1、- 1 -二次函数的应用一课一练基础闯关题组 最大面积问题1.(2017太和县月考)如图,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用 20m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是_m 2. ( )A.40 B.50C.60 D.以上都不对【解析】选 B.设矩形的宽为 xm,面积为 Sm2,根据题意得:S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,当 x=5 时,花园面积最大,最大面积是 50m2.2.如图,正六边形的边长为 10,分别以正六边形的顶点 A,B,C,D,E,F 为圆心,画 6 个全等的圆.若圆的半径为 x,且 0x5,阴影部分的面积为 y,能反映
2、y 与 x 之间函数关系的大致图象是 ( )世纪金榜导学号 18574068【解析】选 D.正六边形的内角和=(6-2)180=720,y=2x 2.当 x=5 时,y=225=50.3.某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为 3 米的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示,DG=1 米,AE=AF=x 米,在五边形 EFBCG 区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是 ( )- 2 -【解析】选 A.SAEF = AEAF= x2,SDEG = DGDE= 1 = ,12 12 12 12 (3
3、)32S 五边形 EFBCG=S 正方形 ABCD-SAEF -SDEG=9- x2- =- x2+ x+ ,12 32 12 12152则 y=4(- x2+ x+ )=-2x2+2x+30,12 12152AEAD,x3,综上可得:y=-2x 2+2x+30(0x3).4.(教材变形题P48 习题 T3)某工厂大门是抛物线水泥建筑,大门地面宽为 4m,顶部距离地面的高度为 4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为 2.4m,该车要想过此门,装货后的最大高度应是_m. 世纪金榜导学号 18574069【解析】以 C 为坐标原点建立平面直角坐标系:AB=4m,顶部 C 离地面高
4、度为 4.4m,C 的坐标为(0,0),A 的坐标为(2,-4.4),- 3 -B 的坐标为(-2,-4.4),设抛物线的表达式为 y=ax2.把点 A 代入得-4.4=a2 2,a=-1.1,y=-1.1x 2,装货宽度为 2.4m,当 x=1.2 时,y=-1.584,4.4-1.584=2.816(m),装货后的最大高度应是 2.816m.答案:2.8165.(2017莲湖区月考)如图,在ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.动点 P 从 A 点开始沿 AB 向 B 点以 1cm/s 的速度运动(不与 B 点重合),动点 Q 从 B 点开始沿 BC 以 2cm/s 的速度向
5、 C 点运动(不与 C 重合).如果 P,Q 同时出发,四边形 APQC 的面积最小时,要经过_秒.【解析】设经过 x 秒时,四边形 APQC 的面积为 y,则 BP=6-x,BQ=2x,则 y= 612- 2x12 12(6)=x2-6x+36= +27.(x3)2当 x=3 时,y 最小 =27,答案:36.(2017温州中考)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头,完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A、出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上,点 A 到出水管 BD 的距离为 12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图所示.现用高 10.2cm 的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点
6、 D 和杯子上底面中心 E,则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为_cm. 世纪金榜导学号 18574070- 4 -【解析】以 O 为坐标原点,水平向右为 x 轴正方向,竖直向上为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.得到 A(8,36),B(12,24),D(0,24),利用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y=-3x+60,C(20,0).过 B,D,C三点的抛物线解析式为 y=- (x+8)(x-20),当 y=10.2 时,得 xE=6+8 ,EH=30-(6+8 )=24-8 (cm).320 2 2 2答案:24-8 27.(2017德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的
7、家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为 2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 米处达到最高,水柱落地处离池中心 3 米.世纪金榜导学号 18574071(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少?【解析】(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为 x 轴,水管所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a(x-1)2+h(0x3).抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线的解析式可得解得4+=0,+=2. a=23,=
8、83.所以,抛物线的解析式为 y=- (x-1)2+ (0x3).化为一般式为 y=- x2+ x +2(0x3).23 83 23 43- 5 -(2)由(1)抛物线的解析式为 y=- (x-1)2+ (0x3)得,23 83当 x=1 时,y= .83所以抛物线水柱的最大高度为 米.838.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚.(1)如图建立平面直角坐标系,使抛物线对称轴为 y 轴,求该抛物线的表达式.(2)若需要开一个截面为矩形的门(如图所示),已知门的高度为 1.60 米,那么门的宽度最大是多少米(不考虑材料厚度)?(结果保留根号)【解析】(1)由题干图可设抛物线的表达式为 y=ax2
9、+2,由题干图知抛物线与 x 轴正半轴的交点为(2,0),则:a2 2+2=0,a=- ,12抛物线的表达式为 y=- x2+2.12(2)当 y=1.60 时,1.6=- x2+2,解得:x= ,12 255所以门的宽度最大为 2 = (米).255 455用一段长 32m 的篱笆和长 8m 的墙,围成一个矩形的菜园. 世纪金榜导学号 18574072(1)如图 1,如果矩形菜园的一边靠墙 AB,另三边由篱笆 CDEF 围成.设 DE 等于 xm,直接写出菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.- 6 -菜园的面积能不能等于 110m2?若能,求出此时 x 的值;若不
10、能,请说明理由.(2)如图 2,如果矩形菜园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成,另三边由篱笆 ADEF 围成,求菜园面积的最大值.【解析】(1)设 DE=xm,则 CD=EF=(16- x)m,12则 y=x(16- x)=- x2+16x(0x8).12 12令 y=110,即- x2+16x=110,12解得:x 1=10,x2=22,0x8,x 1=10,x2=22 均不符合题意,故菜园的面积不能等于 110m2.(2)设菜园的面积为 S,BF=t(m),则 DE=(t+8)m,AD=EF= =(12-t)m,32(+8)2则 S=(t+8)(12-t)=-t2+4t+96=-(t-2)2+100,当 t=2 时,S 最大,最大值为 100.答:菜园面积的最大值为 100m2.
