1、1第十九章 一 次 函 数1.确定函数自变量取值范围的方法(1)若函数式是整式,则取全体实数.(2)若函数式有分母,则取值不能使分母为零.(3)若函数式中有二次根式,则取值使二次根式有意义.(4)若函数式有多种情况,则取它们的公共部分.(5)在实际问题中,取值要符合实际意义.【例 1】函数 y= 中,自变量 x的取值范围是 . +2-3【标准解答】自变量需满足: 解得 x-2 且 x3.+20,-30,答案:x-2 且 x3【例 2】下列函数中,自变量 x的取值范围为 x0 D.x0 且 x-12.函数 y= + 的自变量 x的取值范围是 ( )1-2 +4A.-4x2C.x2 D.x-4 且
2、 x22.确定正比例函数解析式的方法确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数解析式中的常数 k.其基本步骤是:(1)设出含有待定系数的函数解析式 y=kx(k0).(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式得到关于系数 k的一元一次方程.(3)解方程,求出待定系数 k.2(4)将 k的值代回解析式得到正比例函数解析式.【例 1】 根据条件:y 与 x成正比,且当 x=4时,y=16 确定函数解析式.【标准解答】因为 y与 x成正比,所以设解析式为 y=kx.把 x=4,y=16代入 y=kx中得:16=k4,解之得 k=4,所以函数解析式为 y=4x.【例 2】已知正比例函数 y=kx
3、的图象经过点(3,-6).(1)求这个函数的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数图象.(3)判断点 A(4,-2),点 B(-1.5,3)是否在这个函数的图象上.【标准解答】(1)把点(3,-6)代入正比例函数 y=kx,得-6=3k,解得 k=-2,则函数解析式为 y=-2x.(2)经过点(0,0),(1,-2)画出图象如下:(3)正比例函数的解析式为 y=-2x,当 x=4时,y=-8,当 x=-1.5时,y=3,点 A(4,-2)不在这个函数的图象上,点 B(-1.5,3)在这个函数的图象上.31.已知 y与 x成正比例,且 x=-2时 y=4.(1)求 y与 x之间的函数
4、解析式.(2)设点(a,-2)在这个函数的图象上,求 a.2.已知 y-2与 x成正比例,且 x=2时,y=-6.求:(1)y与 x的函数解析式.(2)当 y=14时,x 的值.3.确定一次函数解析式的方法确定一次函数,需要确定一次函数 y=kx+b中的常数 k和 b.具体步骤:(1)设出含有待定系数的解析式.(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于待定系数的方程(组).(3)解方程(组)求出待定系数.(4)将求出的待定系数的值代入所设的解析式.【例】已知一次函数 y=ax+b的图象经过点 A(2,0)与 B(0,4).(1)求一次函数的解析式,并在直角坐标系内画出这个函数
5、的图象.(2)当 x0 时,请直接写出 y的取值范围.【标准解答】(1)根据题意得2+=0,=4. 解得 =-2,=4,所以一次函数解析式为 y=-2x+4,画出图象如图.(2)当 x0 时,y4.已知 y-3与 4x-2成正比例,且当 x=1时,y=5.(1)求 y与 x的函数解析式.4(2)求当 x=-2时的函数值.4.一次函数的应用(1)借助一次函数的图象,获取相关信息进行解题,分析图象时应着重把握以下几点:弄清横、纵坐标所表示的实际意义.明确自变量与函数值的取值范围.了解图象上某些点(图象与坐标轴的交点、图象上已经表明的点等)的坐标的具体意义.【例 1】水龙头关闭不严会造成滴水,容器内
6、盛水量 w(L)与滴水时间 t(h)的关系用可以显示水量的容器做如图 1的试验,并根据试验数据绘制出如图 2的函数图象,结合图象解答下列问题.(1)容器内原有水多少升?(2)求 w与 t之间的函数解析式,并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升?【标准解答】(1)根据图象可知,t=0 时,w=0.3,即容器内原有水 0.3升.(2)设 w与 t之间的函数解析式为 w=kt+b,将(0,0.3),(1.5,0.9)代入,得 解得=0.3,1.5+=0.9. =0.4,=0.3.故 w与 t之间的函数解析式为 w=0.4t+0.3.由解析式可得,每小时滴水量为 0.4 L,一天的滴水量为:0.4
7、24=9.6 L,即在这种滴水状态下一天的滴水量是 9.6 L.(2)应用数学建模的思想解决实际问题根据实际情景构造一次函数模型,再借助一次函数图象或性质解决简单的实际问题涉及最多的类型方案设计问题.【例 2】随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了 A,B两种上网学习的月收费方式:收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/(元/min)5A 7 25 0.01B m n 0.01设每月上网学习时间为 x小时,方案 A,B的收费金额分别为 yA,yB.(1)如图是 yB与 x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m= ;
8、n= (2)写出 yA与 x之间的函数关系式.(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?【标准解答】(1)由图象知:m=10,n=50.(2)yA与 x之间的函数解析式为:当 x25 时,y A=7,当 x25时,y A=7+(x-25)0.6,y A=0.6x-8,y A=7 (025).(3)y B与 x之间函数关系为:当 x50 时,y B=10,当 x50时,y B=10+(x-50)600.01=0.6x-20,当 0yB,选择 B方式上网学习合算,当 x50时,y A=0.6x-8,yB=0.6x-20,yAyB,选择 B方式上网学习合算.6综上所述:当 030时,y AyB,选择
9、B方式上网学习合算.1.甲、乙两车从 A地出发沿同一路线驶向 B地,甲车先出发匀速驶向 B地.40 分钟后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了 50千米/时,结果与甲车同时到达 B地.甲乙两车距 A地的路程 y(千米)与乙车行驶时间 x(小时)之间的函数图象如图所示.请结合图象信息解答下列问题:(1)直接写出 a的值,并求甲车的速度.(2)求图中线段 EF所表示的 y与 x的函数解析式,并直接写出自变量 x的取值范围.(3)乙车出发多少小时与甲车相距 15千米?写出答案.2.(2016深圳中考)荔枝是深圳特色水果,小明的妈妈先购买了
10、 2千克桂味和3千克糯米糍,共花费 90元;后又购买了 1千克桂味和 2千克糯米味,共花费55元.(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米味的售价分别是每千克多少元.(2)如果还需购买两种荔枝共 12千克,要求糯米味的数量不少于桂味数量的两倍,请设计一种购买方案,使所需总费用最低.答案解析：1.确定函数自变量取值范围的方法【跟踪训练】1.【解析】选 A.代数式 有意义的条件:分子中被开方数是非负数,分母不等于零,当 x0 时,分母+1x+10,x 的取值范围是 x0.72.【解析】选 D.根据题意,若分式 有意义,可得 x-20,解得 x2;1-2若二次根式 有意义,则 x+40,解得
11、x-4.所以 x-4 且 x2.+42.确定正比例函数解析式的方法【跟踪训练】1.【解析】(1)y 与 x成正比例,设 y=kx,当 x=-2时,y=4,4=-2k,k=-2,y 与 x的函数解析式为 y=-2x.(2)点(a,-2)在这个函数的图象上,-2a=-2,a=1.2.【解析】(1)设 y-2=kx(k0),则-6-2=2k,k=-4,y 与 x的函数解析式是 y=-4x+2.(2)当 y=14时,14=-4x+2,解得 x=-3.3.确定一次函数解析式的方法【跟踪训练】【解析】设 y-3=k(4x-2)(k0),把 x=1,y=5代入,得 5-3=k(41-2),解得 k=1,则
12、y与 x之间的函数解析式是 y=4x+1.(2)由(1)知,y=4x+1.当 x=-2时,y=4(-2)+1=-7.即当 x=-2时的函数值是-7.4.一次函数的应用【跟踪训练】1.【解析】(1)a=4.5,甲车的速度= =60(千米/时).46023+7(2)设乙车开始的速度为 v千米/时,则 4v+2.5(v-50)=460,解得 v=90(千米/时),84v=360,则 D(4,360),E(4.5,360),设直线 EF的解析式为 y=kx+b,把 E(4.5,360),F(7,460)代入得解得4.5+=360,7+=460. =40,=180.所以线段 EF所表示的 y与 x的函数
13、解析式为 y=40x+180(4.5x7);(3)60 =40,则 C(0,40)23设直线 CF的解析式为 y=mx+n,把 C(0,40),F(7,460)代入得解得=40,7+=460. =60,=40.所以直线 CF的解析式为 y=60x+40,易得直线 OD的解析式为 y=90x(0x4),当 60x+40-90x=15时,解得 x= ;56当 90x-(60x+40)=15时,解得 x= ;116当 40x+180-(60x+40)=15时,解得 x= .254所以乙车出发 小时或 小时或 小时时,乙车与甲车相距 15千米.56 116 2542.【解析】(1)设桂味售价为每千克 x元,糯米味售价为每千克 y元,则 解得2+3=90,+2=55, =15,=20.答:桂味售价为每千克 15元,糯米味售价为每千克 20元.(2)设购买桂味 t千克,总费用为 W元,则购买糯米味(12-t)千克,12-t2t,t4,W=15t+20(12-t)=-5t+240.k=-50,W 随 t的增大而减小,当 t=4时,W min=220.答:购买桂味 4千克,糯米味 8千克时,总费用最少.9
