1、1第十八章 平行四边形1.平行四边形的性质(1)根据平行四边形对边相等,可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.(2)平行四边形的对角相等,邻角互补,这是根据平行线的性质进行推导得出的,可以用来求角的度数.(3)平形四边形的对角线互相平分,且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形,可以应用全等三角形的性质进行解题.【例 1】在ABCD 中,AB=6 cm,BC=8 cm,则ABCD 的周长为 cm. 【标准解答】在ABCD 中,AB=6 cm,BC=8 cm, CD=AB=6 cm,AD=BC=8 cm,ABCD 的周长为 6+6+8
2、+8=28(cm).答案:28【例 2】在平面直角坐标系中,ABCD 的顶点 A,B,C 的坐标分别是(0,0),(3,0), (4,2),则顶点 D 的坐标为( )A.(7,2) B.(5,4)C.(1,2) D.(2,1)【标准解答】选 C.如图.四边形 ABCD 是平行四边形,CD=AB,CDAB,ABCD 的顶点 A,B,C 的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),顶点 D 的坐标为(1,2).【例 3】如图,在ABCD 中,AB=3,AD=4,ABC=60,过 BC 的中点 E 作 EFAB,垂足为点 F,与 DC 的延长线相交于点 H,则DEF 的面积是 . 2【标准解答】
3、四边形 ABCD 为平行四边形,AB=CD=3,AD=BC=4,EFAB,EHDC,BFE=90,ABC=60,HCB=B=60,FEB=CEH=180-B-BFE=30,E 为 BC 的中点,BE=CE=2,CH=BF=1,由勾股定理得:EF=EH= .3DFH 的面积= FHDH=4 ,12 3DEF 的面积是 2 .3答案:2 3【例 4】如图,E,F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点,CE=AF,请你猜想:线段 BE 与线段 DF 有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.【标准解答】猜想:BEDF.证明:四边形 ABCD 是平行四边形,CB=AD,CBAD, BCE=DAF在
4、BCE 和DAF 中, =,=,=. BCEDAF,BE=DF,BEC=DFA.3BEDF,即 BE DF.【例 5】如图,在ABCD 中,B=80,AE 平分BAD 交 BC 于点 E,CF/AE 交 AD 于点 F,则1= ( )A.40 B.50 C.60 D.80【标准解答】选 B.因为B=80,所以BAD=100,又 AE 平分BAD,所以BAE=DAE=BEA=50,因为 CF/AE,所以1=BEA=50.【例 6】如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ADBC,AC,BD 相交于点 O.若 AC=6,则线段 AO 的长度等于 . 【标准解答】因为 ABCD,ADBC,所以四边形
5、 ABCD 是平行四边形,所以 AO=OC= AC=3.12答案:3【例 7】如图所示,在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 ABAD,则下列式子不正确的是 ( )A.ACBD B.AB=CDC.BO=OD D.BAD=BCD【标准解答】选 A.四边形 ABCD 为平行四边形,AB=CD,则选项 B 正确;又根据平行四边形的对角线互相平分,BO=OD,则选项 C 正确;又四边形 ABCD 为平行四边形,ABCD,ADBC,ABC+BCD=180,BAD+ABC=180,BAD=BCD,则选项 D 正确;由 BO=OD,假设 ACBD,又OA=OA,ABOADO,AB=AD 与已
6、知 ABAD 矛盾,AC 不垂直 BD,则选项 A 错误.1.已知ABCD 的周长为 32,AB=4,则 BC= ( )4A.4 B.12 C.24 D.281 题图2 题图2.若平行四边形 ABCD 的周长为 22 cm.AC,BD 相交于点 O,AOD 的周长比AOB 的周长小 3 cm,则 AD= ,AB= . 3.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,E 是 CD 延长线上的任意一点,连接 BE交 AD 于点 O,如果ABODEO,则需要添加的条件是 . 4.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE,DF 分别是ABC,ADC 的平分线,且与对角线 AC 分别相交于点 E,F.求证:
7、AE=CF.2.平行四边形的判定(1)若已知条件出现在四边形的边上,则考虑利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明.【例 1】如图,平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AB 的延长线上的一点,且 ECBD,试说明:四边形 BECD 是平行四边形.5【标准解答】因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ABCD,即 BECD,因为 ECBD,所以四边形 BECD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明.【例 2】平行四边形 ABCD 中,DAB=60,点 E,F 分别在 CD,AB 的延长线上,且 AE=AD,C
8、F=CB,试说明:四边形 AFCE 是平行四边形.【标准解答】因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 DCAB,DCB=DAB=60,所以ADE=CBF=60,因为 AE=AD,CF=CB ,所以AED,CFB 是等边三角形,又在平行四边形 ABCD 中,AD=BC,DC=AB,所以 AE=CF,ED=BF,所以 ED+DC=BF+AB, 即 EC=AF,所以四边形 AFCE 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).(3)利用“一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形”说明.【例 3】如图,在ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,若把ADE 绕着点 E 顺时针旋
9、转 180得到CFE.试判断四边形 DBCF 是怎样的四边形?说明你的理由.6【标准解答】 四边形 DBCF 是平行四边形.理由如下:因为ADE 绕点 E 顺时针旋转 180得到CFE,所以ADECFE,且 A,E,C 和 D,E,F 在一条直线上,所以 AD=CF,A=ECF,所以 ABCF.又因为 D 是 AB 的中点,所以 AD=DB=CF,所以四边形 DBCF 是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明.【例 4】如图,已知,平行四边形 ABCD 中,B,D 的平分线分别交 CD,AB 于点 E,F.求证:四边形 D
10、FBE 是平行四边形.【标准解答】四边形 ABCD 是平行四边形,ABC =ADC,A=C,BE,DF 平分ABC,ADC,1=3= ADC,122=4= ABC,121=2=3=4,又DEB=4+C,DFB=3+A,A=C,7DEB=DFB,四边形 DFBE 是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明.【例 5】如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O,E,F 分别为 OB,OD 的中点,过 O 任作一直线分别交 AB,CD 于点 G,H.说明:四边形 EHFG 是平行四边形.【标准解答】连接 GE,FH
11、.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC,ABCD,所以BAO=DCO,又因为AOG=COH,所以AOGCOH.OG=OH.又因为 E,F 分别为 OB,OD 的中点,所以 OE=OF,所以四边形 EHFG 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).1.如图,四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,AO=CO,请添加一个条件 (只添一个即可),使四边形ABCD 是平行四边形. 82.已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB CD,E,F 为对角线 AC 上两点,且 AE=CF,DFBE.求证:四边形 ABCD 为平行四边形.3.如图,在ABCD 中,点 E,F 在对角线
12、 BD 上.且 BE=DF.求证:(1)AE=CF.(2)四边形 AECF 是平行四边形.3.三角形中位线(1)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.(2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系,为我们证明平行或求线段的长提供了依据.【例 1】如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB,选取可以直达 A,B 两点的点 O 处,再分别取 OA,OB 的中点 M,N,量得 MN=20 m,则池塘的宽度 AB 为 m. 【标准解答】由三角形的中位线定理可知,AB=2MN=40 m.答案:40【例 2】已知:如图,在ABC 中,DE,
13、DF 是ABC 的中位线,连接 EF,AD,其交点为O.求证:(1)CDEDBF.(2)OA=OD.9【标准解答】(1)DE,DF 是ABC 的中位线,DF=CE,DFCE,DB=DC.DFCE,C=BDF.在CDE 和DBF 中, =,=,=. CDEDBF(SAS).(2)DE,DF 是ABC 的中位线,DF=AE,DFAE,四边形 DEAF 是平行四边形,EF 与 AD 交于 O 点,AO=OD.1.如图,在ABC 中,CD 是高,CE 是中线,CE=CB,点 A,D 关于点 F 对称,过点 F 作 FGCD,交 AC 边于点 G,连接 GE.若 AC=18,BC=12,则CEG 的周长
14、为 . 1 题图2 题图2.如图,在A 1B1C1中,已知 A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依次连接A 1B1C1的三边中点,得A 2B2C2,再依次连接A2B2C2的三边中点得A 3B3C3,则A 5B5C5的周长为 . 4.矩形的判定矩形的判定方法通常有三种:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义).(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.判定矩形的思路:首先考虑定义法,其次考虑三个角为直角,最后考虑对角线法.10(1)利用“一个直角+平行四边形”来判定矩形.【例 1】如图,ABC 中,AB=AC,点 D(不与点 B 重合)在 BC 上,点
15、E 是 AB 的中点,过点 A 作 AFBC 交 DE 延长线于点 F,连接 AD,BF.(1)求证:AEF BED.(2)若 BD=CD,求证:四边形 AFBD 是矩形.【标准解答】(1)如图所示,AFBC,1 =2,3 =4.点 E 是 AB 的中点,AE=BE,AEF BED (AAS).(2)AEFBED,AF=BD.AFBD,四边形 AFBD 是平行四边形,AB=AC,BD=CD,ADBC,即ADB=90,四边形 AFBD 是矩形.(2)利用“三个角都是直角+四边形”来判定矩形.【例 2】如图,ABCD 的四个内角的平分线相交于点 E,F,G,H.求证:四边形 EFGH是矩形.【标准
16、解答】四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,DAB+ABC=180,AH,BH 分别平分DAB 与ABC,HAB= DAB,12HBA= ABC,HAB+HBA=90,H=90,同理HEF=F=90,12四边形 EFGH 是矩形.(3)利用“对角线相等+平行四边形”来判定平行四边形是矩形.11【例 3】如图,在ABC 中,AB=BC,P 为 AB 边上一点,连接 CP,以 PA,PC 为邻边作APCD,AC 与 PD 相交于点 E,已知ABC=AEP=(090).(1)求证:EAP=EPA.(2)APCD 是否为矩形?请说明理由.【标准解答】(1)在ABC 和AEP 中,ABC=AEP,B
17、AC=EAP, ACB=APE.在ABC 中,AB=BC,ACB=BAC, EPA=EAP.(2)APCD 是矩形,理由如下:四边形 APCD 是平行四边形,AC=2EA, PD=2EP. 由(1)知 EPA=EAP.EA=EP,则 AC=PD.APCD 是矩形.1.如图,在ABC 中,D 是 AB 的中点,E 是 CD 的中点,过点 C 作 CF/AB 交 AE 的延长线于点 F,连接 BF.(1)求证:DB=CF.(2)如果 AC=BC,试判断四边形 BDCF 的形状,并证明你的结论.122.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 ACBD,点 E,F,G,H
18、分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,依次连接各边中点得到四边形 EFGH,求证:四边形 EFGH 是矩形.5.从两个方向出发判定菱形的方法(1)从四边形出发当已知提供的是一般四边形时,要想证明它是菱形,可以从两个角度出发:证出四条边都相等得出菱形;先证出四边形是平行四边形,再以此为基础说明平行四边形的边或对角线的特殊情况去判定菱形.【例 1】已知:如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,BC=CD,ADBD,E 为 AB 中点,求证:四边形 BCDE 是菱形.【标准解答】ADBD,ABD 是直角三角形.E 是 AB 的中点,BE= AB,DE= AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
19、,12 12BE=DE,EDB=EBD,CB=CD,13CDB=CBD,ABCD,EBD=CDB,EDB=EBD=CDB=CBD,BD=BD,EBDCBD (SAS ),BE=BC,CB=CD=BE=DE,四边形 BCDE 是菱形.(四条边相等的四边形是菱形)【例 2】如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形,那么所添加的条件可以是 .(写出一个即可) 【标准解答】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,可得 AB=AD,或 AB=BC;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可得 ACBD.答案:AB=AD 或 A
20、B=BC 或 ACBD(2)从平行四边形出发当已知提供的是平行四边形时,要想证明它是菱形,则需说明此平行四边形的“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可.【例 3】如图,在ABCD 中,EFBD,分别交 BC,CD 于点 P,Q,交 AB,AD 的延长线于点 E,F.已知 BE=BP.求证:(1)E=F.(2)ABCD 是菱形.【标准解答】(1)在ABCD 中,BCAD,141=F,BE=BP,E=1,E=F.(2)BDEF,2=E,3=F,E=F,2=3,AB=AD,ABCD 是菱形.1.如图,在ABC 中,AB=AC,AD,CD 分別是ABC 两个外角的平分线.(1)求证:AC=AD.(2
21、)若B=60,求证:四边形 ABCD 是菱形.2.如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线交于 O,且 BD=6,AC=10,DC= .问:34(1)AC,BD 有什么位置关系?你的理由是什么?(2)四边形 ABCD 是菱形,为什么?156.判定正方形的方法(1)由于正方形的判定条件较多,判定时应根据题目的已知条件,首先确定方法.(2)在判定正方形的过程中,首先考虑使用定义(四条边相等,四个角相等),其次考虑对角线(互相垂直+平分+相等),第三,可以进行分层证明,先证矩形再证菱形,或先证菱形再证矩形.(3)使用对角线时,注意分为三个层次,首先是互相平分,保证是平行四边形,然后证相等(或垂直),
22、是矩形(或菱形),最后证垂直(或相等),是菱形(或矩形).(1)用“一组邻边相等+矩形”来判定【例 1】如图,已知 RtABC 中,ABC=90,先把ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 90至DBE 后,再把ABC 沿射线 AB 平移至FEG,DE,FG 相交于点 H.(1)判断线段 DE,FG 的位置关系,并说明理由.(2)连接 CG,求证:四边形 CBEG 是正方形.【标准解答】(1) DEFG,理由如下:由题意得 A =EDB =GFE ,ABC =DBE =90,BDE+ BED =90.GFE+ BED =90,FHE =90,即 DEFG.(2)ABC 沿射线 AB 平移至FEG,
23、CBGE,CB=GE.16四边形 CBEG 是平行四边形.ABC =GEF =90,四边形 CBEG 是矩形.EG=BE,四边形 CBEG 是正方形.(2)用“一直角+菱形”来判定【例 2】如图,在 RtABC 中,ACB=90,过点 C 的直线 MNAB,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 DEBC,交直线 MN 于点 E,垂足为 F,连接 CD,BE.(1)求证:CE=AD.(2)当 D 在 AB 中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由.(3)若 D 为 AB 中点,则当A 的大小满足什么条件时,四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由.【标准解答】(1)DEBC,D
24、FB=90,ACB=90,ACB=DFB,ACDE,MNAB,即 CEAD,四边形 ADEC 是平行四边形,CE=AD.(2)四边形 BECD 是菱形.理由:D 为 AB 中点,AD=BD,CE=AD,BD=CE,BDCE,四边形 BECD 是平行四边形,ACB=90,D 为 AB 中点,17CD=BD,四边形 BECD 是菱形.(3)当A=45时,四边形 BECD 是正方形.理由:ACB=90,A=45,ABC=A=45,AC=BC,D 为 BA 中点,CDAB,CDB=90,四边形 BECD 是菱形,四边形 BECD 是正方形,即当A=45时,四边形 BECD 是正方形.(3)用“对角线相
25、等+菱形”来判定【例 3】已知:如图,在ABCD 中,O 是 CD 的中点,连接 AO 并延长,交 BC 的延长线于点 E.(1)求证:AODEOC.(2)连接 AC,DE,当B=AEB= 时,四边形 ACED 是正方形?请说明理由. 【标准解答】(1)四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC.D=OCE,DAO=E.又OC=OD,AODEOC.(2)当B=AEB=45时,四边形 ACED 是正方形.18AODEOC,OA=OE.又OC=OD,四边形 ACED 是平行四边形.B=AEB=45,AB=AE,BAE=90.四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,AB=CD.COE=BAE=90.
26、ACED 是菱形.AB=AE,AB=CD,AE=CD.菱形 ACED 是正方形.1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD 四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形 ABCD 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是 ( )A. B.C. D.2.如图,在ABC 中,AB=AC,ADBC,垂足为点 D,AN 是ABC 的外角CAM 的平分线,CEAN,垂足为点 E.(1)求证:四边形 ADCE 为矩形.(2)当ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?并给出证明.193.如图,四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为各边的中
27、点,顺次连接 E,F,G,H,把四边形 EFGH 称为中点四边形.连接 AC,BD,容易证明:中点四边形 EFGH 一定是平行四边形.如果改变原四边形 ABCD 的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:(1)当四边形 ABCD 的对角线满足 AC=BD 时,四边形 EFGH 为菱形.(2)当四边形 ABCD 的对角线满足 时,四边形 EFGH 为矩形. (3)当四边形 ABCD 的对角线满足 时,四边形 EFGH 为正方形. 7.区分特殊平行四边形性质的三种方法(1)从边的角度来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质,而菱形和正方形还具有四条边相等的性质
28、.(2)从角的角度来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质,而矩形和正方形还具有四个角都等于 90的性质. (3)从对角线来看:平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质,而矩形与正方形的对角线还具有相等的性质,菱形与正方形的对角线还具有互相垂直的性质.【例 1】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相垂直平分且相等【标准解答】选 A.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,都具有平行四边形的性质,而平行四边形的对角线的性质是对角线互相平分,故选择 A. 【例 2】 矩形、菱形、
29、正方形都具有的性质是 ( )A.对角相等 B.对角互补C.邻角相等 D.四个角都是直角 20【标准解答】选 A.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,都具有平行四边形的性质,对角相等邻角互补.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )A.对边平分 B.对边平行且相等C.四条边都相等 D.邻边互相垂直答案解析：1.平行四边形的性质【跟踪训练】1.【解析】选 B.四边形 ABCD 是平行四边形,AB=CD,AD=BC,平行四边形 ABCD 的周长是 32,2(AB+BC)=32,BC=12.2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知 BO=OD,故AOD 周长比AOB 的周长小 3 cm
30、,实际上就是 AB-AD=3(cm).由平行四边形的周长为 22 cm 可知 AD+AB=11 cm,解方程组求解,得 AB=7 cm,AD=4 cm.答案:4 cm 7 cm3.【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ABDE,所以ADE=BAD,又对顶角AOB=DOE,若使ABODEO,则少一对边相等,所以可添加的条件为O 是 AD 的中点或 OA=OD;AB=DE;D 是 CE 的中点;O 是 BE 的中点或 OB=OE.答案:O 是 AD 的中点或 OA=OD(答案不唯一)4.【证明】平行四边形 ABCD,AB=DC,ABC=ADC,ABDC,BAC=DCF,又 BE,DF
31、分别平分ABC,ADC,ABE=CDF,ABECDF,AE=CF.2.平行四边形的判定【跟踪训练】1.【解析】AO=CO,BO=DO,21四边形 ABCD 是平行四边形.答案:BO=DO(答案不唯一)2.【证明】ABCD,DCA=BAC,DFBE,DFA=BEC,AEB=DFC,在AEB 和CFD 中, =,=,=.AEBCFD(ASA),AB=CD,ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形.3.【证明】(1)在ABCD 中,ABCD,AB=CD,所以ABE=CDF,又因为 BE=DF,所以ABECDF(SAS),所以 AE=CF.(2)由(1)知ABECDF,可得 AE=CF,AEB=CFD
32、,所以AED=CFB,所以 AECF,所以四边形 AECF 是平行四边形.3.三角形中位线【跟踪训练】1.【解析】由题意得:CE=CB=12, 因为点 F 是 AD 中点,FGCD,所以 FG 是ADC 的中位线,所以 CG= AC=9,因12为点 E 是 AB 的中点,所以 EG 是ABC 的中位线,所以 GE= BC=6,所以CEG 的周长为:CE+GE+CG=12+6+9=27.12答案:272.【解析】因为 A2B2C2是A 1B1C1的三边中点,所以A 2B2C2的周长是 =8,以此类推,A 5B5C5的周7+4+52长为 =1.7+4+52422答案:14.矩形的判定【跟踪训练】1
33、.【解析】(1)CFAB,DAE=CFE,DE=CE,AED=FEC,ADEFCE,AD=CF,AD=DB,DB=CF.(2)四边形 BDCF 是矩形,证明:DB=CF,DBCF,四边形 BDCF 为平行四边形,AC=BC,AD=DB,CDAB,CDB=90,四边形 BDCF 是矩形.2.【证明】点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,EF= AC,GH= AC,EF=GH,同理 EH=FG,四边形12 12EFGH 是平行四边形.又对角线 AC,BD 互相垂直,EF 与 FG 垂直.四边形 EFGH 是矩形.5.从两个方向出发判定菱形的方法【跟踪训练】1.【解析】(1)A
34、B=AC,B=BCA,AD 平分FAC,FAD=B,ADBC,D=DCE,CD 平分ACE,ACD=DCE,D=ACD,AC=AD.(2)B=60,AB=AC, ABC 为等边三角形,AB=BC,ACB=60,FAC=ACE=120,BAD=BCD=120,B=D=60,四边形 ABCD 是平行四边形,23AB=BC,平行四边形 ABCD 是菱形.2.【解析】(1)ACBD.理由如下:在ABCD 中,OC= AC=5,12OD= BD=3,12又在DOC 中,OC 2+OD2=52+32=34,DC2=( )2=34,34DOC 是直角三角形,ACBD.(2)由四边形 ABCD 为平行四边形,
35、得 AO=OC,BO=OD,又 ACBD,ABCD 是菱形.6.判定正方形的方法【跟踪训练】1.【解析】选 B.根据既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形,添加可得到平行四边形 ABCD 是菱形,添加可得平行四边形 ABCD 是矩形,添加可得平行四边形 ABCD 是矩形,添加可得平行四边形 ABCD 是菱形,可知选不能使得四边形 ABCD 是正方形.2.【证明】(1)在ABC 中,AB=AC,ADBC,BAD=DAC.AN 是ABC 的外角CAM 的平分线,MAE=CAE.DAE=DAC+CAE= 180=90. 12又ADBC,CEAN,ADC=CEA=90.四边形 ADCE 为矩形.(2)本
36、题答案不唯一.当BAC=90时,四边形 ADCE 是正方形.证明:BAC=90,AB=AC,ADBC 于 D,ACD=DAC=45,DC=AD.由(1)知四边形 ADCE 为矩形,矩形 ADCE 是正方形.3.【解析】(2)若四边形 EFGH 为矩形,则应有 EFHGAC,EHFGBD,EFEH,故应有 ACBD.24答案:ACBD(3)若四边形 EFGH 为正方形,同上应有 ACBD,又应有 EH=EF,而 EF= AC,EH= BD,故应有 AC=BD.12 12答案:ACBD 且 AC=BD7.区分特殊平行四边形性质的三种方法【跟踪训练】【解析】选 B.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,都具有平行四边形的性质,而平行四边形的对边平行且相等.
