1、- 1 -菱形一课一练基础闯关题组 菱形的判定1.(2017河南中考)如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点 O,添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有 ( )A.ACBD B.AB=BCC.AC=BD D.1=2【解析】选 C.选项 A.四边形 ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,ACBD, ABCD是菱形(对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形);选项 B.四边形 ABCD是平行四边形,AB=BC, ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);选项 C.四边形 ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,AC=BD, ABCD是矩形(对角线相等且平分的平行四
2、边形是矩形);选项 D.四边形 ABCD是平行四边形,ADBC,1=ACB,1=2,ACB=2,AB=BC, ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).2.如图,将ABC 沿 BC方向平移得到DCE,连接 AD,下列条件能够判定四边形 ACED为菱形的是 ( )世纪金榜导学号 42684081A.AB=BC B.AC=BCC.B=60 D.ACB=60【解析】选 B.将ABC 沿 BC方向平移得到DCE,AC ED,四边形 ACED为平行四边形,当 AC=BC时,则 DE=EC,平行四边形 ACED是菱形.3.如图,平行四边形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,请你添加一个适当
3、的条件_使其成为菱形- 2 -(只填一个即可).【解析】平行四边形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,添加一个适当的条件为:ACBD 或AOB=90或AB=BC使其成为菱形.答案:ACBD(或AOB=90或 AB=BC)【变式训练】1.(2017岳阳中考)求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知和求证的一部分,请你补全已知和求证,并写出证明过程.已知:如图,在平行四边形 ABCD中,对角线 AC,BD交于点 O.求证:【解析】已知:如图,在平行四边形 ABCD中,对角线 AC,BD交于点 O,ACBD,求证:平行四边形 ABCD是菱形.证明:四边
4、形 ABCD是平行四边形,OA=OC.ACBD,AD=CD.又四边形 ABCD是平行四边形,四边形 ABCD是菱形.2.(2016衢州中考)如图,已知 BD是矩形 ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段 BD的垂直平分线,分别交 AD,BC于 E,F(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)连接 BE,DF,问四边形 BEDF是什么四边形?请说明理由.- 3 -【解析】(1)如图所示,EF 为所求直线.(2)四边形 BEDF为菱形.EF 垂直平分 BD,BE=DE,DEF=BEF,ADBC,DEF=BFE,BEF=BFE,BE=BF,BF=DF,BE=ED=DF=BF,四边形 BEDF为菱形
5、.4.如图,CE 是ABC 外角ACD 的平分线,AFCD 交 CE于点 F,FGAC 交 CD于点 G.求证:四边形 ACGF是菱形.世纪金榜导学号 42684082【证明】AFCD,FGAC,四边形 ACGF是平行四边形,2=3,CE 平分ACD,1=2,1=3,AC=AF,四边形 ACGF是菱形.(教材变形题P60 习题 18.2T6)如图,在ABC 中,AB=AC,B=60,FAC,ECA 是ABC 的两个外角,AD平分FAC,CD 平分ECA.- 4 -求证:四边形 ABCD是菱形.【证明】AB=AC,B=60,ABC 是等边三角形,FAC=120,AB=AC=BC,又 AD平分FA
6、C,DAC=60,同理可证:DCA=60,ADC 是等边三角形,AD=AC=DC,AB=BC=AD=DC,四边形 ABCD是菱形.【一题多解】AB=AC,B=60,ABC 是等边三角形,FAC=120,AB=BC,又 AD平分FAC,DAF=60,B=DAF,ADBC(同位角相等,两直线平行).同理可证:ABCD,四边形 ABCD是平行四边形,又 AB=BC,四边形 ABCD是菱形.题组 菱形性质与判定的综合运用1.如图,在菱形 ABCD中,E,F,G,H 分别是菱形四边的中点,连接 EG与 FH交于点 O,则图中共有菱形 ( )- 5 -A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【解析】选 B.
7、四边形 ABCD是菱形,E,F,G,H 分别是菱形四边的中点,AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,四边形 AEOH,HOGD,EOFB,OFCG和 ABCD均为菱形,共 5个.2.如图,四边形 ABCD的四边相等,且面积为 120cm2,对角线 AC=24cm,则四边形 ABCD的周长为 ( )A.52cm B.40cm C.39cm D.26cm【解题指南】先由菱形的判定方法判定四边形 ABCD为菱形,根据菱形面积公式= ACBD求出 BD的长,再12用勾股定理求出菱形的边长,进而求得四边形 ABCD的周长.【解析】选 A.四边形 ABCD的四边相等,四边
8、形 ABCD为菱形,面积为 120cm2,对角线 AC=24cm,120= 24BD,BD=10(cm),AB= =13(cm),四边形 ABCD的周长为:413=52cm.12 52+1223.如图ABC 中,AD 是角平分线,DEAC 交 AB于点 E,DFAB 交 AC于点 F,若 AE=4cm,那么四边形 AEDF的周长为 ( )世纪金榜导学号 42684083A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.22 cm【解析】选 B.DEAC,DFAB,- 6 -四边形 AEDF是平行四边形,EDA=FAD,EAD=FAD,EAD=EDA,EA=ED,平行四边形 AEDF是菱形.四
9、边形 AEDF的周长为 4AE=16(cm).4.如图,已知四边形 ABCD的四边相等,等边AMN 的顶点 M,N分别在 BC,CD上,且 AM=AB,则C 为 ( )A.100 B.105 C.110 D.120【解析】选 A.四边形 ABCD的四边都相等,四边形 ABCD是菱形,B=D,DAB=C,ADBC,DAB+B=180,AMN 是等边三角形,AM=AB,AMN=ANM=60,AM=AD=AN,B=AMB,D=AND,由三角形的内角和定理得:BAM=NAD,设BAM=NAD=x,则D=AND=180-60-2x,NAD+D+AND=180,x+2(180-60-2x)=180,解得
10、x=20,C=BAD=220+60=100.5.(2017安徽模拟)如图,平行四边形 ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为 E,F,连接 EF,给出下列判断:若AEF 是等边三角形,则B=60,若B=60,则AEF 是等边三角形,若 AE=AF,则平行四边形 ABCD是菱形,若平行四边形 ABCD是菱形,则 AE=AF,其中,结论正确的是_(只需填写正确结论的序号).- 7 -世纪金榜导学号 42684084【解析】AEF 是等边三角形,EAF=60,AE=AF,又AEBC,AFCD,C=120,四边形 ABCD是平行四边形,ABCD,B=180-C=60,故正确;D=B=60,BAE=
11、DAF=90-60=30,BAD=180-B=120,EAF=120-30-30=60,但是 AE不一定等于 AF,故错误;若 AE=AF,则 BCAE= CDAF,BC=CD,12 12平行四边形 ABCD是菱形,故正确;若平行四边形 ABCD是菱形,则 BC=CD, BCAE= CDAF,AE=AF,故正确.12 12答案:6.(2017临沂模拟)如图,已知点 E,F分别是ABCD 的边 BC,AD上的中点,且BAC=90. 世纪金榜导学号 42684085(1)求证:四边形 AECF是菱形.(2)若B=30,BC=10,求菱形 AECF的面积.【解析】(1)四边形 ABCD是平行四边形,
12、AD=BC,- 8 -在 RtABC 中,BAC=90,点 E是 BC边的中点,AE= BC=CE,12同理,AF= AD=CF,12AE=CE=AF=CF,四边形 AECF是菱形.(2)连接 EF交 AC于点 O,如图所示:在 RtABC 中,BAC=90,B=30,BC=10,AC= BC=5,AB= AC=5 .12 3 3四边形 AECF是菱形,ACEF,OA=OC,OE 是ABC 的中位线,OE= AB= ,12 532EF=5 ,3菱形 AECF的面积= ACEF= 55 = .12 12 32532如图,矩形 ABCD的对角线相交于点 O,DECA,AEBD.(1)求证:四边形
13、AODE是菱形.(2)若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”,其余条件不变,则四边形 AODE是_.【解析】(1)矩形 ABCD的对角线交于点 O,- 9 -AC=BD,OA=OC= AC,OB=OD= BD.12 12OA=OD.DECA,AEBD,四边形 AODE是平行四边形,四边形 AODE是菱形.(2)DECA,AEBD,四边形 AODE是平行四边形,四边形 ABCD为菱形,ACBD,AOD=90,平行四边形 AODE是矩形.【母题变式】已知:如图,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O,AOD 关于直线 AD的对称图形是AED,请判断四边形 AODE的形
14、状,并说明理由.【解析】四边形 AODE为菱形.理由如下:AOD 关于直线 AD的对称图形是AED,由对称图形性质,可得 AE=AO,DE=DO,又矩形的对角线相等且互相平分,AO=DO,AE=AO=DE=DO,四边形 AODE为菱形.变式一已知:如图,ABCD 的对角线 AC,BD相交于点 O,OAB 是等边三角形,DEAC,AEBD.求证:(1)四边形 ABCD是矩形.(2)四边形 AODE是菱形.【证明】(1)四边形 ABCD为平行四边形,OA=OC,OB=OD,OAB 是等边三角形,OA=OB,AC=BD,四边形 ABCD是矩形.- 10 -(2)DEAC,AEBD,四边形 AODE是平行四边形,四边形 ABCD是矩形,OA=OD,四边形 AODE是菱形.变式二如图,矩形 ABCD的对角线相交于点 O,DEAC,CEBD.(1)求证:四边形 OCED是菱形.(2)若ACB=30,四边形 OCED的面积为 2,求 AC的长.【解析】(1)DEAC,CEBD,四边形 OCED是平行四边形,四边形 ABCD是矩形,OC=OD,四边形 OCED是菱形.(2)四边形 OCED是菱形,S 菱形 OCED=2SOCD =SABC ,ACB=30,AB= AC,BC= AC,12 32S 菱形 OCED= AC AC=2,解得 AC= .12 12 32 4333
