1、- 1 -平行四边形的性质一课一练基础闯关题组 平行四边形的对角线性质的应用1.平行四边形的对角线一定具有的性质是 ( )A.相等 B.互相平分C.互相垂直 D.互相垂直且相等【解析】选 B.平行四边形的对角线互相平分,不一定相等和垂直.2.(2017广东模拟)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,O 为对角线 AC,BD 的交点,与AOD 全等的是 ( )A.ABC B.ADC C.BCD D.COB【解析】选 D.四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,DAO=BCO,ADO=CBO,AD=BC,AODCOB(ASA).3.如图,ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AC+B
2、D=16,CD=6,则ABO 的周长是( )世纪金榜导学号 42684052A.10 B.14 C.20 D.22【解析】选 B.四边形 ABCD 是平行四边形,- 2 -AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,AC+BD=16,AO+BO=8,ABO 的周长是 14.4.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,ODA=90,OA=6cm,OB=3cm,求 AD,AC 的长.【解析】四边形 ABCD 是平行四边形,OD=OB=3cm,AC=2AO=12cm,ODA=90,AD 2=OA2-OD2=62-32=27(cm2),即 AD 的长为 3 cm,AC=12cm
3、.3题组 平行四边形性质的综合应用1.如图,在ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,下列结论错误的是 ( )A.ABCD B.AB=CDC.AC=BD D.OA=OC【解析】选 C.四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,AB=CD,OA=OC,但是 AC 和 BD 不一定相等.- 3 -2.如图,平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,且 AB=5,OCD 的周长为 23,则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是( )世纪金榜导学号 42684053A.18 B.28 C.36 D.46【解析】选 C.四边形 ABCD 是平行四边形,CD=AB=5,OCD 的周长为 23,O
4、D+OC=23-5=18,BD=2DO,AC=2OC,平行四边形 ABCD 的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36.3.(2017眉山中考)如图,EF 过ABCD 对角线的交点 O,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F.若ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形 EFCD 的周长为 ( )A.14 B.13 C.12 D.10【解析】选 C.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ADBC,OA=OC,所以OAE=OCF,又因为AOE=COF,所以AOECOF,所以 AE=CF,OE=OF,而 AB=CD,AD=BC,- 4 -所以四边形 EFCD 的周长为 AD+CD
5、+EF= 18+21.5=12.124.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 为对角线,BC=6,BC 边上的高为 4,则图中阴影部分的面积为 ( )世纪金榜导学号 42684054A.3 B.6 C.12 D.24【解析】选 C.由于在平行四边形中,对边分别平行且相等,对角线互相平分,图中的线条把平行四边形分成5 组全等三角形,通过仔细观察分析图中阴影部分,可得出每组全等三角形中有一个带阴影,所以阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半.所以 S 阴影 = 64=12.12【变式训练】(2017微山县期中)如图,平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分,分别记作 S1,S2,
6、S3,S4,下列关系式成立的是 ( )A.S1S3+S4 D.S1=S3S2=S4【解析】选 B.四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC,OB=OD,S 1=S2=S3=S4.- 5 -5.如图,平行四边形 ABCD 中,BDAD,A=45,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 BE=DF,连接 EF 交 BD 于 O.世纪金榜导学号 42684055(1)求证:BO=DO.(2)若 EFAB,延长 EF 交 AD 的延长线于 G,当 FG=1 时,求 AE 的长.【解题指南】(1)由平行四边形的性质和 AAS 证明OBEODF,得出对应边相等即可.(2)证出 AE=GE,再证明 DG=
7、DO,得出 OF=FG=1,即可得出结果.【解析】(1)四边形 ABCD 是平行四边形,DCAB,OBE=ODF.在OBE 与ODF 中,=,=,=,OBEODF(AAS).BO=DO.(2)EFAB,ABDC,GEA=GFD=90,A=45,G=A=45.AE=GE.- 6 -BDAD,ADB=GDO=90.GOD=G=45.DG=DO,OF=FG=1,由(1)可知,OE=OF=1,GE=OE+OF+FG=3,AE=3.如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,经过点 O 的直线交 AB 于 E,交 CD 于 F.求证:OE=OF. 世纪金榜导学号 42684056【证明】四边形
8、 ABCD 是平行四边形,AO=CO,ABCD,EAO=FCO.又AOE=COF,AOECOF(ASA),OE=OF.【母题变式】变式一如图,在ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于 O,EF 是过点 O 的任一直线,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,猜想 OE 和 OF 的数量关系,并说明理由.【解析】结论:OE=OF.- 7 -理由:四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC,ADBC,OAE=OCF,在AOE 和COF 中,=,=,=,AOECOF,OE=OF.变式二(2017广安月考)如图所示,在ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 任作一条直线分别
9、交 AB,CD 于点 E,F.若 AB=7,BC=5,OE=2,求四边形 BCFE 的周长.【解析】四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC,ABCD,OAE=OCF,在OAE 和OCF 中,=,=,=,AOECOF(ASA),CF=AE,OE=OF,AB=7,BC=5,OE=2,EF=2OE=4,BE+CF=BE+AE=AB=7,四边形 BCFE 的周长为:EF+BE+BC+CF=4+7+5=16.变式在 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点 O 作直线 EF 分别交线段 AD,BC 于点 E,F.(1)根据题意画出图形,并标上正确的字母.- 8 -(2)求证:DE=BF.【解析】(1)作图如图:(2)四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,OB=OD,EDO=FBO,在DOE 和BOF 中DOEBOF.DE=BF.=,=,=,
