点( t,0),所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t0,所以 a=-t2.g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因
5、为 f(x),g(x)在点( t,0)处有相同的切线,所以 f(t)=g(t).而 f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,所以 3t2+a=2bt.将 a=-t2代入上式得 b=t.因此 c=ab=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=xm+ax 的导函数为 f(x)=2x+1,求数列 (nN +)的前n 项和 Sn.解 f (x)=mxm-1+a=2x+1,m= 2,a=1,f (x)=x2+x, ,- 6 -S n=1- + =1- .19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4x3+ax2+bx+5 的图像在 x=1 处的切
6、线方程为 y=-12x,求 f(x)的解析式 .解 f(x)=12x2+2ax+b,y=f (x)在 x=1 处的切线方程为 y=-12x,f (1)=-12,f(1)=-12,解得 a=-3,b=-18,f (x)=4x3-3x2-18x+5.20. 导学号 01844039(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ax3-x2+cx+d(a,c,dR)满足 f(0)=0,f(1)=0,且 f(x)0 在 R 上恒成立 .(1)求 a,c,d 的值 .(2)若 h(x)= x2-bx+ ,解不等式 f(x)+h(x) ,则所求不等式的解集为 ; 若 b= ,则所求不等式的解集为 ; 若
7、b 时,所求不等式的解集为 ;当 b= 时,所求不等式的解集为 ;当 b0.设02-ax10, 0x1(2-ax1)=a -a ,当且仅当 x1= 时取等号, 0x2 . 0x1 , 12-ax12.由 知 x2 ,且 x2=x1(2-ax1),x 1x2 .22. 导学号 01844041(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式 .(2)求证:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值 .- 9 -解(1)方程 7x-4y
8、-12=0 可化为 y= x-3.当 x=2 时, y= .又 f(x)=a+ ,于是解得 a=1,b=3,故 f(x)=x- .(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点 .f (x0)=1+ , 在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= (x-x0),即 y- (x-x0),令 x=0,得 y=- , 切线与直线 x=0 的交点坐标为 .令 y=x,得 y=x=2x0, 切线与直线 y=x 的交点坐标为(2 x0,2x0), 点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 |2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6.- 10 -
