1、117学习目标1.会运用勾股定理解决简单问题 .2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形 .3.会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题 .一、知识网络二、知识梳理1.如图, ACB=90 a2+b2=c2(1)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为 a,b,斜边长为 c,那么 . 几何语言描述: ( ) (2)勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 ,那么 几何语言描述: ( ) 2.原命题与逆命题 .3.勾股定理的几种常见证明方法 .(P24,P30)4.勾股数三、基础练习1.三角形的 三边为 a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )A.abc= 8 16 17
2、 B.a2-b2=c2C.a2=(b+c)(b-c) D.abc= 13 5 122.已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12,则第三边为 . 3.已知 ABC 中, C=90, A=30,BC=4,则 AC= ,BCACAB= . 4.已知 ABC 中, C=90, A=45,BC=5,则 AB= ,BCACAB= . 5.在平面直角坐标系中,已知点 P 的坐标是(1,2),则 OP 的长为 . 26.如图,边长为 1 的正方体中,一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B的最短距离是 . 7.求下图中字母所代表的正方形的面积 .A 面积是( ) B 面积是( )四、典例分析
3、【例 1】(2017 绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙 角的距离为 0.7 米,顶端 距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,则小巷的宽度为( )A.0.7 米 B.1.5 米 C.2.2 米 D.2.4 米C 解析:在 Rt ACB 中, ACB=90,BC=0.7 米, AC=2.4 米,AB 2=0.72+2.42=6.25.在 Rt ABD 中, ADB=90,AD=2 米, BD2+AD2=AB2=AB2,BD 2+22=6.25,BD 2=2.25,BD 0,BD= 1.5 米,CD=BC
4、+BD= 0.7+1.5=2.2 米 .故选 C.【例 2】(2016 年湖南省长沙市麓山国际学校中考)如图,在 Rt ABC 中, ACB=90, B=30,AC=2,将 ABC 绕点 C 逆时针旋转至 ABC,使得点 A恰好落在 AB 上, AB与 BC 交于点 D,则 ACD 的面积为( )A.1 B. C. D.232 3 33B 解析:在 Rt ABC 中, ACB=90,AC=2, ABC=30,AB= 2AC=4,BC= =2 ,AB2-AC2= 42-22 3 A=90- B=60,CA=CA, ACA是等边三角形,AA=AC=AC= 2,AC=AB= 2, ACB= B=30
5、, CAB=60, CDA=180- ACD- CAD=90,AD= AC=1,CD= ,12 CA2-AD2= 3S ACD= 1 .12 3= 32故选 B.【例 3】(2017 年贵州省安顺市中考)三角形三边长分别为 3,4,5,那么最长边上的高线长等于 . 2.4 解析: 32+42=25=52, 该三角形是直角三角形, 根据直角三角形面积等于斜边与斜边上的高乘积一半,也等于两直角边乘积的 一半 . 斜边上的高线长 =345=2.4.故答案为:2 .4.【例 4】如图, AB CB 于 B,AD=24,AB=20,BC=15,CD=7,求四边形 ABCD 的面积 .解: AB CB,A
6、C= =25,AB2+BC2= 202+152故有 AD2+CD2=242+72=252=AC2, D=90,S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD= 2015+ 724=150+84=234.12 12五、达标检测1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4,则此三角形的周长为( )A.12 B.7+ 7C.12 或 7+ D.以上都不对742.如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中, A,B 都是格点,则线段 AB 的长度为( )A.5 B.6C.7 D.253.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,34.如
7、图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断,树尖 B 恰好碰到地面,经测量 AB=2 米,则树高为( )A. 米 B. 米 C.( +1)米 D.3 米5 3 55.如果梯子的底端离建筑物 5 m,那么长为 13 m 梯子可以达到该建筑物的高度是( )A.12 m B.14 m C.15 m D.13 m6.已知 ABC 的三边长 a,b,c 满足 +|b-2|+(c-2 )2=0,则 ABC 一定是 a-2 2三角形 . 7.如图,有一长方形的仓库,一边长为 5 m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分,其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大
8、于卫生间的面积,若改建后卫生间的面积为 6 m2,则长方形仓库另一边的长是 . 8.如图,已知矩形 ABCD 中, AB=4,AD=3,P 是以 CD 为直径半圆上的一个动点,连接 BP,则BP 最大值是 . 9.如图,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且 QPN=30,点 A 处有一所中学, AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围 100 m 以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为 18 km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?10.如图,等边 ABC,其边长为 1,D 是 BC 中
9、点,点 E,F 分别位于 AB,AC 边上,且 EDF=120.5(1)直接写出 DE 与 DF 的数量关系;(2)若 BE,DE,CF 能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,画出图形,直接给出结果即可)(3)思考: AE+AF 的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由 .备用图参考答案二、知识梳理略三、基础练习1.A 2.13 或 3.4 ;1 2119 3 34.5 ;1 12 25. 6. 7.625;1445 5四、典例分析略五、达标检测1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.等腰直角 7.8 m 8. +2139.解:作 AB MN,垂
10、足为 B.在 Rt ABP 中, ABP=90, APB=30,AP=160 m,AB= =80 m.(在直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半)AP2 点 A 到直线 MN 的距离小于 100 m, 这所中学会受到噪声的影响 .假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C处学校开始受到影响,那么 AC=100(m),由勾股定理得 BC2=1002-802=3 600,BC= 60 m.同理,拖拉机行驶到点 D 处学 校开始脱离影响,那么, AD=100(m),BD=60(m),CD= 120(m).拖拉机行驶的速度为 18 km/h=5 m/s,t=1205=24 s.答:拖拉
11、机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24 s.10.(1)结论: DE=DF.证明:如图 1 中,连接 AD,作 DN AB,DM AC,垂足分别为 N,M. ABC 是等边三角形, BAC=60,AB=AC,BD=DC , BAD= CAD,DN=DM , EDF=120, EDF+ BAC=180, AED+ AFD=180,6 AED+ DEN=180, DFM= DEN,在 DNE 和 DMF 中, DEN= DFM, DNE= DMF,DN=DM, DNE DMF,DE=DF.(2)能围成三角形,最大内角为 120.证明:如图 2 中,延长
12、FD 到 M 使得 DF=DM,连接BM,EM.在 DFC 和 DMB 中, , DFC DMB, MBD= C=60,BM=CF,DC=DB, FDC= BDM,DF=DM, DE=DF=DM , EDM=180- EDF=60, EDM 是等边三角形, EM=DE ,EB ,ED,CF 能围成 EBM,最大内角 EBM= EBC+ DBM=60+60=120.(3)如图 1 中,在 ADN 和 ADM 中, ADN ADM,AN=AM ,AD=AD,DN=DM,AE+AF=AN-EN+AM+MF ,由(1)可知 EN=MF.AE+AF= 2AN,BD=DC= ,在 Rt BDN 中, B=60, BDN=30,BN= BD= ,AN=AB-12 12 14BN= ,AE+AF= .34 32图 1图 27
