1、- 1 -矩形一课一练基础闯关题组 矩形的判定1.如图,四边形 ABCD的对角线为 AC,BD,且 AC=BD,则下列条件能判定四边形 ABCD是矩形的是 ( )A.BA=BC B.AC,BD互相平分C.ACBD D.ABCD【解析】选 B.若 AC,BD互相平分,则四边形 ABCD是平行四边形,又 AC=BD,故是矩形.2.(2017上海中考)已知平行四边形 ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是 ( )A.BAC=DCA B.BAC=DACC.BAC=ABD D.BAC=ADB【解析】选 C.A.BAC=DCA,不能判断四边形 ABCD是矩形;
2、B.BAC=DAC,能判定四边形 ABCD是菱形;不能判断四边形 ABCD是矩形;C.BAC=ABD,能得出对角线相等,能判断四边形 ABCD是矩形;D.BAC=ADB,不能判断四边形 ABCD是矩形.3.如图,在平行四边形 ABCD中,延长 AD到点 E,使 DE=AD,连接 EB,EC,DB请你添加一个条件_,使四边形 DBCE是矩形.【解题指南】利用平行四边形的判定与性质得到四边形 DBCE为平行四边形,结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可.【解析】添加 EB=DC.理由如下:四边形 ABCD是平行四边形,ADBC,且 AD=BC,DEBC,又DE=AD,DE=BC,- 2
3、 -四边形 DBCE为平行四边形.又EB=DC,四边形 DBCE是矩形.答案:EB=DC(答案不唯一)【变式训练】如图,在四边形 ABCD中,已知 ABDC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要使该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是_.(填上你认为正确的一个答案即可)【解析】添加的条件是A=90,理由是:ABDC,AB=DC,四边形 ABCD是平行四边形,A=90,平行四边形 ABCD是矩形.答案:A=90(答案不唯一)4.(教材变形题P60 习题 18.2T1)如图,四边形 ABCD是平行四边形,AC,BD 交于点 O,1=2.世纪金榜导学号 42684071(1)求证:四边形 A
4、BCD是矩形.(2)若BOC=120,AB=4cm,求四边形 ABCD的面积.【解析】(1)四边形 ABCD是平行四边形,AC,BD 交于点 O,OA=OC,OB=OD.又1=2,OB=OC,OA=OB=OC=OD,AC=BD,四边形 ABCD是矩形.(2)四边形 ABCD是矩形,BOC=120,AB=4,- 3 -1=2=30,BC=4 ,3S 四边形 ABCD=ABBC=16 (cm2).35.(2017安顺中考)如图,DBAC,且 DB= AC,E 是 AC的中点.12(1)求证:BC=DE.(2)连接 AD,BE,若要使四边形 DBEA是矩形,则给ABC 添加什么条件,为什么?【解题指
5、南】(1)先根据中点DB=EC利用“一组对边平行且相等”判定四边形 DBCE是平行四边形,得BC=DE.(2)先假设四边形 DBEA是矩形AB=BC. 然后利用倒推法加以推理证明.A=由 =【解析】(1)E 是 AC的中点,EC= AC.12DB= AC,12DB=EC.又DBEC,四边形 DBCE是平行四边形.BC=DE.(2)添加 AB=BC.理由:DB AE,四边形 DBEA是平行四边形.- 4 -BC=DE,AB=BC,AB=DE.四边形 ADBE是矩形.6.(2017呼和浩特一模)如图,DE 是ABC 的中位线,过点 C作 CFBD 交 DE的延长线于点 F,连接 CD,AF.若 A
6、C=BC,判断四边形 ADCF的形状.世纪金榜导学号 42684072【解析】四边形 ADCF是矩形.DE 是ABC 的中位线,E 为 AC中点,AE=EC,CFBD,ADE=CFE,在ADE 和CFE 中,=,=,=,ADECFE(AAS),DE=FE.AE=EC,四边形 ADCF是平行四边形,AD=BD,BD=CF,四边形 DBCF为平行四边形,BC=DF,AC=BC,AC=DF,四边形 ADCF是矩形.题组 矩形的性质与判定的综合应用1.下列关于矩形的说法,正确的是 ( )A.对角线相等的四边形是矩形- 5 -B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线
7、互相垂直且平分【解析】选 B.A.因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以本选项错误;B.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项正确;C.因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形,所以本选项错误;D.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项错误.2.(2017宜兴市月考)如图,已知在四边形 ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接 AC,BD,AC与 BD交于点 O,若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形 ABCD的面积为 ( )A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选 C.AB=DC,AD=BC,四边形 ABCD为平行四边形,AO=OC,BO=DO,AO=BO,AC=BD,四边形 AB
8、CD为矩形,AD=3,AB=2,四边形 ABCD的面积为 ADAB=32=6.3.如图,在矩形 ABCD中,BC=20cm,点 P和点 Q分别从点 B和点 D出发,按逆时针方向沿矩形 ABCD的边运动,点P和点 Q的速度分别为 3cm/s和 2cm/s,则最快_s 后,四边形 ABPQ成为矩形.【解析】设最快 xs,四边形 ABPQ成为矩形,由 BP=AQ得 3x=20-2x,解得 x=4.答案:44.(2017海淀区一模)如图,在ABCD 中,AEBC 于点 E,延长 BC到 F点使 CF=BE,连接 AF,DE,DF.- 6 -世纪金榜导学号 42684073(1)求证:四边形 AEFD是
9、矩形.(2)若 AB=6,DE=8,BF=10,求 AE的长.【解题指南】(1)先证明四边形 AEFD是平行四边形,再证明AEF=90即可.(2)证明ABF 是直角三角形,由三角形的面积即可得出 AE的长.【解析】(1)CF=BE,CF+EC=BE+EC,即 EF=BC.在ABCD 中,ADBC 且 AD=BC,ADEF 且 AD=EF.四边形 AEFD是平行四边形.AEBC,AEF=90,四边形 AEFD是矩形.(2)四边形 AEFD是矩形,DE=8,AF=DE=8.AB=6,BF=10,AB 2+AF2=62+82=100=BF2,BAF=90.AEBF,ABF 的面积= ABAF= BF
10、AE.12 12AE= = = .A6810245【变式训练】(2017徐州一模)在平行四边形 ABCD中,过点 D作 DEAB 于点 E,点 F在 CD上,CF=AE,连接BF,AF.(1)求证:四边形 BFDE是矩形.(2)若 AF平分BAD,且 AE=3,DE=4,求矩形 BFDE的面积.【解析】(1)四边形 ABCD是平行四边形,- 7 -AB=CD,ABCD,DFBE,CF=AE,DF=BE,四边形 BFDE是平行四边形,DEAB,DEB=90,四边形 BFDE是矩形.(2)ABCD,BAF=AFD,AF 平分BAD,DAF=BAF,DAF=AFD,AD=DF,在 RtADE 中,A
11、E=3,DE=4,AD= =5,矩形 BFDE的面积为 20.32+42如图,在ABC 中,AB=BC,BD 平分ABC.四边形 ABED是平行四边形,DE 交 BC于点 F,连接 CE.求证:四边形 BECD是矩形. 世纪金榜导学号 42684074【证明】AB=BC,BD 平分ABC,BDAC,AD=DC,四边形 ABED是平行四边形,BEAC,BE=AD,又 AD=DC,DC=BE,四边形 BECD是平行四边形,又 BDAC,平行四边形 BECD是矩形.【母题变式】如图,在ABC 中,AB=AC,D 为 BC中点,四边形 ABDE是平行四边形.求证:四边形 ADCE是矩形.- 8 -【证
12、明】四边形 ABDE是平行四边形,AEBC,AB=DE,AE=BD.D 为 BC中点,CD=BD.CDAE,CD=AE.四边形 ADCE是平行四边形.AB=AC,D 为 BC中点,ADBC,即ADC=90,平行四边形 ADCE是矩形.变式一如图,在ABC 中,AB=AC,D 为边 BC上一点,以 AB,BD为邻边作ABDE,连接 AD,EC.(1)求证:ADCECD.(2)若 BD=CD,求证:四边形 ADCE是矩形.【证明】(1)四边形 ABDE是平行四边形(已知),ABDE,AB=DE(平行四边形的对边平行且相等);B=EDC(两直线平行,同位角相等);又AB=AC(已知),AC=DE(等
13、量代换),B=ACB(等边对等角),EDC=ACD(等量代换),在ADC 和ECD 中,. A=(公共 边 )ADCECD(SAS).- 9 -(2)四边形 ABDE是平行四边形(已知),BDAE,BD=AE(平行四边形的对边平行且相等),AECD.又BD=CD,AE=CD(等量代换),四边形 ADCE是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形).在ABC 中,AB=AC,BD=CD,ADBC(等腰三角形的“三合一”性质),ADC=90,ADCE 是矩形.变式二如图,在ABC 中,AB=AC,点 D(不与点 B重合)在 BC上,点 E是 AB的中点,过点 A作 AFBC 交 DE延长线于
14、点 F,连接 AD,BF.(1)求证:AEFBED.(2)若 BD=CD,求证:四边形 AFBD是矩形.【证明】(1)AFBC,AFE=EDB,E 为 AB的中点,EA=EB,在AEF 和BED 中,=,=,=,AEFBED(AAS).(2)AEFBED,AF=BD,AFBD,四边形 AFBD是平行四边形,AB=AC,BD=CD,ADBD,四边形 AFBD是矩形.变式三如图,在ABC 中,AB=AC,AD,AE 分别是BAC 和BAC 外角的平分线,BEAE.- 10 -(1)求证:DAAE.(2)试判断 AB与 DE是否相等?并证明你的结论.【解析】(1)AD 平分BAC,BAD= BAC,12又AE 平分BAF,BAE= BAF,12BAC+BAF=180,BAD+BAE= (BAC+BAF)12= 180=90,即DAE=90,故 DAAE.12(2)AB=DE.理由是:AB=AC,AD 平分BAC,ADBC,故ADB=90,BEAE,AEB=90,又DAE=90,四边形 AEBD是矩形,AB=DE.- 10 -
