1、- 1 -正方形一课一练基础闯关题组 正方形的性质1.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中的等腰三角形有( )A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个【解析】选 C.在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AB=BC=CD=AD,AO=OD=OC=OB,ABC,BCD,ADC,ABD,AOB,BOC,COD,AOD 都是等腰三角形,一共 8 个.2.(2017六盘水中考)如图,在正方形 ABCD 中,等边三角形 AEF 的顶点 E,F 分别在边 BC 和 CD 上,则AEB=_度.【解析】四边形 ABCD 是正方形,AB=AD,B=D
2、=BAD=90,在 RtABE 和 RtADF 中,RtABERtADF,A=,=,BAE=DAF=(90-60)2=15,AEB=75.答案:753.(2017绍兴中考)如图为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD 为正方形,点 G 在对角线 BD 上,- 2 -GECD,GFBC,AD=1500m,小敏行走的路线为BAGE,小聪行走的路线为 BADEF.若小敏行走的路程为 3100m,则小聪行走的路程为_m.世纪金榜导学号 42684086【解析】连接 CG,由对称性可知 CG=AG,四边形 CEGF 是矩形,CG=EF,AG=EF,DEG 是等腰直角三角形,DE=GE,BA+AG+GE=
3、BA+DE+EF=3100m,则小聪行走的路线为(BA+DE+EF)+AD=3100+1500=4600m.答案:46004.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一点,CE=5,F 为 DE 的中点.若CEF 的周长为 18,则 OF 的长为_.【解析】四边形 ABCD 是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在 RtDCE 中,F 为 DE 的中点,CF= DE=EF=DF.12CEF 的周长为 18,CE+CF+EF=18,CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13.在 RtDCE 中,根据勾股定理,得 DC= =1
4、2,13252BC=12,BE=12-5=7.在BDE 中,- 3 -BO=DO,F 为 DE 的中点,OF 为BDE 的中位线,OF= BE= .12 72答案:725.(2017广安中考)如图,四边形 ABCD 是正方形,E,F 分别是 AB,AD 上的一点,且 BFCE,垂足为 G.求证:AF=BE.世纪金榜导学号 42684087【证明】四边形 ABCD 是正方形,AB=BC,A=ABC=90,AFB+ABF=90.BFCE,BEC+ABF=90,AFB=BEC(等角的余角相等).在AFB 和BEC 中, A=,=,=,AFBBEC(AAS),AF=BE.【变式训练】如图,在正方形 A
5、BCD 中,点 E,F 分别在 AB,BC 上,AF=DE,AF 和 DE 相交于点 G.(1)观察图形,写出图中所有与AED 相等的角.(2)选择图中与AED 相等的任意一个角,并加以证明.【解析】(1)与AED 相等的角有DAG,AFB,CDE.(2)选择AED=AFB.- 4 -在正方形 ABCD 中,DAB=B=90,AD=AB,又DE=AF,RtADERtBAF(HL),AED=AFB.6.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 的中点,AEF=90,EF 交正方形外角的平分线 CF 于 F.求证:AE=EF.世纪金榜导学号 42684088【证明】取 AB 的中点 H,
6、连接 EH;AEF=90,2+AEB=90,四边形 ABCD 是正方形,1+AEB=90,1=2,E 是 BC 的中点,H 是 AB 的中点,BH=BE,AH=CE,BHE=45,CF 是DCG 的平分线,FCG=45,AHE=ECF=135,在AHE 和ECF 中, 1=2,=,=,AHEECF(ASA),AE=EF.题组 正方形的判定1.(2017广安中考)下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;- 5 -对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,其中正确的有 ( )A.4 个 B.3
7、个 C.2 个 D.1 个【解析】选 C.根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故正确;综上所述,正确的说法有 2 个.【变式训练】(2016河北中考)关于ABCD 的叙述,正确的是 ( )A.若 ABBC,则 ABCD 是菱
8、形B.若 ACBD,则 ABCD 是正方形C.若 AC=BD,则 ABCD 是矩形D.若 AB=AD,则 ABCD 是正方形【解析】选 C.当 ABBC 时,ABC=90,ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),故选项A 不正确;ACBD,ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形),故选项 B 不正确;AC=BD, ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故选项 C 正确;AB=AD, ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故选项 D 不正确.2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件AB=BC,ABC=90,AC=BD,A
9、CBD 中选两个作为补充条件,使ABCD 成为正方形(如图).现有下列四种选法,你认为其中错误的是 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.A.四边形 ABCD 是平行四边形,当AB=BC 时,平行四边形 ABCD 是菱形,- 6 -当ABC=90时,菱形 ABCD 是正方形;B.四边形 ABCD 是平行四边形,当ABC=90时,平行四边形 ABCD 是矩形,当 AC=BD 时,这是矩形的性质,无法得出四边形 ABCD 是正方形;C.四边形 ABCD 是平行四边形,当AB=BC 时,平行四边形 ABCD 是菱形,当AC=BD 时,菱形 ABCD 是正方形;D.四边形 ABCD 是平行四边形
10、,当ABC=90时,平行四边形 ABCD 是矩形,当ACBD 时,矩形 ABCD 是正方形.3.ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 ACBD,请添加一个条件_,使得 ABCD 为正方形.【解析】平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直,所以平行四边形 ABCD 是菱形,所以只要对角线相等或有一个角为直角即可.答案:AC=BD(或ABC=90或BCD=90或CDA=90或DAB=90)4.(2017齐齐哈尔中考)矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请你添加一个适当的条件_,使其成为正方形(只填一个即可).【解析】因为对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形
11、是正方形.所以可以添加的条件是ACBD 或 AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB.答案:答案不唯一,如 ACBD 或 AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB5.(2017邵阳中考)如图所示,已知平行四边形 ABCD,对角线 AC,BD 相交于点 O,OBC=OCB.世纪金榜导学号 42684089(1)求证:平行四边形 ABCD 是矩形.(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形.- 7 -【解题指南】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得 OA=OC,OB=OD,根据等角对等边可得 OB=OC,然后求出 AC=BD,再根据对角线相等的平行四边形是
12、矩形证明.(2)在矩形的基础上再加上菱形的特征,便得到正方形.【解析】(1)四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC,OB=OD,OBC=OCB,OB=OC,AC=BD,平行四边形 ABCD 是矩形.(2)AB=AD(或 ACBD 答案不唯一).理由如下:四边形 ABCD 是矩形,又AB=AD,四边形 ABCD 是正方形.(或四边形 ABCD 是矩形,又ACBD,四边形 ABCD 是正方形.)(2017陕西中考)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AD 和 CD 边上的点,AE=CF,连接 AF,CE 交于点 G,求证:AG=CG. 世纪金榜导学号 42684090【证明】四边形
13、ABCD 是正方形,ADF=CDE=90,AD=CD.AE=CF,- 8 -DE=DF,在ADF 和CDE 中 A=,=,=,ADFCDE(SAS),DAF=DCE,在AGE 和CGF 中,=,=,=,AGECGF(AAS),AG=CG.【母题变式】变式一如图,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,F 是边 BC 的中点,连接 CE,DF.求证:CE=DF.【证明】ABCD 是正方形,AB=BC=CD,EBC=FCD=90,又E,F 分别是 AB,BC 的中点,BE=CF,在CEB 和DFC 中, B=,=,=,CEBDFC,CE=DF.变式二如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 上的点,且 AE=BF.求证:CE=DF.- 9 -【证明】在正方形 ABCD 中,AB=BC=CD,B=BCD=90,AE=BF,AB-AE=BC-BF,即 BE=CF,在BCE 和CDF 中, B=,=90,=, BCECDF(SAS),CE=DF.
