1、- 1 -菱形一课一练基础闯关题组 菱形的性质1.(2017巴中模拟)菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( )A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【解析】选 D.菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质,而对角线互相垂直是菱形特有的.2.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若 AB=2,ABC=60,则 BD 的长为 ( )A.2 B.3 C. D.23 3【解析】选 D.由菱形 ABCD,ABC=60得ABC 是等边三角形,AC=AB=2,OA= AC=1,12OB= = ,BD=2BO=2 .2212 3
2、33.菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 分别是 AD,CD 边上的中点,连接 EF.若 EF= ,BD=2,则菱形2ABCD 的面积为 世纪金榜导学号 42684075( )A.2 B. C.6 D.82 2 2 2【解题指南】根据中位线定理可得对角线 AC 的长,再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案.【解析】选 A.E,F 分别是 AD,CD 边上的中点,EF= ,2AC=2EF=2 ,又BD=2,菱形 ABCD 的面积 S= ACBD= 2 2=2 .212 12 2 2- 2 -【知识归纳】计算菱形面积的方法1.一边长乘以这条边上的高.2.两对角线乘积的一半
3、.4.如图,菱形 ABCD 的周长是 8cm,AB 的长是_cm.【解析】四边形 ABCD 是菱形,AB=BC=CD=DA,AB+BC+CD+DA=8cm,AB=2cm,AB 的长为 2cm.答案:25.(2017十堰中考)如图,在菱形 ABCD 中,AC 交 BD 于 O,DEBC 于点 E,连接 OE,若ABC=140,则OED=_. 世纪金榜导学号 42684076【解析】因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BD 平分ABC,OD=OB,所以DBC=ABC=70,因为 DEBC 于点 E,O 为 BD 中点,所以 OE=OB,所以OEB=OBE=1270,所以OED=90-70=20.答
4、案:20【变式训练】1.(2017莱芜模拟)如图,菱形中,对角线 AC,BD 交于点 O,E 为 AD 边中点,菱形 ABCD 的周长为 28,则 OE 的长等于_.【解析】菱形 ABCD 的周长为 28,AB=284=7,OB=OD,E 为 AD 边中点,OE 是ABD 的中位线,- 3 -OE= AB= 7=3.5.12 12答案:3.52.(2017自贡中考)如图,点 E,F 分别在菱形 ABCD 的边 DC,DA 上,且 CE=AF.求证:ABF=CBE.【证明】四边形 ABCD 是菱形,A=C,AB=BC.又AF=CE,ABFCBE(SAS),ABF=CBE.6.(2017沈阳中考)
5、如图,在菱形 ABCD 中,过点 D 作 DEAB 于点 E,作 DFBC 于点 F,连接 EF,世纪金榜导学号 42684077求证:(1)ADECDF.(2)BEF=BFE.【证明】(1)四边形 ABCD 是菱形,AD=CD,A=C.DEAB,DFCB,AED=CFD=90,ADECDF.(2)四边形 ABCD 是菱形,AB=CB.ADECDF,AE=CF,AB-AE=CB-CF,BE=BF,BEF=BFE.【变式训练】(2016济南中考)如图,在菱形 ABCD 中,CE=CF,求证:AE=AF.【证明】四边形 ABCD 是菱形,AB=AD,CB=CD,B=D,又CE=CF,BE=DF,-
6、 4 -在ABE 和ADF 中,A=,=,=,ABEADF(SAS),AE=AF.题组 菱形性质的实际应用1.如图,已知某菱形花坛 ABCD 的周长是 24m,BAD=120,则花坛对角线 AC 的长是 ( )A.6 m B.6 m3C.3 m D.3 m3【解析】选 B.易知ABC 为等边三角形,所以 AC=AB=6m.【方法技巧】菱形中的两类特殊图形1.等腰三角形和直角三角形(1)因四条边相等,由边、对角线构成 4 个等腰三角形.(2)因对角线互相垂直平分,则存在 4 个全等的直角三角形.2.等边三角形和直角三角形(一内角为 120时,连接对角线)(1)4 个含 30角的直角三角形.(2)
7、两个等边三角形.【变式训练】如图,已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米,BAD=60,则花坛对角线 AC 的长等于 ( )A.6 米 B.6 米 C.3 米 D.3 米3 3【解析】选 A.四边形 ABCD 为菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=244=6(米),- 5 -BAD=60,ABD 为等边三角形,BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),在 RtAOB 中,根据勾股定理得:OA= =3 (米),6232 3则 AC=2OA=6 米.32.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架.已知其中每个菱形的边长为 20cm,1=60,则墙上悬挂
8、晾衣架的两个铁钉 A,B 之间的距离等于 ( )A.10 cm B.10 cm3C.20 cm D.20 cm3【解析】选 D.如图,连接 AB,过点 D 作 DEAB 于点 E,易得 AD=20,EAD=30,所以 AE=10 ,3所以 AB=20 .3【变式训练】如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为 16cm,若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm,则1 等于 ( )A.100 B.110 C.120 D.130【解析】选 C.由题意可得 AB 与菱形的两邻边组成等边三角形,则1=120.3.如图,菱形花坛 ABCD 的边长为 6m,A=120,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则
9、种花部分- 6 -图形的周长为( )世纪金榜导学号 42684078A.12m B.20m C.22m D.24m【解析】选 B.连接 AC,已知A=120,四边形 ABCD 为菱形,则B=60,从而得出ABC 为正三角形,ABC 的顶点所在的小三角形也是正三角形,所以正六边形的边长是ABC 边长的 ,则种花部分图形共有 1013条边,所以它的周长为 610=20m.134.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形 ABCD,若 AD=6cm,ABC=60,则四边形 ABCD 的面积等于_cm 2.【解析】将两张长方形纸条交叉,ABCD,ADBC,四边形 ABCD 是平行
10、四边形,两张长方形纸条等宽,即平行四边形的两条高相等,相邻两条边相等,四边形 ABCD 是菱形,过点 A 作高,由勾股定理可求出高为 3 cm,则四边形 ABCD 的面积等于 18 cm2.3 3答案:18 35.已知,如图,菱形花坛 ABCD 周长是 80m,ABC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD,相交于O 点.世纪金榜导学号 42684079- 7 -(1)求两条小路的长 AC,BD.(结果可用根号表示)(2)求花坛的面积.(结果可用根号表示)【解析】(1)菱形花坛 ABCD 周长是 80m,ABC=60,AB=BC=DC=AD=20m,ABD=30,ABC 是等边三
11、角形,AC=20m,AO=10m,BO= =10 (m),202102 3则 BD=20 m,AC=20m.3(2)由(1)得:花坛的面积为: 2020 =200 (m2).12 3 3答:花坛的面积为 200 m2.3如图 1,在菱形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,AC=8,BD=6,则菱形的边长 AB 等于( )世纪金榜导学号 42684080图 1A.10 B. C.6 D.57【解析】选 D.四边形 ABCD 是菱形,- 8 -OA= AC,OB= BD,ACBD,12 12AC=8,BD=6,OA=4,OB=3,AB= =5,O2+2即菱形 ABCD 的边长是 5.【母
12、题变式】变式一(2017海南中考)如图 2,在菱形 ABCD 中,AC=8,BD=6,则ABC 的周长是 ( )图 2A.14 B.16 C.18 D.20【解析】选 C.在菱形 ABCD 中,AC=8,BD=6,AB=BC,AOB=90,AO=4,BO=3,BC=AB= =5,42+32ABC 的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.变式二(2017宜宾中考)如图 3,在菱形 ABCD 中,若 AC=8,BD=6,则菱形 ABCD 的面积是_.图 3【解析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半,由 AC=8,BD=6,得 S 菱形 ABCD=24.答案:24变式三如图,已知菱形 ABCD 的周长为 16cm,ABC=60,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,求 AC 和 BD 的长.- 9 -【解析】菱形 ABCD 的周长为 16cm,ABC=60,AB=BC=4cm,ABC 是等边三角形,AC=4cm,AC,BD 互相垂直平分,OA=2cm,OB= =2 cm.4222 3BD=4 cm.3
