1、- 1 -角平分线一课一练基础闯关题组 角平分线的性质定理和判定定理1.(2017台州中考)如图,点 P 是AOB 平分线 OC 上一点,PDOB,垂足为 D,若 PD=2,则点 P 到边 OA 的距离是 ( )A.1 B.2 C. D.43【解析】选 B.作 PEOA 于点 E,点 P 是AOB 平分线 OC 上一点,PDOB,PEOA,PE=PD=2,即点 P 到边 OA 的距离是 2.2.(2017胶州市期中)如图,OC 是AOB 的平分线.D,E 分别是 OA,OB 上的点,则下列条件中不能判定OCD与OCE 全等的是 世纪金榜导学号 10164032( )A.OCD=OCE B.CD
2、OA,CEOBC.OD=OE D.CD=CE【解析】选 D.当OCD=OCE 时,- 2 -=,=,=,OCDOCE(ASA),故 A 能判定OCD 与OCE 全等;当 CDOA,CEOB 时,由 AAS 可得到OCDOCE,故 B 能判定OCD 与OCE 全等;当 OD=OE 时,由 SAS 可得到OCDOCE,故 C 能判定OCD 与OCE 全等;D 不能判定OCD 与OCE 全等.3.(2017崇仁月考)如图,在ABC 中,ACB=90,BE 平分ABC,DEAB 于点 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE等于 ( )A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm【解析】选 B.BE
3、平分ABC,DEAB,ACB=90,ED=EC,AE+DE=AE+EC=AC=3cm.4.如图,AOE=BOE=15,EFOB,ECOB,若 EC=2,则 EF=_. 世纪金榜导学号 10164033【解析】作 EGOA 于 G,如图所示:- 3 -EFOB,AOE=BOE=15OEF=COE=15,EG=CE=2,AOE=15,EFG=OEF+AOE=15+15=30,EF=2EG=4.答案:4【方法指导】当题目中出现角平分线或平分某个角,且求点到直线的距离或两直线间距离时,应添加适当的辅助线,运用角平分线的性质定理求解.5.(2017濮阳期末)如图,BD 是ABC 的平分线,DEAB 于
4、E,ABC 的面积为 36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE 的长.【解析】作 DFBC 于 F,BD 是ABC 的平分线,DEAB,DE=DF, BCDF+ ABDE=36,DE=DF= .12 12 1256.如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是 E,F,BE=CF.求证:AD 是ABC 的角平分线.- 4 -世纪金榜导学号 10164034【证明】DEAB,DFAC,BDE 和CDF 是直角三角形.又 B=,=,RtBDERtCDF(HL),DE=DF,又DEAB,DFAC,AD 是ABC 的角平分线.【知识归纳】角平分线的性质与判定的区别
5、与联系内容 图示 符号语言 作用性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等点 P 在AOB 的平分线上,且 PDOA,PEOB,PD=PE证明两条线段相等判定在一个角的内部,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上PDOA,PEOB 且 PD=PE,AOP=BOP证明两个角相等题组 作一个角的平分线1.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是 ( )- 5 -A.OE 是AOB 的平分线B.OC=ODC.点 C,D 到 OE 的距离不相等D.AOE=BOE【解析】选 C.根据尺规作图的画法可知:OE 是AOB 的角平分线,OC=OD,AOE=BOE,点 C,D 到 OE 的距离相等,故
6、A,B,D 项均正确,C 项错误.2.(2017邵阳中考)如图所示,已知AOB=40,现按照以下步骤作图:在 OA,OB 上分别截取线段 OD,OE,使 OD=OE;分别以 D,E 为圆心,以大于 DE 的长为半径画弧,在AOB 内两弧交于点 C;12作射线 OC.则AOC 的大小为_.【解析】由作图知,OC 平分AOB,AOC= AOB=20.12答案:203.如图,在ABC 中,AB=AC,ABC=72.(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D(保留作图痕迹,不要求写作法).(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后,求BDC 的度数.- 6 -【解析】(1)画图
7、如下:(2)AB=AC,ABC=72,ACB=ABC=72,BD 平分ABC,DBC=36,BDC=72.4.有位于公路 l1同侧、 l2异侧的两个城镇 A,B,如图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇 A,B 的距离必须相等,到两条公路 l1,l2的距离也必须相等,发射塔 C 应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点 C 的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)世纪金榜导学号 10164035【解析】根据题意知道,点 C 应满足两个条件,一是在线段 AB 的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点 C 应是它们的交点.(1)作两条公路夹角
8、的平分线 OD 或 OE.- 7 -(2)作线段 AB 的垂直平分线 FG;则射线 OD,OE 与直线 FG 的交点 C1,C2就是所求的位置.如图,ABCD,BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC 的距离是 ( )世纪金榜导学号 10164036A.8 B.6 C.4 D.2【解析】选 C.过点 P 作 PEBC 于点 E,ABCD,PAAB,PDCD,BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB,PA=PE,PD=PE,PE=PA=PD,PA+PD=AD=8,PA=PD=4,PE=4.【母题变式】- 8 -(2017诸城市期
9、末)如图,ADBC,ABC 的平分线 BP 与BAD 的平分线 AP 相交于点 P,作 PEAB,垂足为E.若 PE=3,则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 ( )A.3 B.5 C.6 D.不能确定【解析】选 C.作 PFAD 于 F,PGBC 于 G,AP 是BAD 的平分线,PFAD,PEAB,PF=PE=3,BP 是ABC 的平分线,PEAB,PGBC,PG=PE=3,ADBC,两平行线 AD 与 BC 间的距离为 PF+PG=6.变式一如图,ABCD,BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB,AD 过点 P,且 ADAB,求证:BC=AB+CD.【证明】在 BC 上取点 F,使
10、BF=BA,连接 PF,- 9 -BP,CP 分别是ABC 和BCD 的平分线,ABP=FBP,DCP=FCP.在ABP 和FBP 中,AB=FB,ABP=FBP,BP=BP,ABPFBP,A=BFP.ABCD,A+D=180,BFP+D=180.BFP+CFP=180,CFP=D.在CDP 和CFP 中,CFP=D,FCP=DCP,CP=CP,CFPCDP,CF=CD.BC=BF+CF,BC=AB+CD.变式二(2017澧县期中)如图,四边形 ABDC 中,D=ABD=90,点 O 为 BD 的中点,且 OA 平分BAC.(1)求证:OC 平分ACD.- 10 -(2)求证:OAOC.(3)求证:AB+CD=AC.【证明】(1)过点 O 作 OEAC 于 E,ABD=90,OA 平分BAC,OB=OE,点 O 为 BD 的中点,OB=OD,OE=OD,OC 平分ACD.(2)在 RtABO 和 RtAEO 中,AO=AO,OB=OE,RtABORtAEO,AOB=AOE,同理求出COD=COE,AOC=AOE+COE= 180=90,12OAOC.(3)RtABORtAEO,AB=AE,同理可得 CD=CE,AC=AE+CE,AB+CD=AC.- 11 -
